Megoldási módszerek

A feladatok megoldási módszerei típusonként különböznek. Mégis vannak a megoldás útjaiban közös részek, bizonyos módszerbeli hasonlóságok. A végső cél minden esetben az ún. “működési összefüggés”, amely a rendszer irányításához (illetve tervezéséhez, fejlesztéséhez) feltétlenül szükséges. Valamennyi esetben szükség van az egyértelműségi feltételek rögzítésére, a jól megszervezett kísérletekre, és a kapott megoldás értékelésére.

Az értékelés szempontja az egyes feladattípusoknál már különbözik. Indirekt feladatoknál az optimumtól való távolság, direkt feladatoknál a hibaszázalék nagysága, induktív feladatoknál az összefüggő kísérleti adatok száma dönti el, hogy szükség van-e további kísérletekre.

A feladatmegoldások egyik, de nem egyetlen módja a kísérlet. Valójában - miként arra még rámutatunk - a matematikai és a kísérleti módszerek együttesével tudunk csak összetett feladatokat megoldani.

Általánosságban a feladatmegoldások lehetséges típusa: az analitikus, a numerikus és a kísérleti módszer.

Analitikus módszer

A feladatmegoldás legkevésbé költséges módja az analitikus módszer. Alkalmazásának feltétele “mindössze” az, hogy ismerjük a rendszer matematikai modelljét, és létezzen ennek zárt formában előállított megoldása az adott egyértelműségi feltételek mellett. A matematikailag egzakt megoldás annyira lesz adekvát a rendszer viselkedésével, amennyire adekvát volt a felírt matematikai modell.


Feladattípusok megoldási folyamata

Igen gyakran a matematikai modell közvetlenül nem alkalmas az integrálásra. Ezért előbb valamilyen (pl. Laplace, Fourier) transzformációval át kell alakítani az egyenleteket. A transzformáció célja, hogy a matematikai modell integrálási feladatát visszavezessük olyan feladatra, amelynek megoldási lépéssorozata (algoritmusa) már ismert.

Ezek szerint magától értetődőnek látszik, hogy az analitikus megoldást tekintsük az “optimális” módszernek. A legtöbb rendszer azonban annyira bonyolult, hogy a felírt matematikai modell közvetlenül nem integrálható, vagy csak olyan egyszerűsítésekkel, amelyek - miatt megfelelő kísérleti tapasztalatok nélkül - a megoldást már nem tekinthetjük megbízhatónak. Ennek ellenére feltétlenül szükséges ismernünk matematikai modellünk lehetséges integráljait, mivel ezek adják az egyéb megoldási módszerek alkalmazásának alapját. Csak az előzetes matematikai elemzés adhat támpontot ahhoz, hogy (a kísérleti megoldás során) milyen empirikus függvénytípust keressünk a függő és független változók közötti kapcsolatra.


A megoldási módszerek folyamatábrája direkt feladattípus esetén

Összefoglalva az analitikus megoldás legfontosabb lépései (tevékenységei):

a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása,
a matematikai modell megalkotása,
a matematikai modell transzformációja (ill. egyszerűsítése) megoldásra alkalmas formára,
a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése,
a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása,
a megoldás ellenőrzése.
Numerikus módszer

Ezek olyan eljárások, amelyek során a rendszer matematikai modelljét numerikus számításokkal oldjuk meg. A módszer lényege, hogy a differenciálást vagy az integrálást algebrai összefüggésekkel helyettesítjük, és az ezekkel végzett műveletek eredményeképpen kapjuk a megoldást. Ehhez az szükséges, hogy a folytonos változók terét a diszkrét változók terére képezzük le. (Így pl. differenciálhányadosok helyett differenciahányadosokkal, integrál helyett lépcsős görbe alatti területtel számolunk.)

Szemléletesen: a tér vizsgált (a megoldás szempontjából figyelembe veendő) tartományát egy hálóval fedjük le. Minden egyes a csomópontra (amelybe k él fut be) felírjuk a rendszer Taylor polinomját:

ahol f(a) a függvény értéke az a helyen,  f(i)(a) a függvény i-dik deriváltjának értéke az a helyen.

Bizonyítható, hogy

vagyis a p(x) az a pont környezetében “jól” megközelíti az f(x) értékét. Bevezetve a Peano féle maradéktagot:

ahol

Ezzel a magasabb rendű tagok elhanyagolásának hatása becsülhető. [Gyakran megelégszünk a Taylor-sor első két tagjával.]

A Taylor polinommal a differenciálegyenlet helyett differenciaegyenleteket kapunk és ezekkel számolunk. Az eljárás látszólag a finom matematikai módszerektől való durva eltérésnek tűnik, hiszen a közelítés mind a függvénytől, mind annak deriváltjaitól “szemmel láthatóan” különbözik. Ez azonban csak annak számára “visszataszító”, aki nem tudja, hogy a valós folyamatokra sohasem érvényesek a “pont-pont” összefüggések. A mindig meglevő sztochasztikus hatások miatt a legjobb esetben is csak abban lehetünk biztosak, hogy a valódi érték a számított érték valamilyen véges sugarú környezetében helyezkedik el. Emiatt a “legpontosabb” mérések esetében is csak közelítő értékeket kaphatunk.

A numerikus megoldás megbízhatósága természetesen függ a matematikai modell megbízhatóságától. A számítási eredmény pontossága pedig attól függ, hogy milyen sűrű osztást vettünk fel. Minél kisebb intervallumokkal dolgozunk, annál több függvényértékkel számolunk, és ezzel csökkenthetjük a diszkretizálásból eredő hibát. Ugyanakkor azonban növeljük a számítások mennyiségét, amivel megnő a számítások ideje és költsége is.

Numerikus módszereket hosszú idő óta alkalmaz a tudomány és a gyakorlat, de elterjedésüket a kielégítő pontossághoz szükséges számítási műveletek nagy száma sokáig akadályozta. Gondoljuk meg, hogy egy viszonylag durva, pl. 100×100-as felosztású négyzetrács esetében 10000 lineáris egyenletet kell szimultán megoldani.

Lényeges változást csak a számítógépek elterjedése hozott, különösen azóta, amióta a RAM a személyi számítógépeknél megabyte, a professzionális számítógépeknél gigabyte nagyságrendű, és másodpercenként több millió műveletet képesek elvégezni.

A számítógép természetesen nem gondolkodik, és nem mér helyettünk, csak az algoritmizálható tevékenységben nyújthat segítséget. Ismeretlen fizikai jellemzők (pl. vezetési tényezők) esetében feladatunkat a legmodernebb számítógép sem képes megoldani. A legtöbb feladat megoldásánál a kísérletekre mindig szükség lesz, ezért a számítógép-technika sohasem válhat a feladatmegoldások egyetlen eszközévé.

Összefoglalva a numerikus megoldás legfontosabb lépései (tevékenységei):

a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása,
a matematikai modell megalkotása,
a matematikai modell átalakítása numerikus megoldásra alkalmas formára (diszkretizálás),
a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése, a blokkséma összeállítása,
a számítási modell megoldását adó program megírása, és annak futtatása,
a megoldás ellenőrzése.
Kísérleti megoldás

Ezek olyan eljárások, amelyek során mérésekkel kapunk információt a rendszer viselkedéséről. Ne feledjük azonban, hogy a mérés önmagában még nem kísérlet. (A kísérlet - mindig! - előzetes elméleti megfontolás után kialakított elgondolás, hipotézis mérésekkel való ellenőrzése.)

A kísérlet feladata lehet:

a rendszer “viselkedésének” vizsgálata, vagyis az

függvény értékeinek meghatározása, ismert (rögzített) xi értékek mellett. Ez a direkt feladattípus.

a rendszer válaszfüggvényének ill. az ún. kimeneti egyenletének

meghatározása [empirikus függvénykapcsolat a kimenő és a bemenő jellemző(k) között]. Ez az induktív feladat típus.
 


optimális értékének meghatározása. Ez az un. indirekt feladattípus.

Utóbbi esetben körültekintő vizsgálatnak kell előzetesen (!) eldöntenie, hogy mi lesz az optimalizálási paraméter.

Néhány lehetséges szempont:

gazdasági (haszon, önköltség),
műszaki (megbízhatóság, termék-kihozatal),
műszaki-gazdasági (termelékenység, élettartam),
társadalmi (esztétikai, pszichológiai, környezetvédelmi, egészségügyi).
Sohasem szabad megfeledkezni a rendszerek érdek-hierarchiájáról: az optimalizációs paraméter nem mondhat ellent a magasabb szinten lévő rendszer optimális működési feltételeinek!

A kísérlet is megoldási módszer. Feladata: a rendszer bemenő jellemzői, állapota és kimenő jellemzői közötti kapcsolat, vagy e kapcsolat egyes paramétereinek meghatározása. Ilyen értelemben funkciója megegyezik az analitikus és a numerikus módszerek funkciójával. Van azonban egy lényeges sajátossága a kísérleti megoldásnak. Az analitikus és a numerikus megoldások eredménye pontszerű: a független változó meghatározott értékeihez a függő változó meghatározott értékeit egyértelműen rendeli hozzá. Ezzel szemben a kísérleti megoldás eredménye (a kísérletek során elkerülhetetlenül bekövetkező hibák, a sztochasztikus hatások miatt) foltszerű: a független változó meghatározott értékeihez a független változó valamilyen sávját rendeli. Ezt szem előtt kell tartani mind a kísérletek előkészítése, mind a mérési adatok értékelése során.

A kísérleti tevékenység főbb területei:

megfigyelés,
kutatás-fejlesztés,
rutinvizsgálatok és
bemutatás-szemléltetés.
Az egyszerű megfigyelésnél az ember a tőle függetlenül végbemenő folyamatokat regisztrálja. (Szigorúan véve ez nem is tekinthető kísérletnek.)

A kutatás-fejlesztés során előzetesen elemezni kell a lehetséges hatásokat, össze kell gyűjteni korábbi kísérletek tapasztalatait, a témára vonatkozó irodalmi adatokat és - mindenek előtt - a vizsgált folyamatra vonatkozó újabb tudományos ismereteket. Ezek alapján kell (a kísérlet megkezdése előtt!) hipotézist alkotni, amelyet a kísérletekkel kell ellenőrizni. A kísérlet persze nem igazolja az elméleti megfontolásokat, csak azt, hogy e megfontolások nem hamisak. [“Sohasem lehet egy elméletről azt mondani, hogy a tapasztalat bebizonyította, hanem csak azt, hogy annak legjobb ismert összefoglalását szolgáltatja” (Neumann János, A kvantummechanika klasszikusai, 1966. 218. oldal)]

A kutatásban különösen fontos az intuíció, az analógiák felismerése, a megszokott sémáktól való eltérés bátorsága, amelynek azonban széles körű és mélyreható tudományos ismeretekre kell támaszkodnia. Ellenkező esetben a tudatlanság bátorsága értelmetlen, sőt veszélyes kísérletezgetésekhez vezethet.

A rutinvizsgálatok rendszeresen ismétlődő (előzetesen algoritmizált) kísérletek. Ilyenek pl. a minőségellenőrző vizsgálatok, üzemi berendezések működése közben végzett mérések, de ide sorolható a legtöbb iskolai kísérlet is (legalábbis a tanár szempontjából). Itt előzetes elemző tevékenység nem szükséges, de megfelelő információval kell rendelkeznünk a korábbi vizsgálati módszerekről és eredményekről. Rendszeresen ellenőrizni kell az alkalmazott vizsgálati módszereket és eszközöket, nemcsak azért, mert a mérőműszerek a fizikai kopás miatt megbízhatatlanokká válhatnak, hanem azért is, mert az újabb technikai eszközök és módszerek a régiek “erkölcsi kopását” okozhatják, amelynek figyelmen kívül hagyása elavulttá és gazdaságtalanná teheti a legjobban begyakorolt rutinvizsgálatokat is.

Az üzemi kísérletek a rendszerek üzembe helyezése utáni olyan vizsgálatok, amelyekkel megállapítják, hogy az előzetes (a tervben leírt) műszaki elképzelések helyesek voltak-e vagy sem. A kutató-fejlesztő kísérlettel szemben az üzemi kísérlet nem elsősorban az ismeretek forrása (bár ez a szerepe is lényeges lehet), hanem az ismeretek és a következtetések ellenőre.

Bármilyen típusú legyen a kísérlet, annak megkezdése előtt a lehető legpontosabban meg kell fogalmazni a feladatot. Az előkészítéshez nem elegendő az intuíció, a nagy gyakorlati tapasztalatokon alapuló szubjektív ítélet, az ún. műszaki érzék. Előre tudnunk kell, hogy mely jellemzőket hányszor kell mérnünk.

Gyakran előfordul, hogy az eredeti rendszer vizsgálatára nincs lehetőség. Mind gazdaságossági, mind méréstechnikai, mind üzemviteli szempontok indokolhatják, hogy a kísérleteket egy másik rendszeren (a modellen) végezzük el. A hasonlósági feltételek ismeretében a modellen mért adatok átvihetők az eredeti rendszerre.

A kísérletek lehetővé teszik, hogy meghatározzuk a bemenő és a kimenő jellemzők közötti függvénykapcsolatot olyan esetben is, amikor a matematikai modell matematikai módszerrel nem oldható meg. A hasonlósági módszeren alapuló modellkísérlet információt ad olyan rendszerekről is, amelyek közvetlen mérése igen nehéz vagy éppen lehetetlen.

Összefoglalva a kísérleti megoldás legfontosabb lépései (tevékenységei):

a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása,
a matematikai modell megalkotása,
a matematikai modell hasonlósági transzformációja, a kísérleti objektum megfelelő kiválasztása és a kísérleti eredmények (későbbi) általános felhasználhatósága érdekében,
a kísérleti program (a kísérletterv) összeállítása,
a kísérletek lefolytatása és értékelése alapján a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása,
a megoldás ellenőrzése.
A táblázat áttekintést ad a megoldási módszerek legfontosabb jellemzőiről.
lépés
Analitikus
Kísérleti
Numerikus
1
A feladat verbális megfogalmazása
2
A matematikai modell megalkotása
3
Transzformáció megoldásra alkalmas formára
Hasonlósági transzformáció 
Diszkretizálás
4
A megoldás egymás utáni lépéseinek rögzítése
A kísérleti terv összeállítása
Algoritmus és blokkséma
5
A megoldást jelentő összefüggés meghatározása
Kísérletek és azok értékelése
Gépi program futtatása, eredménye
6
A megoldás ellenőrzése

Látható, hogy az első két lépés minden módszer esetében megegyezik: a feladat verbális megfogalmazása és a matematikai modell megalkotása nélkül egyetlen megoldási módszer sem használható.

Különös gondot kell fordítani a verbális megfogalmazásra; a feladatmegoldásoknál elkövetett hibák legnagyobb része visszavezethető arra, hogy előzetesen nem gondolták át eléggé szavakban a feladatot.

A matematikai modell megalkotására még akkor is szükség van, ha a kísérleti megoldás útját kell követnünk. Ez egészíti ugyanis ki a verbális megfogalmazást; úgy is fogalmazhatunk, hogy a feladat megértése a verbális és a matematikai megfogalmazás kölcsönhatásán keresztül alakul ki.

Ezután következik a feladat típusától függően a transzformáció és a megoldás különféle útja, de ismét közös a kapott megoldás ellenőrzése. Az ellenőrzés feladata, hogy az előkészítő munka során elfogadott egyszerűsítések, elhanyagolások használhatóságát eldöntse, ill. szükség esetén visszacsatoljon a kiinduláshoz más, ill. pontosabb matematikai modell alkotásával.

Összetett módszerek

A megoldási módszerek előbbi hármas csoportosítása a valóságban nem diszjunkt területeket jelöl. Ezeket a módszereket általában együtt kell alkalmazni.

A kísérlek során minden esetben a mérési adatokból számításokkal határozzuk meg az empirikus összefüggéseket. Az aktív kísérleti terveknél számítógép segítségével értékelhetjük a közbeeső mérési eredményeket és határozhatjuk meg a következő beállítások értékeit. Az empirikus függvény típusának kiválasztására az analitikus módszerekkel kapott összefüggések adnak támpontot. Fordítva is igaz: az analitikus (és a numerikus) megoldás esetében is szükség van olyan kísérleti adatokra, amelyek például a vezetési tényező értékére adnak felvilágosítást. Összességében tehát a három módszer együttesen jelenti a megoldás lehetséges útját, és legfeljebb csak arról beszélhetünk, hogy egyik vagy másik módszernek egy adott megoldás esetében kiemelkedő szerepe van.

Különösen nehéz az identifikációs feladatok megoldása. A modelltechnika ilyenkor nem nélkülözheti a heurisztikus, intuitív ötleteket. Ennek természetesen előzetes ismeretekre és tapasztalatokra kell támaszkodnia.

Abból tudunk kiindulni, hogy ismerjük a hasonló rendszerek valamely H halmazát, és az azon belül érvényes általános összefüggéseket, törvényeket, pl. a bemenő jellemző(k) és a kimenő jellemző(k) közötti

formában. Adva van a vizsgálandó J rendszer, amelyen belüli jelenségeket, összefüggéseket még nem ismerjük. Feltételezzük azt, hogy ez a rendszer a H halmaz eleme,

vagyis, hogy az ismeretlen rendszer bizonyos szempontok szerint az ismerthez hasonlóan működik:

Ezen hipotézis alapján  értékeiből “megjósoljuk” az  -t.A mérések eredményeként két eset lehetséges:

1. a mért  (a megengedett hibahatáron belül) megegyezik a számított  -vel:

Ebben az esetben hipotézisünket “igazoltnak” tarthatjuk, pontosabban: nincs okunk elvetni az alaphipotézist.

2. az  lényegesen eltér a mért értéktől. Ez arra kényszerít bennünket, hogy a hipotézist tökéletesítsük: más összefüggésekkel próbálkozunk, más hasonlósági csoportba tartozást keressünk.

Gyakran csak hosszas iteráció vezet el az elfogadható megoldáshoz.
 
 

A modellezés célja

A modellezés nyomai fellelhetők már az ókorban is. Amennyire a régészeti leletekből meg tudjuk ítélni, a kezdeti modellek elsősorban szemléltetési vagy kultikus célokat szolgáltak. Ilyennek tekinthetjük a barlangrajzokat, egyes használati eszközök (pl. szekerek) kicsinyített mását, sírokban talált szobrokat stb. Valószínűleg ismeretszerzési szerepe is lehetett egyes geometriai, csillagászati modelleknek.

Az újkori történelemben tulajdonképpen Galileitől számíthatjuk az elméletileg is megalapozott modellezés kialakulását. Századunkig azonban a modellezést elsősorban hidrodinamikai, egyszerűbb hővezetési és mechanikai feladatok megoldásánál használták fel. Mindaddig, amíg a hasonlósági módszert matematikailag szabatos formában nem dolgozták ki, az összetett, bonyolult feladatok megoldására a modellezést nem lehetett használni.

A hasonlósági módszer alapján kialakított modellezés lehetővé teszi nemcsak a méretarányok változtatását, de az eredetitől eltérő munkaközeg felhasználását, sőt egyik jelenségcsoport helyettesítését egy másikkal. Így pl. lehetséges a gázáramlás tanulmányozása vízmodellen, diffúziós folyamat vizsgálata hőmérsékleti inhomogenitás hatására fellépő energiaárammal, bonyolult aerodinamikai vagy mechanikai rezgési feladatok megoldása elektromos hálómodellen, és í. t.

A modellezés - az előbbiek szerint - valamely jelenség helyettesítése egy másikkal az eredeti jelenség tanulmányozása vagy bemutatása céljából. Valamely folyamatot akkor ismerünk, ha előre meg tudjuk mondani, hogy az egyértelműségi feltételek különböző értékei mellett milyen lesz

Ez matematikailag a főegyenlet, ill. a kimeneti egyenlet ismeretét jelenti, amelyek a folyamatot leíró matematikai modell megoldásával állíthatók elő.

A modell azonban nemcsak a konkrét rendszerre vonatkozó megoldást adja. Mivel a kiindulási alap az egyenletek és az egyértelműségi feltételek dimenzió nélküli formája, a megoldás mindazokra a jelenségekre érvényes, amelyekre a dimenzió nélküli egyenletek érvényesek, tehát egy egész hasonlósági csoportra. Ily módon a modellvizsgálat valójában a jelenségek egész csoportjának vizsgálatát jelenti.

Ez vonatkozik nemcsak az ismeretszerző, hanem a szemléltető modellekre is. A jól kialakított szemléltető modell a rendszerek egész csoportjának működésére (és/vagy alakjára) mutat példát. (Ez különösen fontos szempont az iskolai oktatásban, ahol a példának gyakran még olyan rendszerekre is szemléltető erővel kell rendelkeznie, amelyek csak a jövőben valósulnak meg.)

A technikában a modellezési módszer felhasználási területének fokozatos bővülése figyelhető meg.

Kezdetben a modell csak szemléltető funkciót látott el, gyakran helyettesítette vagy kiegészítette a tervrajzokat. Ezek a modellek leggyakrabban statikusak voltak és szinte kizárólag a rendszer szerkezetére vonatkoztak (szerkezeti vagy geometriai hasonlóság). Az iskolai modelleknek a többsége még ma is ilyen; falitáblákon ill. háromdimenziós maketteken mutat be egyes struktúrákat.

A következő szakasz, amikor a modellt meglevő berendezések hiányosságainak kijavítására használják. Ezek már dinamikus modellek, bár a modellezést magát még fenntartás, sőt bizalmatlanság veszi körül. A kutatótól inkább a hasonlósági módszer “bizonyítását”, a modell használhatóságának igazolását várják, és nem annyira kutatási segédeszköznek, mint inkább “tudományos játék”-nak tekintik a modellezést. A módszerben még járatlan kutatók által elkövetett hibákat nem tapasztalatlanságuknak róják fel, hanem a hasonlósági módszer hiányosságaként könyvelik el. A közvetlen üzemi kísérlek egyfajta fetisizálása miatt csak kevesen fogadják el a modellezés útján szerzett kísérleti tapasztalatokat. A közoktatásban ez egyfajta “iskolaszagú” modellkísérlet formájában jelentkezik, amelyben mindennek az elmélet által előírt módon “pontosan” kell viselkednie.

A harmadik, fejlettebb szakasz, amikor a modellezés előnyét egyértelműen elismerik. Megkezdődik a modellezés ipari felhasználása új, még meg nem lévő rendszerek előzetes ellenőrzésére. A modellezés jelentős hasznot hoz az iparnak, mivel megakadályozza, hogy nem megfelelő, tökéletlen konstrukció kerüljön üzembe. A modellezést ekkor elsősorban a direkt feladatok megoldására használják. A közoktatásban ennek felel meg a tanulói felfedező kísérlet, amely a tanulói ismeretszerzési folyamatban nélkülözhetetlen.

Napjainkban a modellezés már szerves részét képezi nemcsak az ipari termelésnek, hanem a gazdaságirányításnak is.

A tervező a modell segítségével dolgozza ki és tökéletesíti a rendszert és annak egyes részeit. A kutatás során az egyes hipotéziseket kísérleti úton először a modellen ellenőrzik. Az egyes termelési vagy társadalmi előírások változtatásának hatását először modellen próbálják ki. Az orvostudományban széleskörűen használják az állatkísérleteket, mind a biológiai mechanizmusok, mind a gyógyszerek hatásainak előzetes modellezésére. A számítógép nyújtotta lehetőségek felhasználásával döntési modelleken vizsgálják egyes megoldási változatok várható hatását. A modellezés ma már kiterjed az indirekt feladatok megoldására, sőt az identifikációra is. A tervezést megelőző, és vele párhuzamosan folyó modellezés így a rendszerek kialakításának, fejlesztésének és tökéletesítésének egyik legfontosabb eszköze. Napjainkban a számítógépek sok esetben átveszik a fizikai modellezés funkcióját is, számítógépes modellezés nélkül egyetlen komolyabb ipari termék terve sem készülhet el.

Az elmúlt évtized során a modellezést kiterjesztették a világ problémáinak elemzésére is. Ezek az ún. globális modellek a világ mint - különféle szempontok szerinti - összefüggő rendszer fejlődésének szimulálásával javaslatokat adnak a döntéshozóknak az élelmezési, energetikai, ökológia stb. problémák megoldásához.