Kísérlettervezés

A kísérletezés, a próbálgatás az egyik “legizgalmasabb” emberi tevékenység. Németh László írja, hogy “amit az élet, mint terhet, gondot vagy csapást mér rá, a kísérletezés öröme alakítja át mulatsággá” (A kísérletező ember, Előszó). De a kísérletezés és a próbálgatás igencsak különböznek egymástól. Fényes Imre így fogalmaz: “A próbálgatás csupán valamilyen következménnyel jár, a kísérlet viszont eldönt valamit, aminek lehetőségét már előre kigondoltuk, de nem tudtuk: helyes-e vagy sem.” (Élet és Irodalom, 1974. febr. 14.)

A kísérlet a technikában és a modern természettudományokban a kutatás-fejlesztés alapvető módszere. Az Értelmező Szótár szerint a kísérlet “(természeti) folyamat, jelenség mesterséges előidézése tudományos megfigyelés végett”. Az Új Magyar Lexikon megfogalmazásában “valamely természeti folyamat mesterséges előidézése oly módon, hogy a folyamat feltételei bizonyos fokig pontosan ellenőrizhetők legyenek, és belőlük a folyamat meghatározó törvényszerűségeire következtetni lehessen ... Elősegíti az elméleti következtetések, hipotézisek ellenőrzését és gyakorlati felhasználhatóságuk megvizsgálását”. A Révai Nagy Lexikona így definiálja a kísérletet: “az az eljárás, amidőn valamely oksági kapcsolat kikutatására magunk rendezzük el a jelenségek folyását célunk szempontjából… a kísérletnél mindig valamilyen feltevésből (hipotézis) kell kiindulnunk… nagy technikai ügyesség is kell a kísérlethez…”

A kísérlet (a mi értelmezésünk szerint) modellezés (is), és a kísérleti objektum modellnek (is) tekinthető. (Nem szükséges ismét felsorolni a modell funkcióit, típusait. Mindazok a kísérletre is vonatkoztathatóak, s így beszélhetünk nemcsak kutatási, hanem pl. szemléltető kísérletekről is.)

A kísérleteket általában mérésekkel hajtják végre (bár kvalitatív, sőt gondolati kísérletek is léteznek). De: nem minden mérés kísérlet! Az egyszerű megfigyelő-mérésnél az ember a tőle függetlenül végbemenő folyamatokat regisztrálja. A kísérlethez viszont mindig hozzátartozik az emberi beavatkozás a folyamatba, a rendszer bemenő jellemzőinek, működési feltételeinek beállítása. De az olyan mérés sem tekinthető kísérletnek, amelyet nem előz meg a folyamat elméleti elemzése, a várható viselkedésre vonatkozó előzetes hipotézis felállítása.

Ilyen hipotézis lehet például:

A kísérlet során információkat szerzünk a kísérleti rendszerről, és ennek alapján döntünk a hipotézis elvetéséről vagy elfogadásáról. (Ismételten figyelmeztetünk arra, hogy a kísérletek az elméleti összefüggéseket nem “igazolhatják”, legfeljebb csak annyit jelezhetnek, hogy “nincs okunk a hipotézist elvetni”.)

A kísérlet során figyelembe kell vennünk, hogy a - mindig meglévő - sztochasztikus hatások miatt a valódi értékről csak közelítő információnk lehet. A valódi és a mért érték különbsége a mérési hiba.

A mérési hibával az információtechnika foglalkozik részletesen. Itt csak emlékeztetünk arra, hogy a mérési hiba lehet

illetve: ezen belül Mérési adatok értékelése

A mérési hibákat csökkenteni lehet, de megszüntetni nem. Ezért csak abban lehetünk biztosak, hogy a mért érték a valódi érték “közelében” van, de azt már nem tudhatjuk, hogy azzal megegyezik-e? Így a mérési pontok egyszerű összekötése hamis képet ad a folyamatról.

Ha egyetlen függvénygörbét akarunk n db mérési ponthoz illeszteni, akkor alapvetően két lehetőségünk van:

1. valamennyi ponton átmenő - ún. interpoláló - görbét szerkesztünk, ez lehet egy (legfeljebb n-1-ed fokú) polinom, valamilyen “simuló” függvény, trigonometrikus sor stb. Az így meghatározott függvénytől azonban nem várhatjuk el, hogy bármiféle információt is hordozzon a vizsgált rendszerben lezajló folyamatokról ill. a rendszert meghatározó belső tulajdonságokról. Ellenkezőleg: csak e tulajdonságok kvalitatív ismerete alapján dönthetünk arról, hogy milyen típusú interpoláló függvényt válasszunk;

2. a mérési pontok között átmenő - ún. simító - görbét szerkesztünk olymódon, hogy kiválasztunk egy függvénytípust (pl. legfeljebb n-2-ed fokú polinom), és a mérési adatok alapján meghatározzuk azokat a paramétereket, amelyekkel ez a függvény “legjobban” illeszkedik a mérési eredményekhez.

A 2. változatra többféle eljárás is létezik. A legismertebb a legkisebb négyzetek módszere. Ennek lényege a következő:

Matematikailag: extrémum számítással oldjuk meg a feladatot. (Az eltérések négyzetösszegének S nagysága nyilván függ a paraméterek értékétől. Ha az y = f(x) = f(x, a0, a1, ..., am) függvény az ajparaméterekre nézve lineáris, akkor az S = S(a0, a1, ..., am) függvény pozitív szemidefinit, így az extrémum egyben minimum, amit a paraméterek szerinti első deriváltak zérus értékéből lehet meghatározni.

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az f(x) függvény típusának kiválasztásához semmiféle matematikai módszer sem lehetséges, ehhez a vizsgált (mért) folyamattal kapcsolatos előzetes ismeretek (esetleg: intuíció) nyújthat támpontot.

A kísérlet során (általában) feltételezzük, hogy a folyamatra n db bemenő jellemző van szignifikáns hatással, és ezt a hatást valamilyen y (kimenő) jellemző változásával mérhetjük.

Hosszú időn keresztül a kísérletek során az n db bemenő jellemzőből n-1 db értékét rögzítették és egy jellemző változtatásának függvényében vizsgálták a kimenet változását. Ezt n-szer megismételték és így következtettek az input-output kapcsolatra. A kísérletek “tervezése” ebben a felfogásban nem jelentett mást, mint a rögzített paraméterek és a változtatandó jellemző sorrendjének, a mérési eszközöknek és módszereknek meghatározását. Az ilyen és más (ún. hagyományos) kísérletezés során matematikai-statisztikai módszereket csak a kísérleti adatok feldolgozása során alkalmaztak. Ezért a hagyományos kísérletezést passzív kísérletezésnek, a kísérleti “tervet” passzív tervnek is nevezik. A passzív kísérletsorozatok értékelési módszerei nem különböznek lényegesen a megfigyelési mérések értékelési módszereitől. A nem kísérletes tudományokban (pl. meteorológia, csillagászat, szociológia, ökonometria) természetesen ma is csak ilyen, passzív értékelési módszereket lehet alkalmazni.

A modern felfogás szerint a kísérlet minden szakaszában

Az ilyen, korszerű kísérletezést aktív kísérletezésnek, a kísérleti tervet aktív tervnek is nevezik.

A modern kísérlettervezés szakított a régi, hagyományos módszerrel. A matematikai statisztikából kinőtt kísérlettervezés alapvető feladata, hogy a kísérletek előtt - a megválaszolandó kérdések jellegének megfelelően - a kísérletekből kapott adatok értékelésének (matematikai) módszerét kiválassza és az elvégzendő kísérleteket valamilyen (a feladat jellegétől függő) szempont szerint optimálisan megtervezze. Általános szempont, hogy minimalizáljuk a kívánt információk megszerzéséhez szükséges kísérleti munkát vagy maximalizáljuk a kísérleti eredményekből kapható információ mennyiségét.

Mint arra már utaltunk: a kísérlettervezés egyik legjellemzőbb vonása az, hogy a tényleges kísérletek elkezdése (sőt: a kísérleti terv felépítése) előtt el kell döntenünk, hogy milyen (matematikai) módszerrel fogjuk értékelni majdani eredményeinket.

Általában a matematikai-statisztika két, egymástól szemléletében (is) különböző nagy családjából választják ki az alkalmasnak ítélt módszert. Ez a két család a szóráselemzés (diszperziós analízis) és a regresszió-elemzés (regressziós analízis). Ennek megfelelően a kísérlettervezésnek is két nagy területe van. A módszerek részletes ismertetésére nem vállalkozhatunk (Bővebben lásd pl. Adler), csak röviden áttekintjük az említett két terület néhány fontosabbnak vélt jellemzőjét, majd bemutatjuk a hasonlósági módszerrel való összekapcsolásának lehetőségét.

A kísérlettervezésben a bemenő jellemzőket (amelyektől az előzetes feltevés szerint a kimenő jellemzőfügg függ) faktoroknak nevezik. A faktor elnevezést a megfigyelési kísérleteknél is használják: a vizsgált rendszer olyan belső tulajdonságait tekintik faktoroknak, amelyek ugyan közvetlenül nem mérhetőek, de visszavezethető rájuk a rendszer külső tulajdonságainak változása. (Előfordul, hogy ezeket rejtett vagy fiktív tulajdonságoknak hívják). A kísérlettervezésnél azonban csak azokat a (rendszerbe beavatkozó, tehát külső) tényezőket tekintjük faktoroknak, amelyek nagyságát - bizonyos határok között, egymástól függetlenül - be tudjuk állítani. A faktorokat úgy kell megválasztani, hogy - ismereteink szerint - teljes készletet alkossanak, vagyis a rendszer viselkedésének meghatározásához szükséges és elegendő bemenő jellemzőt figyelembe kell venni. (Az ún. rostáló tervek feladata kiszűrni az “összes” bemenő jellemzőből a szignifikáns faktorokat és kölcsönhatásokat.)

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy bizonyos esetekben mind szóráselemzéssel, mind regressziós elemzéssel is értékelhetők a kísérletek. Ezért bizonyos kísérlettervezési módszerekkel (pl. az ún. teljes faktoros kísérletekkel) mindkét területen találkozhatunk, ami sajnos a két terület fogalmainak összekeveréséhez és ezáltal az eredmények helytelen interpretálásához vezethet.

Szóráselemzésre épülő kísérlettervezés

A kísérleti eredmények értékelésére általában akkor érdemes a szóráselemzés módszereit alkalmazni, amikor a faktorok között kvalitatív faktorok (is) vannak, amelyeket nem lehet objektíven mérhető mérőszámmal jellemezni. A regressziós módszertől való eltérés különösen akkor érzékelhető, ha a kvalitatív faktor(oka)t kettőnél több szinten változtatjuk. Ha a faktor(oka)t csak két szinten variáljuk, akkor a kvalitatív faktorok egy-egy szintjének önkényesen valamilyen mérőszámot adva formálisan a regressziós elemzést is alkalmazhatjuk az értékelésre, de hangsúlyozzuk, hogy ez csak formális megoldás és megnehezítheti az eredmények helyes interpretálását.

A szóráselemzés alkalmazásakor a kísérleti eredményeket egyetlen statisztikai sokaságnak tekintve kiszámítjuk ezen sokaság szórásnégyzetét (illetve ennek becslését), majd azt megpróbáljuk felbontani a faktorokhoz és kölcsönhatásaikhoz rendelhető szórásnégyzetek összegére. Ez csak abban az esetben tehető meg, ha a kísérletsorozatban a különböző faktorokat előre megtervezett módon változtattuk.

Regressziós elemzésre épülő kísérlettervezés

Kvantitatív faktorok esetében a kísérletek értékelésére általában regressziós elemzést használunk. Ennek során feltételezzük, hogy a faktorok pontosan beállíthatók (hibamentesek), a kimenő jellemző pedig konstans szórású, normális eloszlású valószínűségi változó, melynek várható értéke:

M(y) = f(x1, ..., xn )

az n db bemenő jellemző függvénye. A kísérlettervezésben általában nem magukat a faktorokat tekintik független változóknak, hanem azok valamilyen, célszerűen megválasztott, ismert függvényét. Gyakran alkalmazzák az

függvényeket, ahol Fi az i-dik faktor értéke (általában dimenziós mennyiség), Fi0 az i-dik faktor értéke az ún. alappontban, ei az i-dik faktor ún. variációs intervalluma. Az így definiált dimenzió nélküli független változók kifeszítenek egy Rn euklideszi teret, a válaszfelület (a rendszer “viselkedése”, reakciója) pedig e tér felett értelmezhető, n+1 dimenziós felület. Az f függvényről általában feltételezhető, hogy analitikus és így az origó környezetében (is) sorbafejthető. Nagyon gyakran ugyanis az f függvény alakja nem ismert, a válaszfelületet csak az alappont aránylag kis környezetében, lokálisan kívánjuk tanulmányozni. Itt is megmutatkozik a fenti leképezés előnye: a faktorok alappontbeli értékének a független változók nulla értéke felel meg. További előny, hogy ha a faktorokat a variációs intervallumuk értékével változtatjuk meg, akkor a független változók értéke eggyel változik meg.

A kísérlettervezés fontos területe a - valamilyen szempontból - optimális tartomány felderítése. Ilyen esetben különösen szembetűnő a hagyományos módszer hiányossága.

Tegyük fel, hogy a kimenő jellemző két bemenő jellemzőtől függ az ábra szerint (a függés alakja természetesen a kísérletek előtt még ismeretlen). Keressük a kimenő jellemző extrémumát (a folyamat jellegétől függően: maximumát vagy minimumát). A hagyományos módszer alapján egy rögzített x2 mellett mérték y értékét az x1 függvényében. Az így kapott görbének valahol van (ha a vizsgált tartományban létezik) extrémuma. Ezután az x1 értékét rögzítve az x2 változtatásával mérik y-t. Itt is adódik (adódhat) egy extrémális pont. Majd újra x2-t rögzítik, s í. t. Az eljárást folytatják addig, amíg a “valódi” extrémumot meg nem találják. A vizsgálat hosszadalmas és nem mindig vezet eredményre.

Az optimalizáló kísérletek tervezésére elterjedt módszerek közül itt csak egyet ismertetünk (azt is vázlatosan).

Előzetes ismereteink alapján kiválasztott alappont környezetében az válaszfelületet lokálisan vizsgáljuk. A kísérleti eredmények alapján meghatározzuk a válaszfelület gradiensének (azaz a legmeredekebb emelkedés) irányát, ebben az irányban valamennyi faktor egyidejű(!) változtatásával addig lépegetünk, amíg egy látszólagos optimumhoz nem jutunk. Ekkor ismét lokálisan tanulmányozzuk a válaszfelületet, meghatározzuk ismét a gradiens irányát és ellenőrizzük azt is, hogy még elfogadható-e a lineáris közelítés! Ha elfogadható, akkor ismét lépegetés következik, s í. t. Eközben előfordulhat, hogy eredményeink annyit javultak, hogy már nem is kell a valódi optimális körülményeket megkeresnünk! Ha azonban a lokális lineáris közelítés már nem bizonyul elfogadhatónak és a valódi optimum helyét kívánjuk megközelíteni, akkor lokálisan teljes másodrendű polinommal közelítjük a válaszfelületet, a megfelelő kísérleti tervek kiválasztásával.

Az eddigiekből is kitűnhet, hogy a vázolt (ún. meredek lejtő) módszernek hatékonyságát nagymértékben befolyásolja a válaszfelület gradiensének mennél pontosabb meghatározása. Ennek érdekében a kísérleteket ebben a szakaszban sem a hagyományos (a faktorok egyenkénti változtatása), hanem az ún. teljes vagy részfaktoros tervek alapján végezzük.

Kapcsolat a hasonlósági módszerrel

A hasonlósági módszer alkalmazásánál különös jelentősége lehet annak a körülménynek, hogy a faktoros kísérletek lehetővé teszik a faktorok különböző kitevőkkel rendelkező hatványszorzatainak egymástól és a faktorok lineáris hatásaitól független becslését. Ezáltal lehetőség nyílik annak objektív, kísérleti ellenőrzésére, hogy a matematika modell felépítésénél nem éltünk-e olyan egyszerűsítő feltevésekkel, amelyek a valóságban nem teljesülnek.

A hasonlósági módszer alkalmazásánál az x független változók a hasonlósági kritériumok, az y függő változók a hasonlósági invariánsok. Ennek előnye - a mértékegységrendszertől való függetlenség mellett - a kísérleti eredmények (a kísérletekből levonható következtetések, függvénykapcsolatok) kiterjeszthetősége a kísérleti objektumhoz hasonló rendszerek egész osztályára.

A hasonlósági módszer esetében tehát faktoroknak az egyes hasonlósági kritériumokat, válasznak a hasonlósági invariánst (invariánsokat) tekintjük, így itt a rostáló kísérlet annak vizsgálatát jelenti, hogy van-e a kritériumok között olyan, amelyre nézve (a vizsgált intervallumban) önmodellező a folyamat.