Hasonlóság - ekvivalencia

Akkor és csakis akkor tekinthetünk valamit modellnek, ha ismerjük a modellezettel való összefüggését: azokat a jellemzőket, amelyek szerint a modell és modellezett hasonlóak egymáshoz.

A hasonlóság a hétköznapi szóhasználatban élőlények, tárgyak, fogalmak valamilyen kapcsolatára (részben vagy egészében megegyező tulajdonságokra) utal; a tudományos megfogalmazás valamely tárgyrendszer és annak képe közötti összefüggésként értelmezi. Csak emlékeztetünk arra, hogy két, A és B halmaz közötti ρ reláció (morfizmus) lehet:

A hasonlósági reláció izomorf (mindig rögzíteni kell a szempontokat, e nélkül a reláció homomorf, amely - mint később bemutatjuk - hibás következtetésekre vezethet). [Bourbaki (1960) írja, hogy Leibniz “elsőként vizsgálta az izomorfizmus általános alakját, amit hasonlóságnak nevezett”.]

Mi hát a modell? Ismételten hangsúlyozzuk, hogy a modell nem létezik. Egy modell mindig csak az általa modellezettel együtt értelmezhető, és a kettő közötti hasonlóság feltételeit kell kielégítenie.

Egy objektum önmagához (ugyanabban az időpontban) nyilvánvalóan minden szempontból hasonló. Az “automorfizmus” önmagában triviális ténye azt jelenti, hogy a ρ hasonlósági reláció reflexív:

a ρ a.

Két objektum viszonyában azonban azt is ki kell kötnünk, hogy a modell-modellezett funkció felcserélhető legyen, vagyis bármelyik objektum tulajdonságaiból a másikra következtetéseket tudjunk levonni. Ez a követelmény matematikailag azt jelenti, hogy a ρ hasonlósági reláció szimmetrikus

a ρ b -> b ρ a ,

A technikában sohasem (a természet- és társadalomtudományokban is csak kivételes esetekben) korlátozódik a modell egyetlen modellezettel való kapcsolatra. Általában a modellből a modellezettek egész csoportjára kell következtetnünk, vagyis úgy tekintjük a modellt, mint az egymáshoz hasonló elemek halmazának egyik reprezentáns elemét. Legyen pl. az a, b, c elemekből álló halmazunk. Ha ezek hasonlóak, akkor bármely két elem között szimmetria relációnak kell fennállnia, hiszen bármelyik elem lehet reprezentáns (modell):

a ρ b -> b ρ a,

b ρ c -> c ρ b ,

c ρ a -> a ρ c.

Ebből viszont az is következik, hogy az így értelmezett hasonlósági reláció tranzitív is:

a ρ b ÉS b ρ c  -> a ρ c.


Szükséges tehát, hogy a hasonlósági reláció vagyis ekvivalencia reláció legyen.

Könnyen belátható (később még példát is mutatunk rá), hogy a nem tranzitív relációk téves következtetések forrásai lehetnek. De téves következtetésekre juthatunk akkor is, ha a modell és a modellezett különbözőségét figyelmen kívül hagyjuk, ha a modellezett olyan tulajdonságaira is következtetni akarunk, amelyek szerint azok nem hasonlóak. Vonatkozik ez nemcsak az objektumok modellezésére, hanem mindennapi gondolkodásunkra is.

A csak reflexív és szimmetrikus (de nem tranzitív) relációkat tolerancia (vagy: kváziekvivalencia) relációnak nevezik. A tolerancia és az ekvivalencia megkülönböztetése csak kettőnél több elem közötti reláció esetén lehetséges. Ezért a modell értelmezésekor nem elegendő egy modell és egy modellezett kapcsolatát vizsgálni, vagyis a modellt mindig a modellezettek egész csoportjának képviselőjeként kell felfognunk.

A “modellezettek egész csoportjának” meghatározása a lehetséges elemek H halmazán belüli egyfajta osztályozást jelent, vagyis a modellhez - adott szempontok szerint - hasonló és különböző osztályok elkülönítését. A halmaz egy osztályozása viszont nem más, mint az egymással ekvivalencia-relációban lévő elemek részhalmazba sorolása. Minden osztályozás definiál egy ekvivalencia relációt és - megfordítva - minden ekvivalencia reláció definiál egy osztályozást. Így értelmezzük a “modellezettek egész csoportját” mint egymással (valamely i. szempont szerinti) ρi hasonlósági relációban lévő elemek Ri osztályát (részhalmazát). Ismételten hangsúlyozzuk: ez egyben a H\Ri részhalmaz elkülönítése is, vagyis az Ri részhalmaz komplementerének, a modellhez - az i. szempont szerint - nem hasonló elemek részhalmazának meghatározása is. Mindebből az is következik, hogy ugyanazon H halmazon egy másik (j. szempont szerinti) ρj hasonlósági reláció egy másik Rj osztályt definiál.

A kétféle szempont szerint definiált halmazok viszonya egymáshoz a következő lehet:

a) Rj részhalmaza Ri-nek: 

ami azt jelenti, hogy a j. szempont szűkebb az i-ediknél (pl. Ri a paralelogrammák, Rj a négyzetek halmaza).

b) Ri részhalmaza Rj-nek: 

ami azt jelenti, hogy a j. szempont tágabb az i-ediknél;

c) Rj és Ri metszete üres: 

vagyis a szempontok kizárják egymást, a részhalmazok diszjunktak. Ha még

is igaz, akkor a szempontok egymás komplementerei.

Végül:

d)

de egyik sem valódi részhalmaza a másiknak. A hasonlósági szempontok nem diszjunktak. Vannak tehát olyan elemek is, amelyek mindkét szempont szerint hasonlóak egymáshoz. (Pl. Rj a háromszögek, Ri a derékszöget tartalmazó síkidomok halmaza. A derékszögű háromszögek alkotják a két halmaz metszetét.)

A hasonlóság szerepe az emberi gondolkodásban

A hasonlóság fogalma az emberi gondolkodásban rendkívül fontos helyet foglal el. Szigorúan véve a világ minden jelensége (minden rendszere) különbözik egymástól, nem lehet két azonosat találni közöttük. De ugyanaz a rendszer sem azonos önmagával, ha két különböző időpontban vizsgáljuk. Ebből arra a következtetésre lehetne jutni, hogy a végtelen sok, egymástól különböző jelenség megismerése lehetetlen.

Valójában ez is lenne a helyzet, ha az ember csak arra törekedne, hogy egy-egy jelenséget teljességében írjon le. Az emberi gondolkodás alapja azonban az általánosítás, az absztrakció. Az ember a világ megfigyelése során igyekszik felismerni az egyes jelenségek közös tulajdonságait. Már az érzékelés sem minden, hanem csak az adott érzékelő szempontjából lényeges jellemzőket fogja fel. [“Az érzékelés maga is szelektív ... (enélkül) semmiképpen sem tudnánk rendet teremteni az érzetek ... összevisszaságában.” Wartofsky (1977). 43. oldal]

Még erősebb az absztrakció a fogalmak megalkotása során. A fogalomalkotás lényegében nem más, mint csoportosítás, a (valamilyen szempontból) lényeges közös tulajdonságok felismerése és a lényegtelen különbözőségek elhanyagolása. Más szavakkal: a fogalomalkotás nem más, mint halmazba rendezés. A fogalom (= a halmaz “neve”) egyben a halmaz elemeinek közös tulajdonságát is jelenti.

Halmazba rendezni kétféleképpen lehet:

Extenzionálisan bármilyen önkényes csoportosítású halmaz is létrehozható. De intenzionálisan halmazt definiálni mindig csak valamilyen (csoportosítási) szempont szerint lehet. A csoportosítás a halmaz elemei között meghatározott ekvivalencia relációt jelent. Nyilván ugyanazon “elem” különböző halmazokhoz tartozhat aszerint, hogy mi a csoportosítás szempontja. Ily módon az egy halmazba tartozó elemeknek tehát (bizonyos) közös tulajdonságaik vannak. E közös tulajdonságok alapján az egy halmazba tartozó elemek hasonlók egymáshoz. Eszerint a következő két mondat tartalmilag ugyanazt fejezi ki: Ebből következik, hogy értelmetlen dolog általában hasonlóságról beszélni, mindig hozzá kell tenni: milyen szempont (ill. milyen tulajdonságok) szerinti hasonlóságról van szó.

Nem mindig szükséges (általában nem is lehetséges) a modellezés során a vizsgált halmaz elemeinek valamennyi tulajdonságát figyelembe venni. A súlyosabb tévedések elkerülése érdekében ezért mindig rögzíteni kell azt az “állapotteret”, amelyre a hasonlóságot értelmezzük.

A hasonlóságot és az analógiát gyakran szinonimának tekintik. Az eredeti görög αναλογοσ számok közötti viszonyt, összemérhetőséget, arányt jelent. Eukleidész V. könyve a viszonyok hasonlóságaként értelmezi: “Az arányosság” (αναλογία) “az arányok hasonlósága.” (Ezzel részletesebben itt nem foglalkozunk.)

Az analógiának az emberi gondolkodásban mindig is kitüntetett szerepe volt. A klasszikus fizika megalkotói számos példát mutattak erre. Csak vázlatosan sorolunk fel ezek közül néhányat:

Az utóbbi évszázad során a természettudomány minden területén alapelvvé vált az analógiák kutatása, a különféle jelenségek közös törvényeinek kutatása. Egységes elmélettel magyarázhatók (ma már) a különféle rezgések, legyen az elektromágneses hullám, valamely gép vagy hang rezgése. A statisztikus fizika módszerei egyaránt alkalmazhatók különféle (nagy elemszámú) rendszerek leírására. Néhány éve a fizikai analógiák a biológiai evolúció modellezésében is segítenek. A korábban különbözőnek tekintett energetikai kölcsönhatások Lars Onsager (norvég származású Nobel díjas amerikai fiziko-kémikus) nyomán az energodinamika egységes módszerével tárgyalhatók. Folytathatnánk tovább a példák egész sorával, a kvantumfizika eredményeivel, a térelmélet egységesítésével. De ilyen “analógiás” irányzatoknak kell tekintenünk a különféle interdiszciplináris törekvéseket is (pl. a kibernetikát vagy az ún. rendszerelméletet).

A tudomány nemcsak felhasználja az analógiákat, hanem foglalkozik a jelenségek hasonlósági feltételének megfogalmazásával is.

A XX. században a jelenségek hasonlóságával foglalkozó tudomány két irányban fejlődött tovább: Az első irányt egyenletanalízisnek, a másodikat dimenzióanalízisnek nevezzük. Az egyenletanalízis irányzata vezetett el a hasonlósági módszer mai értelmezéséhez.

A hasonlósági reláció

A modell és a modellezett közötti kapcsolat hasonlósági reláció. Az előbbiek szerint a modell és a modellezett mindig csak valamilyen meghatározott szempontból hasonló, más szempontok szerint viszont különböző. Így a modell mindig csak részleges lehet. Az ún. “teljes modell” (olyan, ami minden szempontból hasonló) csak egy van: maga a modellezett. A minden szempontból hasonlóság ugyanis azonosságot jelent. Ezért kell a hasonlósághoz mindig hozzátenni, hogy azt mely tulajdonságokra vonatkoztatjuk és ezzel - implicite - azt is megjelölni, hogy mely tulajdonságokban van különbözőség. Ellenkező esetben könnyen a káros analógia hibájába eshetünk.

Ennek nagyon leegyszerűsített, de szemléletes bemutatására tekintsük a 4 betűs (értelmes) magyar szavak halmazát. Értelmezzünk ezen a halmazon egy relációt, amely azokat a szavakat köti össze, melyek legfeljebb csak egy betűben különböznek egymástól. Ez a reláció reflexív és szimmetrikus. Tekinthető-e ez (az előbbiek során felsorolt követelményeknek eleget tevő) hasonlósági relációnak?

Például: a

HOLD - HORD - MORD - MARD - MARS
szavak közötti láncban a szomszéd párok között fennáll az előbbi reláció. De: ez a reláció nyilvánvalóan nem tranzitív, s így a lánc elején álló HOLD és a végén lévő MARS szavak már egy betűjükben sem egyeznek meg.

Lehet-e hasonlóságnak tekinteni azt a relációt, amelynek páronkénti alkalmazásával eljutunk a teljes különbözőségig? A hasonlósági reláció esetében ilyen “lánc-torzulásnak” nem szabad előfordulnia. Ezért pontosabban kell fogalmaznunk: nem elegendő megjelölni, hogy “legfeljebb csak egy betűben különbözik”, hiszen így nem rögzítettük a betű helyét. Az egyes szavakat ugyanis az “jellemzi”, hogy melyik helyen milyen betű áll. (Ennek hiányában pl. az OTTO és a TOTO szavak azonosak lennének?!) A különböző helyek különböző “jellemzőket” jelentenek. A négybetűs szavaknak négy jellemzőjük van, úgy tekinthetők, mint négy tulajdonsággal rendelkező elemek. A tulajdonság: hányadik betű a szóban. A tulajdonság értéke: melyik betű (ezen a helyen!). A hasonlósági feltétel csak úgy fogalmazható meg, ha megmondjuk, hogy “mely hely(ek)en álló betű(k)ben” különbözhet két szó. Így az előbbi feltételt így kell megfogalmazni: hasonlónak nevezünk két szót, ha (például) csak az első betűjében különbözik. Ilyen értelmezésben a

HOLT - FOLT -VOLT - BOLT
szavak egymáshoz hasonlóak. Könnyen belátható, hogy az így definiált reláció már tranzitív is, tehát ekvivalencia reláció.

*

A hasonlósági relációnak tehát ki kell elégítenie az ekvivalencia reláció követelményeit. Ellenkező esetben (pl. tolerancia reláció mellett) eljuthatunk odáig, hogy a modellezett modelljének a modellje már nem modellje a modellezettnek! Ez a káros analógia gyökere.

A hasonlósági szempontokat tehát egy adott feladat (modellezés) esetén előre rögzíteni kell. De hogy melyek ezek a szempontok, az mindig a feladat jellegétől, vagyis attól függ, hogy a modellnek miben kell hasonlónak lennie a modellezetthez.

A hasonlósági szempontok főbb típusai:

Tudatában kell lennünk annak, hogy ugyanazon rendszerhez a struktúra vagy a geometria vagy a funkció szerint más-más rendszerek hasonlóak: a strukturális, a funkcionális és a geometriai hasonlóság halmazai egymásnak nem részhalmazai. Lehet két rendszer geometriailag hasonló (pl. egy gépkocsi és annak makettje), anélkül, hogy funkcionálisan hasonlók legyenek. Lehet két rendszer funkcionálisan hasonló (pl. egy hőcserélő és annak villamos modellje), anélkül, hogy geometriailag hasonlók legyenek.

Mindez nem azt jelenti, hogy

,

hiszen a metszetnek van legalább egy eleme (maga a modellezett rendszer), vagyis léteznek olyan geometriailag hasonló objektumok, amelyek egymáshoz funkcionálisan és/vagy szerkezetileg is hasonlók. Azt azonban fontos felismernünk, hogy

nem igaz, vagyis

geometriai hasonlóság a funkcionális hasonlóságnak
nem szükséges, semmi esetre sem elegendő, sőt
gyakran kizáró feltétele.
Mit jelentene az, ha a geometriai hasonlóság a funkcionális hasonlóság elégséges feltétele lenne? Ebben az esetben minden geometriailag hasonló rendszer funkcionálisan is hasonló lenne. Így elegendő lenne a geometriai hasonlóságról gondoskodni, s ezzel minden egyéb jellemző hasonlósága automatikusan már biztosított lenne. Szemléletesen: a geometriailag hasonló rendszerek halmaza a funkcionálisan hasonló rendszerek részhalmaza, vagyis:
Mit jelentene az, ha a geometriai hasonlóság a funkcionális hasonlóság szükséges feltétele lenne? Ebben az esetben minden funkcionálisan hasonló rendszer geometriailag is hasonló lenne. Így kizárt lenne annak lehetősége, hogy a geometriailag nem hasonló rendszerek egymásnak funkcionális modelljei legyenek. Szemléletesen: a funkcionálisan hasonló rendszerek halmaza csak a geometriailag hasonló rendszerek részhalmaza lehet, vagyis:

Jelentős ellentmondásra jutnánk, ha a geometriai hasonlóságot a folyamatok hasonlóságának feltételeként kezelnénk.

Ismert, hogy az eukleidészi geometria “jellemző axiómája” a párhuzamosoké. [Valójában ez az V. posztulátum, amely így szól: “És ha egy egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak.Eukleidész (1983) 47. old.] Bizonyítható, hogy ez az “axióma” és az idomok hasonlóságának tétele felcserélhető: ha a geometriai idomok hasonlóságát posztuláljuk, abból a párhuzamosság tételei (!) levezethetők. Az is ismeretes viszont, hogy a nem eukleidészi geometriákban a párhuzamosok posztulátuma nem érvényes. Eszerint ezekben a geometriákban hasonló idomok nem léteznek (legalábbis az eukleidészi definíció szerint). Viszont: éppen századunk fizikája bizonyította be, hogy a világegyetemre nem az eukleidészi geometria törvényei érvényesek. [Leopold Infeld írja: “Egy világ tömegek nélkül, elektronok és elektromágneses tér nélkül üres világ, hamis elképzelés. De ha megjelennek a tömegek, a töltött részecskék és az elektromágneses tér, akkor megjelenik a gravitációs tér is. Ha megjelenik a gravitációs tér, akkor meggörbül a világunk. Geometriája a Riemann-féle geometria és nem az eukleidészi."] Eszerint a világegyetemre vonatkozóan nem beszélhetünk geometriai hasonlóságról! Ha pedig a geometriai hasonlóság a folyamatok hasonlóságának szükséges feltétele lenne, akkor a világegyetemben hasonló folyamatok nem létezhetnének!?

A geometriai és a funkcionális hasonlóság egymásnak ellentmondó feltételére - mint már említettük - Galilei is rámutatott. A “Discorsi …”-ban (15-19. old.) olvashatjuk a következő beszélgetést:

SAGREDO: Minthogy a mechanika minden lényeges elve geometriai alapokon nyugszik, ahol viszont a különböző körök, háromszögek, hengerek, kúpok és egyéb alakzatok tulajdonságai függetlenek a méretüktől; nem vagyok képes megérteni, miért ne lenne éppoly ellenálló a káros és romboló hatásokkal szemben egy olyan szerkezet, amelyet úgy készítettek el, hogy egy kisebb szerkezet minden egyes részét arányosan megnövelték?

SALVIATI: Ez az általánosan elterjedt nézet teljesen hamis … egy azonos anyagból és az arányok megtartásával készített nagyobb gépnek … tömege és az erőszakos behatásokkal szemben tanúsított ellenállása nem a méretek arányában nő… mennél nagyobb, viszonylag annál gyengébbnek bizonyul… Ön, Sagredo úr, sok más társával együtt, akik a mechanikát tanulmányozták, remélem megváltoztatja azt a véleményét, hogy az azonos anyagból, az arányok pontos megtartásával készített gépek és szerkezetek egyenlő mértékben, helyesebben nagyságukkal arányosan állnak ellen vagy engednek a külső hatásoknak és impetusoknak, ugyanis geometriai módszerekkel lehet bizonyítani, hogy a nagyobbak kevésbé ellenállók …

SAGREDO: Az Ön szavaiból, azt hiszem, arra kellene következtetni, hogy egyazon anyagból nem lehet két hasonló, de különböző méretű szerkezetet készíteni oly módon, hogy az ellenállásuk aránya megegyezzék a nagyságukéval; ha pedig így van, nem találhatunk két azonos fából készített rudat sem, amelyek ereje és ellenálló képessége egyforma, de nagyságuk különböző.

SALVIATI: Így van, Sagredo úr … nyilvánvalóan tévedés, hogy az igen nagy és egészen kicsiny mesterséges gépezetek egyformán készülhetnek és ugyanolyan tartósak lesznek.

SAGREDO: Akkor hát, Salviati úr, kérem, segítsen át bennünket a buktatókon, és oszlassa el fejünkben a homályt …

SALVIATI: Szíves örömest rendelkezésükre állok; remélem, hogy az emlékezetem nem hagy cserben és fel tudom idézni mindazt, amit … akár egy új tudományágnak is nevezhetnénk.”

Később Galilei az élővilágból hoz fel egy példát, bebizonyítva, hogy lehetetlen az állatok “egyszerű méretnövelése”, anélkül, hogy “szerkezeti anyagaik” (pl. a csontok anyaga és alakja) ne változnék.

“Felrajzoltam egy csont képét, amelyet az eredetinek csak háromszorosára hosszabbítottunk meg, és oly arányban vastagítottunk, hogy a nagyobb állatban ugyanazt a funkciót tudja ellátni, mint a kisebb csont a kisebb állatban: látják, ugye, milyen ormótlan alakú a nagyobbik csont. Nyilvánvaló tehát, hogy ha valaki azt akarná, hogy egy óriás arányaiban megegyezzen a közönséges emberekkel, akkor … sokkal szilárdabb és ellenállóbb anyagot kellene találnia a csontok számára …, ha pedig bizonyos határon túl akarná növelni, egyszerűen a saját súlyát sem bírná el.”

Talán ennyi is elegendő lenne annak szemléltetésére, hogy a geometria és a működés (a funkció) hasonlósága egymásnak ellentmondó lehet. De annyira elterjedt a “geometriai hasonlóság a működés hasonlóságának feltétele” téves nézete, hogy talán nem felesleges még egy példa az élőlények köréből.

Egy hangya a saját testtömegénél kereken százszor nehezebb bogarat hurcol, vonszol. Ez pontosan olyan teljesítmény, mintha mi egy 5-7 t tömegű elefánt tetemét vonszolnánk haza" vagy egy zongorát vinnénk a hátunkon egy létrán. "Az orrszarvú bogár saját tömegének 850-szeresét is elcipeli. Ha az elefánt ilyen erős lenne, akkor egy kisebb csatahajót vihetne a vállán. A szöcske vagy az ugróvillás rovar saját termetéhez viszonyítva labdarugó pályán az egyik kapuból a szemben lévő kapuba tudna ugrani …. A kutatók a múlt században még azt hitték, hogy a rovarok azért olyan erősek, mert 'erősebb izmaik' vannak. Ma már tudjuk, hogy a helyzet más; 1 cm2 keresztmetszetű izomköteg az ember testében 6-10, a kecskebékáéban 3-5, a szöcskében pedig 4-6 kg erőt képes kifejteni … A kicsiny állatok elképesztő teljesítményének titka tehát nem más, mint a kicsinységük, és abból fakadnak eredményeik, hogy a hosszúság, a felület és a térfogat aránya számukra igen kedvező.

Egy másik példa: A bolha kb. 1 m magasra ugrik. Milyen magasra ugranék a bolha, ha ember nagyságú volna? Az élőlények mozgékonysága többek között az izomerő és a test tömegének viszonyától függ. Az izomerő az izom keresztmetszetével, tehát az  lineáris méretek négyzetével, a tömeg pedig a térfogattal, vagyis a lineáris méretek köbével arányos. [Az állatok méreteinek növekedésével a csontjaikra ható súly nem a tömegnek megfelelő harmadik hatványon, hanem - a hajlítóerő következtében - a negyedik hatványon növekszik - írja Farkas, 75. old.] Az “eredeti” ugrás h magassága az erő és a tömeg hányadosával arányos:

Ha az állat minden méretét c-szeresére növeljük:  =c , akkor geometriailag hasonló lényt hoztunk létre, amelynek ugrási magassága h’= h/c, vagyis c-szeresére csökken! Az ember nagyságú bolha az eredeti állatnál kb. ezerszeresen nagyobb. Az ilyen állat ugrási magasságának nagyságrendje az eredeti m helyett csupán mm lenne.

Hibás következtetésekre jutnánk tehát, ha a modellezésnél mindenkor a geometriai hasonlóságot tekintenénk meghatározó szempontnak. Csak matematikai módszerekkel lehet a folyamatok, rendszerek hasonlóságának szükséges és elégséges feltételét meghatározni.