Rendszerek modellezése
Megfigyelhető, hogy két különböző tudományban a változók olyan rendszere van, amelyek közötti matematikai kapcsolat ugyanaz, tekintet nélkül arra, hogy a folyamatok fizikai lényege egészen különböző
Maxwell, J.


 A rendszerek térben és időben léteznek. Ennek megfelelően értelmezhetjük a rendszerek szerkezetét (vagy formáját), és folyamatait.

A szerkezet (vagy a forma) modellezéséhez - előzetes, felületes vélemények alapján - elegendő lenne a geometriai hasonlóság figyelembevétele. Ez azonban csak akkor engedhető meg, ha a cél a forma bemutatása, szemléltetése, és nem a szerkezeti kapcsolatok elemzése vagy bemutatása (amelyhez már a hatásmechanizmusok hasonlósága is szükséges).

A rendszerek modellezésére azonban - az esetek többségében - azért van szükség, hogy a benne végbemenő folyamatokról kapjunk információt. Márpedig a korábbiakból tudjuk, hogy a folyamatok hasonlóságának nem feltétele a geometriai hasonlóság. Értelmezéséhez azonban felhasználhatjuk az ott megismert fogalmakat.

Folyamatok hasonlósága
Gondoljuk meg, miért szükséges ismernünk a folyamatok hasonlóságának feltételeit?

Valamely feladat (különösen: probléma) megoldását lényegesen megkönnyíti, ha korábbi ismereteink alapján módunk van előzetes feltételezésekre és (azokból) következtetések levonására. Viszont csak akkor van jogunk és lehetőségünk (megalapozottan) következtetéseket levonni a vizsgált rendszerre valamely korábban megismert rendszer működéséből, ha az (bizonyos szempontok szerint) megfeleltethető az aktuális rendszer működésének. Másként megfogalmazva: csak akkor és abban szabad következtetnünk egyik rendszer viselkedéséből egy másik rendszerére, amikor és amiben a két rendszer hasonló egymáshoz.

A rendszerek hasonlóságának ismeretére elsősorban azért van szükségünk, hogy

A hasonlóság fogalma nélkül minden egyes rendszert külön-külön kellene vizsgálni. A hasonlóság ismeretében viszont az egyes vizsgálati eredmények felhasználhatóak újabb, kellően még nem ismert rendszerek jellemzőinek előzetes meghatározásához.

Két rendszer működése akkor hasonló egymáshoz, ha az egyik állapotváltozóinak (jellemzőinek) értékéből (és azok változásából) a másik állapotváltozóinak értéke (és változása) kölcsönösen egyértelműen meghatározható. Ennek megfelelően definiáljuk a folyamatok hasonlóságát:
 

Hasonlóak az olyan rendszerek, amelyek megfelelő jellemzői arányosak.

Első közelítésben tekintsünk el az idő szerinti változástól (stacionárius folyamatot tekintve). Legyenek az állapotjellemzők az egyik rendszerben:

x1 , x2 , ..., xn ;
a másik rendszerben:
x1', x2', ..., xn'.
 rendszer állapotát (a vizsgálati szempontok által rögzített állapottérben!) az n db állapotjellemző térbeli eloszlása jellemzi, vagyis azok az
xi = fi (r); (i = 1, ..., n)
függvények, amelyek megadják a tér minden P(r) pontjára (pontosabban a P ponttal jelölt véges térfogatelemre) xi értékét.

Eloszlásfüggvények jellemzik a másik rendszer állapotát is:

xi’ = fi’ (r’); (i = 1, ..., n)

Ezen függvények ismeretében meghatározhatók az ún. izofelületek, vagyis azon pontok mértani helye, amelyekben egy adott állapotjellemző azonos értékű.

Két rendszeren - ha azok geometriailag hasonlóak - az izofelületek hasonlósága alapján is megállapítható a hasonlóság. Ugyanis ekkor a megfelelő pontokban (az ábra szerint A és A’, ill. B és B’ pontokban) a megfelelő állapotjellemzők hányadosa (aránya) állandó, a két rendszer (megfelelő) állapota arányos, vagyis hasonló.

Például ha az izofelület az izoterma (vagyis az azonos hőmérsékletű pontok mértani helye), akkor hasonlóság esetén

.

Általánosabban is fogalmazhatunk (elhagyva a geometriai hasonlóság kikötését). Tegyük fel, hogy két, R és R’ rendszerünk térbeli elrendezése (pontjai) között kölcsönösen egyértelmű kapcsolat van:

vagyis minden R(1)-beli ponthoz tartozik egy (de csakis egy) R(2)-beli pont és megfordítva. Ez azt jelenti, hogy (általános formában) értelmezhetők - a két rendszerre vonatkozóan - a “megfelelő pontok”.

Tegyük fel továbbá, hogy ismert mindkét rendszerben az állapotjellemzők - előbbiek szerint értelmezett - eloszlásfüggvénye. Válasszunk ki az R(1) rendszerben egy P pontot (melynek helyvektora rP), így adott az R(2) rendszerben az ennek megfelelő Ppont is (melynek helyvektora r,P, ). A P pontban az i. állapotjellemző értéke xi, a P pontban pedig xi. Az xiés xi aránya megadható egy ki, p számmal, ahol a második index jelzi, hogy a P<->P' (megfelelő) pontpárra vonatkozik. Amennyiben ennek értéke (a hely megválasztásától függetlenül) minden pontpárra azonos, vagyis

akkor az i. állapotjellemző a két rendszerben arányos:
Az olyan rendszerek, amelyeknek valamennyi (az adott vizsgálati szempontból szignifikáns) i = 1, ..., n állapotjellemzőjére fennáll az előbbi összefüggés, egymáshoz hasonlóak. Ekkor a két rendszer állapotjellemzői közötti kölcsönösen egyértelmű kapcsolatot a K (diagonális) mátrix adja, amelynek i. sorában és i. oszlopában álló szám azt fejezi ki, hogy az R(2) rendszer bármely pontjában mért xi' értékének hányszorosa az R(1) rendszer megfelelő pontjában levő xi értéke.

A K mátrix (illetve annak K-1 inverze) a két rendszer állapotjellemzőinek kölcsönösen egyértelmű leképezési függvénye:

x = K x', illetve: x' = K-1x,

ahol x az n-dimenziós állapotvektor, melynek komponensei x1, ..., xn.

Miután a megfeleltetésnek egyidejűleg kell az idő, a tér és az állapot jellemzői között fennállnia, a jelöléseket egyszerűsíthetjük. Összevonjuk a megfelelő pontok és az állapotjellemzők koordinátáit, vagyis az x vektor egy meghatározott értéke tartalmazza (mint komponenseket) az időnek, a tér egy pontjának és az ezekhez tartozó összes állapotjellemzőnek aktuális értékét. Ekkor a leképezési T mátrix olyan diagonális mátrix, amelynek első eleme a t és a t’ időlépték, a 2., 3. és 4. eleme a három térkoordináta arányosságát adja, a további elemek pedig az előzőekben megadott K mátrixot alkotják. Az előbbiek alapján megadható a definíció:
 

Két rendszer hasonló, ha fennáll közöttük az
x = T x', illetve: x' = T -1x
kölcsönösen egyértelmű leképezési kapcsolat,

ahol T a leképezés függvénye, T-1 pedig ennek inverze.

Emlékeztetünk azonban az előző fejezet végén leírtakra: “A leképezés lehet bármilyen mátrix-transzformáció vagy függvény. A feltétel csak az, hogy kölcsönösen egyértelmű és környezettartó legyen.” Ez természetesen nemcsak a geometriai hasonlóságra igaz. Bizonyos, hogy a jelenleginél általánosabb modellezési módszereket lehetne kidolgozni, ha a hasonlósági összefüggéseket nemcsak diagonális mátrix transzformációra, hanem általános (topológiai) leképezésre is ismernénk.

Ha tehát létezik a két rendszer jellemzői közötti kölcsönösen egyértelmű T kapcsolat akkor a rendszerek egymáshoz hasonlóak. Ez a definíció azonban csak annyit mond ki, hogy mikor nevezzük a már ismert rendszereket hasonlónak egymáshoz. Másként kifejezve: a hasonlóság definíciója egy a posteriori kijelentés.

A gyakorlatban (a legtöbbször) a hasonlóság meghatározására a priori van szükségünk. A feladat leggyakrabban éppen az, hogy olyan rendszerek működésére tudjunk következtetni, amelynek közvetlen mérése, az állapotjellemzők eloszlásának meghatározása nem (vagy csak igen nehezen) lehetséges. Ilyenkor a modellen végzett mérésekből kell meghatározni a modellezett állapotjellemzőinek eloszlását. Erre viszont csak akkor van lehetőség, ha a modell valóban modell, vagyis hasonló a modellezett rendszerhez. A hasonlóság tényét azonban az előbbi definíció szerint csak úgy tudnánk meghatározni, ha már ismernénk a modellezetten belüli eloszlásokat. Ezt a circulus vitiosust csak úgy lehet feloldani, ha előre meg tudjuk határozni azokat a feltételeket, amelyek kielégítése esetén a rendszerek a hasonlósági definíciónak megfelelnek.

Abból indulunk ki, hogy a rendszert környezetétől véges vastagságú felület (a rendszer pereme) választja el. E peremen keresztül a környezetből a rendszert, ill. a rendszerből a környezetet determinisztikus és/vagy sztochasztikus külső hatások érik, és e hatások a perem tulajdonságaitól (szigetelésétől) függően terjednek tovább. A rendszeren belüli folyamatok e hatásokra “válaszolnak”. A rendszer működése tehát - lényegében - nem más, mint a környezetből érkező hatások átalakítása a környezetbe küldött hatásokká, miközben a rendszer saját állapota is változik.

A rendszer peremének térbeli elhelyezkedését és anyagi tulajdonságait, valamint a környezet ismert hatásait matematikailag az egyértelműségi feltételek rögzítik. A rendszeren belüli folyamatokat a természettörvények szabják meg. Ezeket megváltoztatni nem tudjuk, hatásukat is csak az egyértelműségi feltételeken keresztül tudjuk befolyásolni.

A rendszerek hasonlóságának matematikai leírása szempontjából a bemenő jellemzők (az input) vektorának értelmezését célszerű kiterjesztenünk: ide soroljuk nemcsak a belépő áramokat, hanem a többi egyértelműségi feltételt is; pontosabban: mindazon feltételt, amelyeknek változtatására módunk - szabadságunk - van. A rendszert magát illetve a rendszeren belül érvényesülő (tőlünk független) természettörvények összességét olyan transzformátornak tekintjük, amely a bemenő jellemzők vektorát a kimenő jellemzők vektorává alakítja.

Rendszerek funkcionális hasonlósága
Jelölje az előbbiek szerinti kiterjesztéssel értelmezett inputot, az egyértelműségi feltételek vektorát X, az outputot, a rendszer válaszának vektorát Y. A rendszer belső transzformációs tulajdonságait matematikailag (leggyakrabban) a differenciálegyenletek rendszere fejezi ki. A rendszer transzformációs hatását matematikailag úgy értelmezhetjük, mint a D differenciálegyenlet-rendszer megoldását az adott egyértelműségi feltételek mellet. Ez a megoldás éppen az

Y = R(X)

függvénykapcsolat, amelynek alapján bármely konkrétX értékhez kiszámítható az Y output.

Ugyanígy írható fel a

Y’ = R’(X’)

függvénykapcsolat is.

Nyilvánvaló, hogy az előbbiekben értelmezett hasonlóság esetén a kölcsönösen egyértelmű T leképezési kapcsolat fennáll mind az X és X’, mind az Y és Y' között. Azonban az X és X', illetve az Y és Y’ bármely értékpárja között akkor és csakis akkor állhat fenn a T leképezési kapcsolat (illetve annak inverze), ha az R rendszer D differenciálegyenleteit a leképezés az R' rendszer D' differenciálegyenleteibe viszi át.

Ennek belátására vegyük figyelembe, hogy a rendszer differenciálegyenlete (illetve egyenletrendszere) annak a transzferhatásnak a matematikai kifejezése, amely a bemenő jellemző(ke)t kimenő jellemzővé alakítja. Két rendszer hasonló bemenő jellemző(i)nek csak akkor felelhet(nek) meg hasonló kimenő jellemző(k), ha a rendszer transzfer hatása is hasonló.

Természetesen előfordulhat olyan extrém eset is, amikor különböző transzferek is hasonló kimenetet adnak. Ezt egyszerű példán is bemutatjuk. Legyen az R rendszer transzferje

y = sin(φx),

az R' rendszer transzferje

y' = sin1x')cos2x').

Az x = x' = 0 helyen mindkét rendszer kimenete

y = y’ = 0.

De: változtatva x értékét, már y y'. Ezért kellett kikötnünk, hogy csak “bármely összetartozó értékpárja” közötti hasonlóság esetén hasonlóak a transzfert kifejező egyenletek is.

A transzfer hasonlóságából következik, hogy két rendszer hasonlóságának szükséges feltétele, hogy a belső kapcsolatokat leíró differenciálegyenletek (általában: egyenletrendszerek) egymásba kölcsönösen egyértelműen áttranszformálhatók legyenek.

A bemenő jellemzők hasonlóságából következik: két rendszer hasonlóságának szükséges feltétele, hogy az X és X' egyértelműségi feltételei egymásba kölcsönösen egyértelműen áttranszformálhatók legyenek.

A hasonlóság főtétele azt mondja ki, hogy az előbbi két szükséges feltétel egyben elégséges is:
 
Két rendszer hasonlóságának szükséges és elégséges feltétele, hogy leíró differenciálegyenleteik és a hozzájuk tartozó egyértelműségi feltételek egymásba kölcsönösen egyértelműen áttranszformálhatók legyenek.

Mivel a rendszert leíró differenciálegyenlet (egyenletrendszer) a hozzá tartozó egyértelműségi feltételekkel együtt (definíció szerint) a rendszer matematikai modellje, a főtétel így is fogalmazható:
 
Két rendszer hasonlóságának szükséges és elégséges feltétele, hogy matematikai modelljeik egymásba kölcsönösen egyértelműen áttranszformálhatók legyenek.

A matematikai modellek alapján (és csak azok alapján!) előre eldönthető, hogy két rendszer adott szempontok szerint hasonló-e egymáshoz vagy sem. (A hasonlóság szempontjának a T transzformáció felel meg.)

Rögtön adódik a kérdés: Hogyan tekinthető funkcionálisan hasonlónak két olyan rendszer, amelynek matematikai modelljeit nem ismerjük? A válasz - bármennyire is “elszomorító” ez sokak számára - az, hogy sehogy! Intuíció vagy hipotézis lehet két ilyen rendszer hasonlóságának előzetes feltételezése, de erről bizonyosságot csak utólag szerezhetünk. Ebből az is következik, hogy a matematikai modelljeik szerint egymáshoz hasonló rendszerek nem biztos, hogy kvalitatív tulajdonságokban is hasonlóak egymáshoz. A hasonlóság csak azon jellemzők körére igaz, amelyeket a hasonlósági transzformáció összeköt, amelyekre a matematikai modell vonatkozik. Más - a matematikai modellben figyelembe nem vett - jellemzőkre (és azok hatására) vonatkozóan a funkcionális hasonlóságról semmiféle előzetes kijelentést sem tehetünk. Ennek figyelmen kívül hagyása a káros analógia forrása (lehet).

Feltételi egyenletek
A lehetséges hasonlósági transzformációk közül a következőkben a legegyszerűbbet, az ún. diagonális mátrix-leképezést választjuk. Ez a transzformáció hasonlít a geometriai transzformációhoz, azonban itt nem a hosszúság, hanem a jelenség “léptékét” változtatjuk:

Két rendszerben végbemenő folyamat hasonlóságának vizsgálatakor az egyes (fizikai és geometriai) változókat transzformáljuk. Az i-edik változót jelöljük az egyik rendszerben xi-vel, a másik rendszerben x'i-vel.

Az xi és x'iváltozó arányát jelöljük ci -vel, vagyis:

Másként megfogalmazva: a “vesszővel jelölt rendszer” egyes változóit a ci lineáris (hasonlósági) transzformációs szorzók viszik át a másik rendszer megfelelő változóiba. A transzformációs szorzók értéke minden változóra más és más lehet, de ugyanazon változóra egy rendszeren belül (pontosabban egy rendszernek egy másik, vele hasonló rendszerhez való viszonyában) szigorúan állandó. (A két rendszer egy-egy változója egymással arányos.)

A hasonló rendszerek megfelelő pontjaira nézve

ami így is írható:
.
A hasonló rendszerek matematikai modelljei a hasonlósági transzformációval szemben változatlanok (invariánsak). Így a két rendszer differenciálegyenletének (ha a rendszerek hasonlóak) meg kell egyezniük:

A jobb oldali egyenletet viszont a  xi' = cixi felhasználásával is megadhatjuk:


ahol az egyes transzformációs szorzók közötti függvénykapcsolat. A fenti két összefüggés egybevetéséből következik, hogy

Annak feltétele tehát, hogy két rendszer egymáshoz hasonló legyen az, hogy a transzformációs szorzók közötti függvénykapcsolat értéke 1 legyen. Ezt az egyenletet ezért feltételi egyenletnek nevezzük.

A feltételi egyenletek általános formája - diagonális transzformációk esetére - pontosabban is megadható. Bizonyítható, hogy k számú alapdimenzió felvételével n darab változóból n-k darab dimenzió nélküli hatványszorzat képezhető. Ennek megfelelően a transzformációs szorzókra n-k számú

alakú összefüggés adható meg, ahol
c1, c2, ..., ck a k darab egymástól független dimenziójú fizikai mennyiség transzformációs szorzója,
αsi hatványkitevő, amely kifejezi, hogy a (k+s)-edik transzformációs szorzó hogyan függ az i-edik független transzformációs szorzótól,
Πa produktum jele.
Átrendezve kapjuk:
Behelyettesítve a ci = xi/ x'i értékeket:

A hasonló jelenségek esetében tehát a változókból képzett (n-k) számú, Ps típusú dimenzió nélküli jellemző azonos értéket vesz fel. Vagyis az előbbi hatványszorzat invariáns a transzformációval szemben.

Az előbbivel teljesen azonos módon szükséges az egyértelműségi feltételeknek is transzformálódniok. A bennük szereplő változókra ugyanilyen alakú összefüggések adhatók meg.

Hasonlósági kritériumok és invariánsok
Az előbbi pontban levezetett Ps típusú dimenzió nélküli jellemzők számértéke a hasonló rendszerek esetében azonos. (Ilyen értelemben a "Geometriai hasonlóság" végén összefoglalt fogalmak közül a 2. csoportba tartozókkal analóg: a hasonló rendszerek univerzális változója.) Ez azt jelenti, hogy ezen jellemzők számértéke a hasonlósági transzformáció során nem változik, vagyis a hasonlósági transzformációval szemben invariáns (= változatlan). Ezért nevezzük ezeket a jellemzőket hasonlósági invariánsoknak.

A matematikai modell hasonlósági transzformációjából levezetett univerzális változók között is megkülönböztetünk független és függő változókat. Előbbiek közé tartoznak azok, amelyeknek számértékét (a fizikailag megengedhető határok között) szabadon választhatjuk meg; utóbbiak közé azok, amelyek nagyságát a folyamatok törvényszerű lefutása szabja meg.

A hasonlósági transzformációval szembeni invarianciának természetesen mindkét csoportra érvényesnek kell lennie. De míg a független változók esetében erről az invarianciáról magunknak kell gondoskodni (értékük tőlünk függ: úgy kell megválasztani a szabad paramétereket, hogy az azokból alkotott független változó értéke a modellben és a modellezettben megegyezzen), addig a függő változók esetében az invarianciát maga a hasonló folyamat (tőlünk már függetlenül) hozza létre.

Melyek azok a paraméterek, amelyek egy rendszernél szabadon választhatók meg?

Nyilvánvalóan azok, amelyek a rendszer bemenő jellemzői (pontosabban: azok a jellemzők, amelyek az egyértelműségi feltételekben szerepelnek). Csak ezek függ(het)nek a rendszert irányító személy(ek)től.

A matematikai modellben szereplő többi jellemző nagyságának alakulását már - a bemenő jellemzőktől ugyan függően, de - a természettörvények határozzák meg.

Ennek megfelelően különleges szerepük van azon hasonlósági invariánsoknak, amelyekben szereplő valamennyi fizikai változó értéke az egyértelműségi feltételekben rögzített. Megkülönböztetésül a hasonlósági invariánsok ezen csoportját hasonlósági független változónak, vagy hasonlósági kritériumnak nevezzük. Utóbbi elnevezést az indokolja, hogy hiába hasonlóak a rendszerekben végbemenő folyamatok természettörvényei, ha nem hasonlóak az egyértelműségi feltételeik. Az egyértelműségi feltételek hasonlósági transzformációjával szembeni invariánsok számértékének betartása a hasonlóság biztosításának szükséges feltétele. A többi dimenzió nélküli változó (függő invariáns) számértékének invarianciája viszont a hasonlóság következménye.

A matematikai modellt a leíró egyenletek és az egyértelműségi feltételek alkotják. Az utóbbiak szabják meg, hogy mely invariánst tekinthetünk hasonlósági kritériumnak.

Gyakran olvashatjuk a hasonlósági tétel egyszerűsített megfogalmazását: “A hasonlósági kritériumok számértékének egyezése a jelenségek hasonlóságának szükséges és elegendő feltétele.” E tétel - az eddigi összefüggésekben - helyes, de már vulgarizálás, amikor úgy gondolják, hogy hasonlóság = hasonlósági kritériumok megegyező számértéke. A jelenségek matematikai modelljeinek kapcsolata nélkül nincs hasonlóság. Csak ezután lehet egyáltalán szó a hasonlósági kritériumokról. Ezt azért szükséges hangsúlyozni, mert gyakran előfordul, hogy a dimenzióanalízissel meghatározott dimenzió nélküli számokat vagy (még rosszabb esetben) valamely táblázatból kiválasztott “kritériumokat” hasonlósági kritériumokként kezelik, és úgy gondolják, hogy ha ezek számértéke a két berendezésre megegyezik, ez már biztosítéka a hasonlóságnak. Nem a kritériumok jelentik a “modelltörvényeket”, hanem a matematikai modellek kölcsönös megfeleltethetősége. Ezt kell biztosítani, és ennek egyik módja a változók hasonlósági transzformációja során kapott feltételi egyenletekre előírt követelmények betartása. A hasonlósági kritériumok ettől független, misztikus értelmezése, bármilyen fetisizálása csak zavart okozhat.

Ismertebb alakra jutás érdekében lehetséges - és gyakran követett módszer az irodalomban - a kritériumok formálása (több kritérium összevonása, szorzással vagy osztással). Ez azonban nem változtat a feltételi egyenletek struktúráján. Az összevonás nem csökkentheti a kritériumok számát. Bár az invariánsok minden hatványszorzata is invariáns, és így lehetséges két kritérium összevonásával egy újat alkotni, de ekkor a “régiek” közül meg kell tartanunk az egyiket. A kritériumok a feltételi egyenleteket képviselik. Ha számukat csökkentjük, azt jelenti, hogy nem tartjuk be a hasonlóság feltételét. Ez így önmagában önkényes eljárás. Csak alapos megfontolások alapján szabad egyes esetekben a feltételi egyenletek számát csökkenteni. Ilyenkor azonban mindig a matematikai modellnél kell kezdeni. Így van mód arra, hogy eljárásunk megalapozottságát indokolni, az elkövetett hiba (vagy közelítés) nagyságát becsülni tudjuk.

A hasonlósági invariánsok rendszerezése
A hasonlósági invariánsok (és kritériumok) sokaságában nehéz tájékozódni, hiszen elvileg minden, egymástól különböző matematikai modellből más-más formájú invariánsokat kaphatunk. Szükséges ezért az előzetes eligazodás az irodalomban fellelhető hasonlósági invariánsok rendszerezése érdekében, hogy meghatározzuk: milyen formájú invariánsok létezhetnek egyáltalán. Célszerűen ehhez is az általános mérlegegyenletet használjuk fel, amelyből a technikában előforduló matematikai modellek (a megfelelő feltételek ill. elhanyagolások figyelembevételével) levezethetők. Ezért az általános mérlegegyenlet lokális formájából indulunk ki és megadjuk a hasonlósági invariánsok típusait, amelyre valamennyi, a különféle szakmai közleményekben található invariáns visszavezethető.

Valamely extenzív mennyiség ν sűrűségére vonatkozó lokális mérlegegyenlet

. (*)
Vegyük figyelembe, hogy az egyenlet bal oldalának második tagja Descartes-koordinátákban:
ahol
xi az i-edik (i = 1, 2, 3) térkoordináta,
w a közeg áramlási sebességének vektora;
ui ennek i-edik komponense;
yk a k-adik (k = 1, ..., n+1) intenzív mennyiség, amelyek közül csak n db független van, így az összegezés csak n-ig terjed;
Lk a k-adik intenzív mennyiség inhomogenitása által kiváltott áramsűrűség vezetési tényezője;
q az extenzív mennyiség forrássűrűsége.
A (*) egyenlet által leírt jelenséget nevezzük “eredeti” transzportjelenségnek.

Egy másik transzportjelenséget ugyanilyen egyenlettel írhatunk le. A benne előforduló változók értékei azonban természetesen az előbbiektől eltérhetnek, így azokat megkülönböztetésül vesszővel jelöljük:

(**)
Vezessük be a következő jelöléseket:
cν az extenzív mennyiség sűrűségének;
ct az időnek;
cuiaz áramlási sebesség i-edik (i = 1, 2, 3) komponensének;
cLk a k-adik intenzív mennyiségre vonatkozó vezetési tényezőnek
        (k = 1, ..., n);
cyka k-adik intenzív mennyiségnek;
cxi az i-edik térkoordinátának;
cq a forrássűrűségnek transzformációs szorzója.
A transzformációs szorzók fejezik ki a megfelelő (vesszővel jelölt és vessző nélküli) fizikai mennyiségek arányosságát.

Például az időre:

ct = t/t’,
vagy a térkoordinátákra (a geometriai méretre):
cxi = xi /x’i. (i = 1, 2, 3)
Ez utóbbiak geometriai hasonlóság esetén minden koordinátairányban azonos értékűek, de - a korábbiakban kifejtettek alapján - általában lehetséges, hogy
cx1cx2cx3cx1.
Transzformáljuk a (**) egyenletet, vagyis helyettesítsük be a vesszővel jelölt mennyiségek helyére a transzformált vessző nélküli mennyiségeket. Ennek során mindjárt vegyük figyelembe, hogy a transzformációs szorzók a helytől és időtől nem függő állandók, így a differenciálási műveletek elé kiemelhetők:
(***)
illetve Descartes koordinátákban:

A (***) egyenlet azonos a (**) egyenlettel. “Változás” csak annyi, hogy pl. nem w' jelöli a sebességvektort, hanem az ezzel azonosan egyenlő cww szorzat.

Két különböző transzportjelenséget leíró egyenletünk van: a (*) és a (***). Annak feltétele, hogy e két egyenlet egymással azonos legyen az, hogy a (***) egyenlet szögletes zárójelben lévő tagjai egyenlők (és zérustól különbözők) legyenek. Ekkor ugyanis velük egyszerűsíthetünk, és a megmaradó rész épp a (*) egyenletet adja. A feltétel tehát:

(i = 1, 2, 3; k = 1, ..., n)
Jelöljük a transzformációs szorzók egyes csoportjait rendre S, Ki, Dij, Q betűkkel, utalva arra, hogy az
S = cν/ct
kifejezésben a vizsgált extenzív mennyiség νsűrűségének, a
Ki = cνcui/cxi
kifejezésben a konvektív áramsűrűségnek, a
Dij = cLjcyj/c2xi
összefüggésben a j-edik jellemző intenzív mennyiség eloszlásának inhomogenitásával kapcsolatos konduktív áramsűrűség (“diffúzió”) j-edik komponensének, míg a
Q = cq
értékénél a forrássűrűség transzformációs tényezője szerepel. Ezzel a feltételt a következőképpen írhatjuk fel:
S = K1 = K2 = K3 = D11 = ... = Dij = Dij = Dkj = Q
Az ún. feltételi egyenletekre úgy juthatunk, ha az egyenlőségsor valamelyik tagjával végigosztva, minden tagot 1-gyel teszünk egyenlővé. Ha pl. a második (K1) taggal osztunk végig:
S/K1 = 1 = K2/K1 = K3/K1 = D11/K1 = ... = Dij/K1 = Dij/K1 = Dkj/K1 = Q/K1
A megfelelő értékeket behelyettesítve kapjuk a transzportegyenlet általános invariánsait:

S/K1-ből a homokronitási (egyidejűségi, vagy Strouhal) invariánst:

A K2/K1-ből a divergencia-invariánst (ugyanígy képezhető a K3/K1 is):
Dij/K1-ből a j-edik intenzív mennyiség inhomogenitása által gerjesztett konduktív áramsűrűség és a konvektív áramsűrűség viszonyát kifejező (ún. Reynolds típusú) invariánst
Q/K1-ből a forrás és a konvektív áramsűrűség x1 irányú komponensének viszonyát kifejező (ún. Froude típusú) invariánst:

A (különféle konvenciók szerint kapott) invariánsokat táblázatosan ábrázolhatjuk. (A K2 illetve a K3-mal való osztás az előbbivel - az index különbségétől eltekintve - megegyezik, éppen ezért a “konvektív tagot” általánosságban Kλ jelöli.

osztandó
1
2
3
4
5
 
osztó
S
Ki
Dij
Dik
Q
 
1
S
1
2
Kλ
3
Dλj
4
Dλk
5
Q
1
A táblázat egyes elemeit jelöljük Pi,j-vel, első indexben a sor-, másodikban az oszlop számaival. Így pl.
.
A táblázat csak általános szemléltető jellegű. Egyidejűleg ugyanis - nyilvánvalóan - csak ugyanabban a sorban (vagy oszlopban) levő invariánsok fordulhatnak elő.

Az invariánsok jellege a táblázatból közvetlenül érthető. Így pl. P1, m (ill. a Pm,1) invariánsok (m = 2, ..., 5) homokronitás jellegűek, valamely jellemző időt határoznak meg. A P5, m (ill. Pm, 5 ) invariánsok (m = 1, ..., 4) csak forrásos jelenségre vonatkoznak, forrásmentes esetben nem értelmezhetők.

A táblázatban egyszerűsített jelölést használtunk. Valójában a 2. oszlop (ill. sor) az x 3komponense szerint három oszlopnak (ill. sornak) felel meg. A 3. oszlop (ill. sor) együttesen 3n oszlopot (ill. sort) jelent. Összesen tehát (5+3n)2 eleme van a táblázatnak. Ezek azonban nem mind függetlenek egymástól. Az invariánsok között érvényesek a következő összefüggések:

Az elmondottak alapján teljes általánosságban belátható, hogy az invariáns-képzés nem egyértelmű. Általános esetben minden mérlegegyenletből 4+3n invariánst kaphatunk (ahol n a független jellemző intenzív mennyiségek száma). Ehhez még hozzávehetjük, hogy az invariánsok bármely hatványszorzata is invariáns. Úgy tűnik, hogy a sok variáció közül teljesen önkényesen választhatók ki a “megfelelőek”. Valójában azonban mindig arról van szó, hogy a különféle lehetőségek közti választást néhány megkötés korlátozza.

Mindenekelőtt az invariánsok egy része (általánosított) függő változó, más része pedig független változó (hasonlósági kritérium). Ezek számát a szabadsági fok határozza meg. A hasonlósági kritériumban csak olyan változók fordulhatnak elő, amelyek az egyértelműségi feltételekben is megtalálhatók. Ha n a változók és k a független dimenziók száma, akkor a kritériumok száma csak (n-k) lehet.

Az invariánsok számát tekintve tehát jól meghatározott kötöttségünk van. Konkrét alakjuk azonban (attól függően, hogy milyen konvenciót követünk, ill. hogy a kapott invariánsok milyen hatványszorzatait vesszük) többféle lehet. Ilyenkor már előtérbe kerülhetnek (mérési vagy számítástechnikai) kényelmességi szempontok is.

Hasonlósági tételek
A folyamatot leíró differenciálegyenlet megoldását

F(x1, x2, ...xn) = 0

szimbólummal jelöljük. A függő invariánsokat Pi-vel, a függetleneket Ps-sel jelölve (s = 1, 2, ..., n-k), a megoldás

Pi = Pi (P1, P2, ..., Pn-k)

alakban is felírható. Míg az előbbi csak az egyik rendszerre vonatkozott, addig az utóbbi megoldás már mindkét (pontosabban: minden egymáshoz hasonló) rendszert kielégíti. Így tehát elegendő az egyik rendszerben a Pi kapcsolatok meghatározása, és ebből a többi (hasonló) rendszerre is érvényes összefüggést kapunk.

Mindazon rendszerek, amelyek leíró egyenletei ugyanazon dimenzió nélküli egyenletrendszerre kölcsönösen egyértelműen leképezhetők, a hasonló rendszerek osztályát képezik. Ezen belül azonos alakúak a (függő) hasonlósági invariánsok. Az egy osztályba tartozó rendszerekre kielégül a hasonlóság szükséges feltétele.

Az osztályon belül a hasonló rendszerek csoportját alkotják azok a rendszerek, amelyeknek egyértelműségi feltételei is leképezhetők egy közös dimenzió nélküli egyértelműségi feltétel rendszerre. Az egy csoportba tartozó rendszerekre kielégül a hasonlóság elégséges feltétele is. Ezen belül azonos értékűeknek kell lennie a hasonlósági kritériumoknak és ennek következtében azonos értékű a többi invariáns is.

*

Ezek után nem okoz különösebb problémát Kirpicsov három hasonlósági tételének megértése.

Az első tétel: ha két jelenség hasonló, akkor az őket leíró differenciálegyenletekből és egyértelműségi feltételekből képezett invariánsok számértéke mindkét jelenségre megegyezik (azonos).

A második tétel: a hasonlósági kritériumok és a dimenzió nélküli függő változók közt egyértelmű összefüggések állnak fenn.

A második tétel szerint ahhoz, hogy a tapasztalatból kapott adatokat a hasonló jelenségekre közvetlenül kiterjeszthessük, ezeket hasonlósági invariánsok és hasonlósági kritériumok közötti összefüggés formájában kell feldolgoznunk. Másképpen kifejezve: nem a jelenséget jellemző egyes mennyiségek közötti összefüggések feltárására, hanem az ezekből alkotott dimenzió nélküli változók közötti kapcsolatok felkutatására kell törekednünk.

Az első és második tétel megfogalmazásakor feltétel, hogy a jelenségek hasonlóak. A harmadik tétel azt mondja ki, hogy mikor hasonló két jelenség egymáshoz. (A kérdés feltevésének ez a módja az előbbinek éppen fordítottja.)

Az első két tétel szerint a leíró egyenletek és az egyértelműségi feltételek dimenzió nélküli formájának megegyezése a hasonlóság két szükséges feltétele.

A harmadik tétel azt mondja ki, hogy e két feltétel együttesen a jelenségek hasonlóságához már elégséges is:
 
A rendszerek hasonlóságának szükséges és elégséges feltétele a leíró egyenletek és az egyértelműségi feltételek dimenzió nélküli formájának, vagyis a dimenzió nélküli matematikai modellnek a megegyezése.

Dimenzió nélküli matematikai modell
Mint már többször is rögzítettük: a hasonlósági reláció ekvivalencia reláció és ebből következően a hasonlósági feltételeket legalább három objektumra kell vonatkoztatni.

Az eddigiek általánosítására bevezetünk egy fiktív rendszert, amelynek matematikai leírására csak dimenzió nélküli változókat használunk fel. Azt állítjuk, hogy ha két rendszer (pl. a modell és a modellezett) matematikai modelljét külön-külön ugyanerre a dimenzió nélküli matematikai modellre tudjuk (kölcsönösen egyértelműen) áttranszformálni, akkor a két rendszer hasonló egymáshoz.

Csoportelméleti tárgyalásban*:

Ha adott az α ιs β epimorfizmus:

α : G -> B; β : H -> B


akkor léteznie kell a φ homomorfizmusnak

φ : G -> H; φ-1: H ->G

úgy, hogy

φβ és φ-1α=β.

Ehhez hasonlóan mondhatjuk:

Ha az R(1) rendszer (értsd: annak matematikai modellje) a T1 transzformációval leképezhető egy R(0) rendszerre, az R(2)rendszer pedig T2 transzformációval ugyanazon R(0) rendszerre, akkor az R(1) és az R(2) rendszer is egymásra kölcsönösen egyértelműen leképezhető (= hasonlóak).

Vagyis:

Ha T1:R(1) -> R(0) és T2:R(2) -> R(0)
Akkor T:R(1) -> R(2) és T-1:R(2) -> R(1)
úgy, hogy TT2 = T1 és T-1T1 = T2

A továbbiakban ilyen R(0) rendszert állítunk elő (mégpedig dimenzió nélküli formában). Ennek az eljárásnak alapja az állapotjellemzők közötti kapcsolatokat kifejező egyenletek dimenzionális homogenitása. Más szavakkal: az egyenletek a mértékegységrendszer transzformációjával szemben szimmetrikusak.

Az egyenletek szimmetriatulajdonságai a folyamatok, rendszerek matematikai leírása során meghatározó jelentőségűek:
 

Magától értetődően az első két szimmetria-tulajdonsággal minden (valós kapcsolatokat tükröző) egyenletnek rendelkeznie kell; a harmadik azonban csak az egymáshoz hasonló rendszerek egyenleteire vonatkozik. A dimenzionális homogenitás lehetővé teszi ún. dimenzió nélküli egyenletek előállítását. A dimenzionális homogenitás ugyanis azt jelenti, hogy az egyenlet minden tagja azonos nemű.

Egyszerű példaként vegyük a Bernoulli egyenletet:

Az egyenlet minden tagjának dimenziója
vagyis energiasűrűség. Minden egyes változóra kiválasztva egy-egy rögzített - zérus indexszel jelölt - értéket, felírható következő azonosság:
Ezzel a Bernoulli egyenlet
Az azonos nevű jellemzők hányadosa dimenzió nélküli. Felülvonással jelölve a rögzített értékhez viszonyított relatív változókat,

Írható:

Osszuk végig az egyenletet az első tagban szereplő  tényezővel:

Így dimenzió nélküli egyenletet kapunk, ahol
az ún. Euler, illetve Froude szám. Ezen egyenletben szereplő változók számértéke a mértékegység megválasztásától független.

Hasonlóan járunk el bonyolultabb esetekben, például differenciálegyenletek és a hozzájuk tartozó egyértelműségi feltételek dimenziótlanítása során is. Így kapjuk a dimenzió nélküli matematikai modellt.

A dimenzió nélküli matematikai modell megoldása is dimenzió nélküli és - értelemszerűen - ugyancsak a hasonló rendszerek csoportjának minden objektumára érvényes összefüggés.

Van ennek egy fontos következménye, amelyet a gyakorlati modellezés során felhasználunk. A dimenzió nélküli matematikai modellben ugyanis “elmosódik” a jelenség konkrét jellege. Így mód nyílik arra, hogy más, könnyebben megvalósítható és mérhető folyamatokkal modellezzünk nehezebben megvalósítható és mérhető folyamatokat.

Példának tekintsünk két rendszert, amelyeknek egyikében hővezetési. a másikban diffúziós (konduktív tömegáramlási) folyamat van.

A hővezetést leíró Fourier egyenlet:

A diffúziót leíró Fick egyenlet:
Az egyenletekben T a hőmérséklet, ρ a tömegsűrűség, t illetve t' az idő, x illetve x' a geometriai méret, a a hőmérsékletvezetési tényező, D a diffúziós tényező jele.

Tegyük fel, hogy a két rendszer folyamati hasonlóak egymáshoz. Ekkor a megfelelő változók arányosak:

Minden változóra alkalmazzuk a lineáris transzformációkat. Így a Fick egyenletből a
egyenletre jutunk. amely még mindig a diffúziós jelenséget írja le!

Amennyiben azonban

,
akkor a zárójelben lévő kifejezésekkel végigoszthatunk, és így az egyenlet a Fourier egyenlettel lesz azonos. Ebből következik, hogy a két folyamat hasonlóságának szükséges feltétele a zárójelben lévő kifejezések egyenlősége, illetve az ezt kifejező feltételi egyenlet:
A ci-k helyére a megfelelő változókat írva, rendezés után kapjuk:
ahol at/x2 = Fo, az ún. Fourier szám, Dt'/x'2 = Fi, az ún. Fick szám. A Fourier és a Fick egyenlettel leírható jelenségek hasonlóságának szükséges feltétele, hogy Fo = Fi teljesüljön.

Vezessük be az S relatív változót:

Írjuk át pl. a Fourier egyenletet az S és a P dimenzió nélküli változókkal. Mivel S-t mint P függvényét akarjuk megadni, ezért kiszámítjuk a parciális deriváltakat:
és
Így:
Kiszámítva P parciális deriváltjait is
és behelyettesítve, a következő dimenzió nélküli egyenletet kapjuk (mind a hővezetési, mind a diffúziós folyamatra):
Mindazok a folyamatok, amelyeket ez az egyenlet kielégít - definíciónk szerint - egymáshoz hasonlóak.

A dimenzió nélküli egyenlet általános megoldását az S = f(P) függvénykapcsolat jelenti, amelynek konkrét formája - természetesen - függ az egyértelműségi feltételektől.

Nem feltétele tehát két rendszer hasonlóságának, hogy bennük ugyanazon fizikai változók forduljanak elő. Csak az a lényeges, hogy a változókból képzett dimenzió nélküli számokkal (invariánsokkal) felírt egyenletek és a kritériumokkal felírt egyértelműségi feltételek egyezzenek meg. Ez a modellezést jelentősen megkönnyíti, megnöveli a modellként felhasználható rendszerek körét, lehetővé téve, hogy az adott feladat megoldásához olyan utat (berendezést, jelenséget) válasszunk, amely az adott esetben a legegyszerűbb (legjobban mérhető, legolcsóbb stb.).

A hasonlóság tehát nemcsak a különböző méretű, hanem a különböző jellegű jelenségeket is magában foglalja. Nincs külön analógia és külön hasonlóság. Így az analógia megkülönböztetése a hasonlóságtól önkényes.

Geometriai torzítás
Az eddigiek alapján egyértelmű, hogy a modellezés során a modell és a modellezett bármelyik jellemző-párjának aránya a többiétől eltérő lehet, a követelmény csak az, hogy a transzformációs szorzók a feltételi egyenletet kielégítsék. Ennek során minden jellemző “egyenrangú”, így nincs kitüntetett szerepe a geometriai változóknak sem.

Mégis igen gyakran a kutatók előnyben részesítik a geometriailag hasonló rendszereket, vagyis azokat, amelyeknél (a három térkoordinátára vonatkozó) geometriai transzformációs szorzó értéke azonos: cxi = cxj (i, j = 1, 2, 3). Az oka ennek nyilván az, hogy a geometriai hasonlóságtól való eltérés szükségessé teszi az egyértelműségi feltételekben szereplő értelmezési tartomány megfelelő transzformációját is, ami bonyolítja a feladat megfogalmazását. Abban az esetben célszerű a hasonló geometriától eltérni, ha a geometriai transzformáció bonyolultságát kompenzálja a fizikai változók transzformációjának egyszerűsítése.

Vizsgáljunk egy egyszerű példát. A modellezendő berendezés legyen egy D átmérőjű, L hosszúságú csővezeték, amelyben folyadék (vagy gáz) áramlik. A csővezeték elején a közeg hőmérséklete T0, ennek megfelelő sűrűsége ρ0, sebessége v0. A csővezeték mentén a közeg hőmérséklete lineárisan csökken, aminek következtében a vezeték végén a hőmérséklet TL, ennek megfelelően a sűrűség ρL és a sebesség vL. Lehetséges-e olyan (a sebességeloszlások szempontjából) hasonló jelenséget megvalósítani, amelyben a folyadék hőmérséklete és így sűrűsége is állandó? (Vagyis: lehetséges-e nem izoterm áramlást izoterm áramlással modellezni?)

A tömeg és az impulzus mérlegegyenlete alapján (stacionárius folyamatra) a következő invariánsokat kapjuk:

ahol Δp a csővezeték két pontja közötti sztatikus nyomáskülönbség, ρ a közeg sűrűsége, η a kinematikai viszkozitása, vi a i-edik sebességkomponens, xi az i-edik koordináta. Könnyű belátni, hogy a geometriai hasonlóság kikötése lehetetlenné tenné a feladat megoldását.

A kontinuitás miatt a vezeték végén a sebesség (egyszerűsítésként az F keresztmetszet menti átlagsebességgel számolunk):

.
Mivel az eredetiben F0 = FL, de ρ0 < ρL, a modellben viszont ρ0 = ρL, ezért ha itt is F0' = FL', akkor v0' = vL', ami a hasonlóság megsértését jelenti, hiszen a modellezettben v0' vL'.

Nem adva a geometriai változónak kitüntetett szerepet, minden xi-t külön transzformálunk. Levezetés nélkül is világos, hogy mivel a kontinuitási egyenletben a sűrűség és a keresztmetszet szerepe felcserélhető, a csőtengely menti lineáris sűrűségnövekedésnek (lineáris hőmérsékletcsökkenésnek) az izoterm modellben megfelel a keresztmetszet lineáris változása.

A P1i invariánsból (henger koordinátában, körszimmetrikus áramlás esetében) két Reynolds szám, egy tengelyirányú Rez és egy sugárirányú Rer kritérium:

,
valamint egy ζ = z/L és egy δ = r/D alakú geometriai paraméter adódik. A kezdeti z = 0 keresztmetszetben:
ahonnan (D = D0 = DL jelöléssel):
A végső (z = L) keresztmetszetben
A kontinuitás
figyelembevételével:
Az eredetire (F0 = FL):
ahol η = ρν, a dinamikus viszkozitás, D a csővezeték (állandó) átmérője.

A modellre (ρ'L = ρ'0):

ahol ν = ν0 = νL, az állandó kinematikai viszkozitás, Fi = Di2π/4, az i. helyen lévő keresztmetszet.

A z = 0 keresztmetszetre vonatkozó Rer(0) kritériumok azonos számértékéből:

Behelyettesítve a Rer(L) értékébe:
egyenlőség:
ahonnan (ν'0 = ν'L miatt):
A modellben a csővezeték kezdeti átmérőjét az eredeti folyadék viszkozitás változásának arányában kell megváltoztatni. Ha pl. a levegő a kezdeti T = 800 K hőmérsékletről T = 400 K hőmérsékletre hűl le, akkor dinamikus viszkozitása 69%-kal változik. Az izoterm modellben ennek megfelelően kell a kilépő-keresztmetszet átmérőjét megválasztani: D'L = 1,69D'0. Geometriai affin transzformáció nélkül ezt az egyszerű feladatot nem lehetne megoldani.

Magától értetődik, hogy olyan esetekben, amikor a geometriai hasonlóság egyszerűbbé teszi a hasonló jelenség megvalósítását, nem célszerű affin geometriai transzformációt alkalmazni. Hangsúlyozni kell azonban, hogy a modell nem makett; nem a rendszer geometriai elrendezéséről, hanem a benne végbemenő folyamatról kell képet adnia, a jelenségek hasonlóságát kell biztosítania.

Kétdimenziós közelítés
Jelentősen egyszerűsíti a jelenség modellezését, ha a térbeli (háromdimenziós) feladatot síkbeli (kétdimenziós) feladatra tudjuk leképezni. A kétdimenziós feladatok mind a matematikai leírás, mind a modellberendezés konstrukciója, mind a mérések szempontjából lényegesen egyszerűbbek, mint a háromdimenziós feladatok.

Kétdimenziósnak akkor tekinthető egy feladat, ha a három térkoordináta szerinti hatások közül az egyik irány elhanyagolható a másik két irányhoz képest. Sok esetben a koordinátarendszer helyes megválasztása minden további vizsgálat nélkül lehetővé teszi a kétdimenziós feladatra való áttérést. Így pl. az ún. körszimmetrikus feladatok esetében hengerkoordinátában írva fel a folyamat matematikai modelljét, az r, φ, z koordináták közül a φ szerinti változások zérusok, így a feladat kétdimenziós (r, z) feladatra egyszerűsödik. Triviális, hogy “rossz koordinátarendszerben” (pl. Descartes koordinátákban) ilyen egyszerűsítésre a körszimmetria nem ad lehetőséget. A “koordinátarendszer helyes megválasztása” éppen azt jelenti, hogy a matematikai modellt a lehető legegyszerűbb formában tudjuk felírni.

Sok esetben azonban a vizsgált folyamatnak nincsenek olyan szimmetria tulajdonságai, amelyek alapján a kétdimenziós közelítés lehetséges. Ilyenkor is lehetőségünk van arra, hogy közelítőleg kétdimenziósként kezeljük a feladatot. Ilyen módszer az ún. “saját lépték” szerinti koordináta-transzformáció. Az eljárás lényege a következő:

Az egyértelműségi feltételekből adottak a vizsgált folyamat geometriai méretei, így az egyes koordinátairányokba eső főbb méretek. Jelöljük ezeket rendre X0, Y0 és Z0 betűkkel. Ezek lesznek a folyamat saját léptékei, vagyis az eredeti x, y, z koordináták helyett

koordinátákkal dolgozunk. Behelyettesítve ezeket a folyamat matematikai modelljébe, az egyes differenciálhányadosok előtt X0, Y0 és Z0 egymáshoz viszonyított konkrét értékétől függő együtthatókat kapunk. Azok a tagok, melyeknek ezen együtthatói igen kis számok, a többi taghoz képest elhanyagolhatók. (Ennek során feltételezzük, hogy a megfelelő differenciálhányadosok értékeinek nagyságrendje azonos.)

Tekintsük a hővezetés Fourier egyenletét:

Helyettesítsük be az  értékeket:
Végigszorozva X0 négyzetével:
Amennyiben pl. X0/Y0 « 1, vagy más szóval X0 « Y0, akkor a jobb oldal második tagja a többihez képest elhanyagolhatóan kicsi. Így csak az x és zirányú változásokat vizsgáljuk.

Amennyiben azonban nincs kellő biztosítékunk arra, hogy a kis együttható miatt elhanyagolt tagban levő differenciálhányados (vagyis a megfelelő irányú változások mértéke) összemérhető a többi, nem elhanyagolt differenciálhányadossal, akkor a “saját lépték” módszere sem vezethet a dimenziószám csökkentéséhez. Elhanyagolásról ugyanis mindig csak “valamihez képest” lehet szó. Egy egyenletben, egyenletrendszerben csak két tag összehasonlítása alapján szabad valamelyiket elhanyagolni.

A matematikai modell típusa
Az adott szempontból lényeges (kvantitatív) tulajdonságokat tükröző matematikai modell típusa szerinti csoportosítás ezt az utólagos vizsgálódást is megkönnyíti.

A technikai rendszerekben végbemenő folyamatok leggyakrabban parciális differenciálegyenletekkel írhatók le. Ezek főbb típusai - a levezetés itteni mellőzésével - a hiperbolikus, a parabolikus, ill. az elliptikus egyenletek.

Hiperbolikus (vagy másképpen hullám-) egyenletek írják le pl. a húr, a vékony rugalmas membrán, a rúd torziós rezgését, a hanghullám terjedését folyadékban (gázban), az elektromágneses hullámok terjedését a térben. Hiperbolikus egyenletek a kvantummechanika alapegyenletei is.

Parabolikus (másként Fourier) egyenletek az ismert általános (instacionárius) mérlegegyenletek, amelyek széles körű felhasználási területéről már szó volt. Itt csak példaként említjük, hogy a diffúzió, a hővezetés, a szárítás, a hidrodinamika instacionárius folyamatait, a gazdasági változásokat ilyen egyenletek írják le.

Elliptikus egyenletek a stacionárius mérlegegyenletek. Szemléltetésül: Elliptikusak a kondenzátorok, az elektrolitok és az elektroncsövek elektrosztatikus terét, a stacionárius hővezetést és diffúziót, a mágneses és gravitációs tereket, az örvénymentes folyadékáramlás és a porózus közegben áramló folyadék törvényszerűségeit leíró ún. Laplace-egyenletek.

A leíró egyenletek típusa szerint beszélhetünk hiperbolikus, parabolikus, ill. elliptikus feladatról. A vizsgált rendszer modelljének realizálása során “szabadon választhatunk” mindazon folyamatok között, amelyek ugyanolyan feladattípusba tartoznak. Hogy ez milyen előnyökkel jár, az nyilvánvaló. Elég csak arra gondolni, hogy míg egyes folyamatok jellemzőinek mérése még laboratóriumban is nagyon bonyolult, illetve hosszadalmas, addig másoké egyszerű és gyorsan megoldható.



Következő fejezet:

Vissza a honlap tartalomjegyzékéhez


Megjegyzések


A feladat és probléma közös és megkülkönböztető jellemzőit a Modellezés I. ismerteti.


Ebben a fejezetben - ha csak külön jelzővel nem jelöljük - a hasonlóság mindenütt (így a tételek megfogalmazásában is) funkcionális hasonlóságot jelent.


Ez - lényegében - megegyezik a geometriai hasonlóság definíciójával, de itt a "megfelelő jellemzők" nemcsak a geometriai, hanem az állapot jellemzőket is jelentik!


Pl. izobar az azonos nyomású, izoterm az azonos hőmérsékletű pontokat összekötő görbe


Vesd össze:V. Def. 3.


Vegyük észre, hogy ez a kifejezés hasonlít az affin transzformációs tényező kifejezésével.


Mindezek a megállapítások kiterjeszthetők instacioner folyamatokra is. Ekkor a „megfelelő pont” értelmezése változik: azt a négydimenziós térre kell megadni.


A szerző ismeretei azonban ennek az általános tárgyalásmódnak a kidolgozását nem tették lehetővé. Remélhető, hogy e sorok olvasói között akad majd valaki, aki ezen az úton tovább akar (és tud) haladni. Érdemes, mert jelentős az eredmény, ami az út végén várható!


a posteriori = a tapasztalaton alapuló utólagos következtetés


a priori = a tapasztalatot megelőző


circulus vitiosus = hibás kör, körben forgó okoskodás


Két rendszer kimenő jellemzői között - természetesen - mindig van arány, de ez csak akkor arányosság, ha értéke helytől és időtől független!


A matematikai nyelv nélkül a dolgok belső analógiájának legnagyobb része ismeretlen maradt volna előttünk örökre” - írja Poincaré A tudomány értéke c. művében


Lényeges, hogy az állapottér - illetve az azt kifeszítő állapotjellemzők összessége - függ a vizsgálati szempontoktól, a szignifikánsnak tekintett tulajdonságok kiválasztásától.  (Szücs, 1988, 34. old.) Ha rosszul választottunk, akkor a legegzaktabb módszer is hibás következtetésekre vezet(het).


Mivel a ci-k a helytől és időtől független állandók, a differenciálási műveletek elé kiemelhetők.


A Buckingham tétel levezetését lásd Szücs (1972) 72-73. old.


Tehát: a független változók értéke tőlünk függ, a függő változók értéke tőlünk független!

A szabadság itt sem korlátlan. Azt pl. megválaszthatjuk, hogy milyen anyaggal dolgozunk, de annak tulajdonságait - az állapotegyenleteket - már rögzítettnek kell tekinteni.

vulgarizálás - valaminek túlzott (tudománytalan) egyszerűsítése

A hasonlósági invariánsok „formálása” során figyelembeveendő szabályokról lásd Szücs (1972) 53. és 83-85. oldal

Matematikai analógiája ennek az, amikor pl. két független egyenletünk van. Jogos az egyik egyenletet a kettő összevont alakjával helyettesíteni, de nincs jogunk az egyenletek számát csökkenteni.

Bármely taggal végigosztva egy általános invariáns-rendszert kapunk. Ilyen jellegű csoportosítást először Brajnesz (1961) készített. Transzportelméleti általánosítását Fáy és Zselev adta meg, akik kiemelték: „Hogy melyik tényezővel osztunk végig, az konvenció kérdése.” Pl. az S-el végigosztva a sűrűség-, a Q-val a forrás (és így tovább) konvenció szerinti invariánsokat kapjuk.


Emlékeztetünk rá, hogy a hatványszorzat invariáns a transzformációval szemben.


homo- görög eredetű, szóösszetételek előtagjaként az azonosságot jelöli


ilyen invariáns i.j = 3n db van

Lásd Modellezés I.

Már itt felhívjuk a figyelmet arra, hogy hasonló formájú összefüggéseket szolgáltatnak a dimenzióanalízissel feldolgozott kísérletek is. Érvényességi körük azonban különböző.

Lonstra tétele [Kuros (1967) 482. old. nyomán]

epimorfizmus - a G csoportot a G' csoportra leképező homomorfizmus

Az egyenletek transzformációs szimmetriáiból vezethetők le a megmaradási tételek. Erről lásd Szücs (1988), 70. old., részletesebben: Landau (1974) 26. old.

Az azonos nemű és azonos nevű mennyiségekről lásd Szücs (1988) 61. old.


M a tömeg, L a hosszúság, T az idő dimenziójának a jele


Lásd Szücs (1972) 46…47. old


Az egyszerűség kedvéért az egydimenziós térbeli változást leíró egyenleteket vesszük.


Legfeljebb bizonyos rendszerezési előnyöket jelenthet.


A levezetést lásd Szücs (1972), 203…207. old.

Ez magától értetődőnek tűnik, mégis gyakran találkozhatunk olyan publikációkkal, amelyekben összehasonlítás nélkül - valamilyen „megérzés” alapján - hanyagolnak el egyes tagokat, sőt egyenleteket.

A levezetést lásd Szücs (1972),103…107. oldal


Az elmúlt évszázad modellezési cikkeinek 80 %-a elliptikus egyenletekre vonatkozik.