Kezelési tanácsok

Szücs Ervin

A modellezés elmélete

és gyakorlata

Tartalom

Előszó

     A modell fogalma

    A modell definíciói

     Hasonlóság - ekvivalencia

     A hasonlóság szerepe az emberi gondolkodásban

     A hasonlósági reláció

A modellek csoportosítása

     Rendszertípusok

     Csoportosítási módok

     A modellek típusai

     Számítógépes modellek

A modellezés módszere

     Feladat és probléma

     Feladattípusok

     Megoldási módszerek

     A modellezés célja

     Modelltechnika

      Alapelvek

      Modelljellemzők megválasztásának szabadsága

      Közelítő modellezés

      Kísérlettervezés

      Mérési adatok értékelése

      Szóráselemzésre épülő kísérlettervezés

      Regressziós elemzésre épülő kísérlettervezés

      Kapcsolat a hasonlósági módszerrel

Szemléltető modellek

     Közlekedési modellek

     Vasútmodellek

     Autómodellek

     Repülőgépmodellek

     Hajómodellek

     Demonstrációs táblák

     Oktató modellek

      Iskolai modellek

      Szimulátorok

      Múzeumi tárgyak

Társadalmi folyamatok modellezése

     Alapegyenletek

      Mérlegegyenletek

      Egyértelműségi feltételek

      Célfüggvények

      Példák

      Oktatás

      Egészségügy

      Népszaporulat

      Környezetszennyezés

      Élelmiszertermelés

      Közgazdaság

      Tömegkiszolgáló rendszerek

Világmodellezés (globális modellezés)

     Forrester-Meadows modell

     Mesarovic-Pestel modell

     Bariloche modell

     MOIRA modell

     SARU modell

     FUGI modell

     ENSZ modell

De hát hány világ van?

Utószó helyett

Kiszótár

Előszó

Ha egy modellben eléggé konkrét vagyok ahhoz, hogy reális legyek, annak az az ára, hogy nem lehetek eléggé elvont ahhoz,
hogy egzakt legyek.
M. M. Postan angol gazdaságtörténész
Ebben a részben a modellel (annak elméletével és alkalmazásaival) foglalkozunk. A cél: olyan ismeretet és szemléletet adni, amelynek segítségével felismerhető és leírható A hasonlóság és a modell fogalma, a modellezés módszere messze túlnő egy tantárgy vagy egy szakterület keretein. Mindennapi és minden irányú (különösen tudományos) gondolkodásunk tudatosan vagy ösztönösen modellekre épül. Az egyes szaktudományok is lényegében az objektív világ meghatározott szempontok szerinti modelljei.

Aki nem érti a modellezett-modell viszonyát, az könnyen elfeledkezhet arról, hogy ez nem csak hasonlóságot, hanem különbözőséget is jelent. Ennek figyelmen kívül hagyása vezethet el a káros analógia hibájához, amikor a modell tanulmányozásából a modellezett olyan tulajdonságaira is következtetéseket akarunk levonni, amelyek szerint azok nem hasonlóak egymáshoz.

Fontos szerepe van a tanulás folyamatában is a hasonlóságnak, s erre a felsőoktatásban tanulóknak is különös figyelmet kell fordítaniuk. Ne feledjük Szent-Györgyi Albert szavait: “A diák csak akkor tud megérteni egy új fogalmat, egy új jelenséget, ha hasonlítani tudja valamilyen általa már ismert fogalomhoz, jelenséghez és azt is megérti, hogy az ‘új’ miben különbözik a már ismert ‘régi’-től. ” [Ezt az utat követi a műszaki, a természet- és a társadalomtudományok kutatója is. A már ismerttel való megegyezésből indul ki a vizsgálat és a már ismerttől való eltérés felismerése, az ellentmondás feloldására törekvés váltja ki az új ismeretet (fölfedezést, találmányt).]

A modell sokféle definíciójából “A modell fogalma” fejezetben adunk egy kis ízelítőt. Annyit azonban már most előrebocsátunk, hogy (minden esetben)

a modell hasonló a modellezetthez,

vagyis az modell, ami a modellezettel hasonlósági relációban van.

De mit értünk hasonlósági reláción? A részletesebb elemzés előtt is rögzítenünk kell, hogy nem csak geometriai hasonlóságról van szó. Egyes esetekben ugyanis a geometriai hasonlóság lehetetlenné teszi, hogy a folyamatokhoz, a rendszerek funkciójához hasonló modellt hozzunk létre. [A későbbiekben kimutatjuk: a geometriai hasonlóság a funkcionális hasonlóságnak nem szükséges, semmi esetre sem elégséges, sőt (gyakran) kizáró feltétele.] A rendszerek modellezésénél igen gyakran nem a forma, hanem a folyamat vizsgálata, leírása a cél. Hogyan lehet a folyamatok hasonlósági relációját meghatározni? Ezzel foglalkozik a hasonlósági módszer.

A hasonlatosság felismerése nyilván a külső jelek alapján a legegyszerűbb. Az emberi fejlődés során hosszú ideig elegendő volt, ha a hasonlóságról pusztán ezek alapján ítéltek. A formai hasonlóság felismerésének köszönhető az ókori (eukleidészi) geometria kialakulása. A geometria a tárgyak tartalmától elvonatkoztatott, csak a forma összefüggéseit vizsgáló tudomány. Itt kapott először tudományos megfogalmazást a hasonlóság fogalma is. Az emberi tudás fejlődése azonban szükségessé tette, hogy ne csak a forma, hanem a folyamatok hasonlóságát is felismerjük.

A világ tudományos megismerésének forrása végső soron a tapasztalat. De csak a tapasztalat nem elegendő arra, hogy a jelenségeket megismerjük, céljaink érdekében tudatosan fel is tudjuk használni. [“A tudomány kísérlet arra, hogy a kaotikus, sokfajta érzéki tapasztalatot valamilyen egységes gondolatrendszerrel összefüggésbe hozza.” Albert Einstein]

A végtelen sok tulajdonsággal rendelkező egyedi események általános, tömör jellemzését az ún. matematikai modell adja. A matematikai modellen a folyamat belső törvényszerűségeit tükröző összefüggéseket (egyenletrendszert, gyakran differenciálegyenlet-rendszert) értjük, az adott jelenségre vonatkozó egyértelműségi feltételekkel együtt. Ennek megoldásával a folyamat szignifikáns jellemzői között egyértelmű kapcsolatot kapunk. Ezzel a módszerrel “A modellezés matematikai alapjai” jegyzetben foglalkozunk.

Összetett jelenségek, folyamatok esetén igen gyakran nem lehet egzakt matematikai megoldásra jutnunk. Szükség van arra, hogy méréssel határozzuk meg a folyamat jellemzői közötti összefüggéseket. Ilyenkor válik nélkülözhetetlenné a hasonlósági módszer. A folyamatjellemzők nagy száma miatt szinte végtelen sok változat mérése látszik szükségesnek. Minden egyes rendszer látszólag különbözik a többitől, és így mindegyiket külön kellene mérni. Sok esetben lehetőség sincs közvetlen mérésekre.

Ezekre a kérdésekre ad választ a hasonlósági módszer. Alapja a leíró egyenletek dimenzionális homogenitása. Felhasználja a geometriai hasonlóság során definiált fogalmakat, de azok értelmezése általánosabb.

A hasonlóság fogalmának és alkalmazásának egzakt tárgyalása a kísérleti módszerek tökéletesítéséhez is hozzásegít, de ezen túlmenően interdiszciplináris jellege is van. A rendszerek hasonlóságának szemlélete, a közös (általános érvényű) tulajdonságok felismerése megkönnyíti a tanulást, tanítást, tájékozódást és egyben a különféle szakterületek közötti kommunikációt is.

Természetesen a hasonlóság, illetve a modell fogalmát nem szűkíthetjük le a folyamatok vizsgálatára. A szemléltetés, a leírás, az előírás olyan fontos modellfunkciók, amelyek a mindennapi életben (különösen az oktatásban) nélkülözhetetlenek, és amelyek nem (mindig) köthetők matematikai modellhez. De ezek körében is a szabatosságra kell törekednünk, ami azt is jelenti, hogy a nem matematizálható modelleknél is ismerni (és ismertetni) kell azt, hogy miben hasonlóak és miben különböznek attól, amit modelleznek. [“Fejezzük ki magunkat a matematika nyelvén… Tanácsunk… tulajdonképpen nem jelent egyebet, mintha azt mondanók: Próbáljunk világosan fogalmazni.Pólya (1968) 96. oldal]

E két jegyzet a tárgykörben írt korábbi könyveimtől nemcsak a formájában, hanem több helyen - az elmúlt évek kutatási tapasztalatainak felhasználásával - tartalmában is eltér. Szükségesnek éreztem a bővítést is, - a témakörhöz képest - rövid áttekintést adni olyan alkalmazásokról, amelyeknél (eddigi ismereteink szerint) nem adhatók meg egzakt módon a hasonlósági kritériumok. (Az ilyen modellek elkészítéséhez - nem kis mértékben - intuíció is szükséges!) Részletes elemzésre nem volt módom, de talán az egyes területek vázlatos ismertetése is meggyőzi az Olvasót arról, hogy a modellek alkalmazása nélkülözhetetlen nemcsak az oktatás és a kutatás, hanem a társadalmi élet egyéb területein (a tervezésben, a termelésben, az irányításban, sőt: a politikai döntéshozatalban) is.

Budapest, 2001. január
 
 
 
 
 
 



 
 

A modell fogalma

A tudomány nem próbál magyarázni, alig is próbál interpretálni, a tudomány főként modelleket állít fel.
Neumann János
Tárgykörünknek megfelelően az első kérdés: mit értünk modellen? Lehet-e, kell-e szabatos definíciót adni a modell fogalmára?

Szó szerinti fordításban a latin modus, modulus szó mértéket, módot, módozatot jelent. A mindennapi életben azonban ennél jóval szélesebb körű az értelmezése.

A modell szóval jelölik például

Gyakran szinonimaként használják a jel és a modell szót.

Speciálisan értelmezik a modellt egyes matematikai diszciplínákban.

Előrebocsátjuk - később részletesen kifejtjük -, hogy értelmezésünk szerint a modell mindig csak valamihez viszonyítva modell, és ebbe a viszonyításba nemcsak a szempontok (mi szerint?), hanem a hierarchia szint (milyen mélységig?) is beleértendő. Ebből következik, hogy nincs értelme általában modellről beszélni. Ennek ellenére nem felesleges kivonatosan idézni a magyar nyelvű lexikonokból, illetve értelmező szótárakból a modell, illetve a modellezés címszavakat. [Nem idézem azokat a lexikonokat (pl. Képes Diáklexikon Technika kötete, Römpp Kémiai Kislexikon) amelyek modell címszavait én írtam.]

A modell definíciói

Magyar Nyelv Értelmező Szótára

1. (Irodalomban és képzőművészetben) olyan személy, (ritkán) állat vagy tárgy, aki, amely minta(kép) valamely művészi alkotás megteremtéséhez. 2. Valaminek meghatározott méretarányban kicsinyített mása; makett … Felcsavarható gumiszalaggal vagy apró, beépített motorral ellátott, ill. anélküli kis repülőgép, amelyet kézből indítanak, és versenyeznek vele… 3. (Műszaki) öntvény gyártásához használt, különféle anyagokból készített forma … (Műszaki) Gipsz-, beton-, műkő- stb. öntvény elkészítéséhez használt, agyagból vagy fából készült forma. 4. Mintadarab (Ruházat) önálló tervezés alapján készült ruhadarab.

Biológiai Lexikon

1. Rendszerint bonyolult, részleteiben nem ismert fizikai, kémiai, biológiai stb. rendszerek működésének magyarázatára készített sematikus elképzelés, amelyből új összefüggésekre lehet következtetni, vagy amely alkalmas arra, hogy a rendszer jelenségei matematikailag leírhatóak … legyenek. A modell a valódi rendszereknek többnyire csak főbb tulajdonságait tükrözi, egyszerűsített formában. A jól szerkesztett modell mégis alkalmas a jelenségek vizsgálatára, következtetések vonhatók le belőle a modellezett rendszer viselkedését illetően … A valóságot szemléletesen leíró modellek pl. a kémiai szerkezeti képletek is … 2. makett: demonstrációs eszköz, mint pl. a szívműködést bemutató pumparendszer vagy a fehérjeszerkezetet érzékeltető drótszerkezet stb.

Filozófiai kislexikon

(a latin modus szó nyomán a francia mode szóból eredő modele = minta): valamely objektumnak (vagy objektumok rendszerének) egyezményes képmása (ábrázolata, sémája, leírása stb.), amely kifejezi az objektumokra, ill. a köztük levő viszonyokra vonatkozó emberi tudást. A modell fogalmát széles körben alkalmazza a szemantika, a logika, a matematika, a fizika, a kémia, a kibernetika stb. A modell fogalmának különböző értelmezései az alábbi általános definícióból vezethetők le. Az objektumok két rendszere (A és B) egymáshoz viszonyítva akkor modell (vagy akkor modellezi egymást), ha lehetséges A rendszernek valamely A' rendszerre és B rendszernek valamely B' rendszerre való olyan homomorf leképezése, hogy A' és B' egymással izomorf legyen. … Az elméleti tudományokban (különösen a matematikában, a fizikában) valamely rendszer modelljének rendszerint egy másik rendszert nevezünk, amely az eredeti rendszernek az illető tudomány nyelvén való leírására szolgál. … Ebben az értelemben bármely jelenségterület vonatkozásában modell az a tudományos elmélet, amely a terület jelenségeinek vizsgálatára hivatott. … Ugyanilyen jelleggel használatos … általában minden olyan esetben, amikor a modell szó az “elmélet” és a “tudományos leírás” fogalmának szinonimája.

Jövőkutatási fogalomtár

… anyagi vagy szellemi objektum…, amely a megismerési folyamatban a megismerendő tárgyat helyettesíti, ahhoz egy vagy több vonatkozásban hasonló, s amelyen műveleteket végezve az eredeti tárgyról nyerhetünk információkat. A modell tárgya szintén lehet anyagi vagy szellemi eredetű. A modell kifejezhető verbálisan … vagy matematikai szimbólumok segítségével. … Csak úgy teszi lehetővé a segítségével nyert információk átvitelét az eredetire, ha a modell és a modellezett objektum között meghatározott megfeleltetési viszony áll fenn. A modellezés olyan megismerési módszer, amelynek során nem közvetlenül tanulmányozzuk a minket érdeklő objektumot, hanem egy azzal többé-kevésbé ismert megfelelési (homomorf vagy izomorf) viszonyban álló objektum … által új ismereteket szerezhetünk a vizsgált jelenségről.

Magyar Értelmező Kéziszótár

1. Minta(darab). Műszaki öntőminta. Ruházat szabásminta … (egyedi) ruha(darab). 2. Építménynek, szerkezetnek méretarányosan kicsinyített mása … 3. Az, akiről, amiről képet, szobrot esetleg irodalmi ábrázolást készítenek. Művészet: Ilyen alkotáshoz a művésznek díjazásért mintaként álló, ülő stb. személy … 4. Tudomány: Valamely jelenség, rendszer jellemzőit, összefüggéseit kifejező, ábrázoló, jelképező logikai vagy matematikai formula, képlet. …

Matematikai Kislexikon

Egy axiómarendszer axiómái a benne szereplő alapelemeket és az azok közti relációkat implicit módon definiálják. Ha ténylegesen találunk olyan matematikai objektumokat és explicite leírható kapcsolatokat, amelyek a megadott axiómarendszert kielégítik, akkor az objektumok e rendszerét, kapcsolataikkal együtt, az axiómarendszer modelljének nevezzük. Egyugyanazon axiómarendszernek többféle modellje is lehetséges.

Műszaki Lexikon

1. Valamilyen rendszer leképezése hasonló viselkedésű, de más eszközökkel. A fizikai modell hasonló fizikai elveket használ, pl. áramló közegek helyett villamos áramokat, tároló elemek helyett kondenzátorokat. A matematikai modell a rendszer matematikai leírása, olyan matematikai összefüggések felírása, mely hasonló eredményt ad a számítás során, mint a rendszer a benne folyó átalakítással … 2. (építészet): Épület-együtteseknek (településeknek), épületeknek és építményeknek, valamint fontosabb részleteiknek valósághű kicsinyített mása … 3. (textilipar) Új ruházati cikkek bemutatásra készített mintadarabja …

Révai Nagy Lexikona

A lexikonban nincs modell címszó. A szöveg a minta címszónál található. Minta (francia modele, német Modell), az ábrázoló művészetben az élő alak, amelyet a művész céljainak megfelelően megörökít;

az iparművészetben a mustra, amelyet a mester művének díszítésére felhasznál,

a rajztanításban a gipszalak, amelyet a tanulók lemásolnak,

az építészetben a tervezett épület kicsiny gipszmása,

a képfaragásban és bronzöntésben az agyag vagy viaszforma, amely után a szobrot kifaragják v. az öntéshez szükséges negatív forma készül;

a jogi és közgazdasági életben az a szövegezés (sokszor űrlap), amely után bizonyos okmányokat, végzéseket, értesítéseket stb. kiállítanak.

Szinonima Szótár

Árucikk bemutatásra szánt példánya, ill. olyan tárgy, amelynek formájára, méretére stb. hasonlókat gyártanak; mintadarab, (tágabb értelemben) minta, (építmény, szerkezet kicsinyített másaként) makett, (ruházat) szaknyelvi szabásminta.

Természettudományi Lexikon

1. (fizika) bonyolult fizikai rendszerek egyszerűsített, minden részletében áttekinthető, gyakorlatilag megvalósított vagy szemléletesen elképzelt, arányosan lekicsinyített vagy felnagyított, matematikailag szabatosan leírható, idealizált mása, amely többé-kevésbé helyesen szemlélteti a vizsgált rendszer vagy folyamat geometriai, kinetikai, dinamikai vagy más fizikai, illetve sztochasztikus sajátosságait. A modellalkotásnál tudatában kell lenni annak, hogy a modell nem azonos a vizsgált rendszerrel vagy folyamattal, és nem tükrözi maradéktalanul összes tulajdonságait. A helyesen alkotott modell mégis magán viseli az objektív anyagi világban meglevő rendszer vagy lejátszódó folyamat fontos ismérveit, és így alkalmas a döntő törvényszerűségek feltárására és szemléltetésére. A kutatás megfelelő stádiumában a modellalkotásnak nagy a heurisztikus jelentősége, és a modelleknek a fizika fejlődése során mindig fontos szerepe volt. … 2. Valamely tárgynak (rendszerint kicsinyített) mása.

Új Magyar Lexikon

1. Minta, mintadarab; 2. Művészi alkotások alapjául szolgáló élő vagy élettelen minta; 3. Makett: építmények szerkezetek kicsinyített bemutatása kartonpapírból, gipszből, agyagból, plasztilinből, fémből, fából stb. a létesítmény arányainak, tömegének, tömegbeosztásának könnyebb érzékelhetőségére; 4. Az öntőtechnikában az öntéshez használt fa-, fém-, gipsz-, műanyagminta (forma), melyet a formaszekrényben formahomokra döngölnek; 5. Atommodellek; 6. Gazdasági modell.

Vállalatgazdasági Lexikon

Olyan folyamat tevékenység, munkaeszköz, munkatárgy stb., amely elméleti vagy gyakorlati célból főbb jellemzőiben, esetleg minden részletében meghatározza azt, amire vonatkozik. A gyakorlatban a modell és a minta nem teljesen azonos fogalmak. A modell általában kiválasztott szempontok szerint és elvileg jellemez: pl. valamely berendezés működési modellje a működési elvet, egy építendő objektum modellje a célszerű elhelyezést, a külső formát stb. mutatja be, ill. határozza meg. A modell elvi jellege abból is kitűnik, hogy általában kicsinyített formában jellemzi a valóságot. A minta az ipari gyakorlatban általában pontos mást jelent (pl. gyártmány prototípusa, alkatrész öntőmintája).


Felsoroljuk - ABC sorrendben - a modell értelmezésére használt kifejezéseket, mintegy a modell szó szinonimáit:
 
  • agyag-forma
  • axiómarendszert kielégítő
    matematikai objektumok rendszere
    egyszerűsített arányos más
    elmélet élő alak folyamat
    forma formula főbb tulajdonságok tükrözése
    gipsz alak hasonló viselkedésű eszköz helyettesítő objektum
    képlet képmás kicsinyített más
    leképezés makett matematikai leírás
    matematikai kifejezés minta mintadarab
    munkaeszköz munkatárgy rendszer tudományos leírása
    ruhaminta séma szabásminta
    személy szemléltető leírás tevékenység
    űrlap verbális kifejezés viasz-forma

    A modell szó homoníma jellege nem okozna nagyobb zavart, ha használatakor nem keverednének a különböző értelmezések. A magyar nyelvben hasonló a helyzet más szavakkal is.

    A tér szót egyaránt használják közterület, geometriai vagy fizikai terek megjelölésére. Az anyag szó egyaránt jelenthet kémiai vagy filozófiai értelemben vett anyagot. A német, az angol vagy az orosz nyelvben ezeket a fogalmakat külön szavakkal jelölik:



    A modell esetében a nagyobb problémát az jelenti, hogy még egyes tudományos dolgozatokban is csak mint formailag hasonlót tudják elképzelni. Egész sor szakcikkben két rendszer hasonlóságának első feltételeként a geometriai hasonlóságot jelölik meg. Pedig már több mint 360 év telt el azóta (1638), hogy Galilei bebizonyította: az egyszerű méretnövelés nyomán elveszhet a funkcionális hasonlóság.

    Nem célunk terminológiai elemzésbe mélyedni, ezért elsősorban a modell funkciójával foglalkozunk. Eszerint pedig

    minden modell információt adó rendszer.


    [De: nem minden információt adó rendszer modell!]
    A modell tehát rendszer: Stoff (1973) a modellt egyenesen úgy definiálja, mint olyan “eszmeileg elképzelt vagy anyagilag realizált rendszer, amely visszatükrözve vagy reprodukálva a kutatás objektumát képes helyettesíteni”. Világosan kell látnunk, hogy a modell mindig relációt is kifejez: valamilyen szempont szerint (!) modellje a modellezettnek. A szempont mindig attól függ, hogy miért van szükségünk a modellre. Nyilvánvalóan más a követelmény, ha a modellezett térbeli elhelyezkedését, formáját, más amikor a szerkezetét, és megint más amikor működését, folyamatait akarjuk bemutatni vagy “megjósolni”.