Geometriai modell


A matematika nem a dolgokat vizsgálja, hanem a dolgok közötti összefüggéseket. Nem az anyag ami leköti érdeklődését hanem mindig és kizárólag a forma.

Poincaré

A Modellezés I. jegyzetben megállapítottuk, hogy
 
a geometriai hasonlóság a funkcionális hasonlóságnak nem szükséges, semmi esetre sem elegendő, sőt gyakran kizáró feltétele.

Ebből az következik, hogy a geometriai hasonlóság - egyes esetekben - kizárhatja a funkcionális hasonlóságot. A rendszerek modellezésekor tehát nem indulhatunk ki a geometriai hasonlóságból, más módon kell a funkcionális hasonlóságot definiálni.

Ennek ellenére előbb a geometriai hasonlósággal foglalkozunk és ennek három oka van:

Didaktikai okokból is célszerű a módszer ismertetésekor a geometriai hasonlóságból kiindulni. A legegyszerűbb ugyanis a külső jelek - a forma - hasonlóságát felismerni, és ez az oka annak, hogy a tudományok történetében is először a geometriai hasonlóság felismerése és szabatos megfogalmazása jelent meg.

Mindenekelőtt tehát a geometriai modellel (hasonlósággal) foglalkozunk.

Elemek
Ismereteink szerint a hasonlóság első szabatos definícióját Eukleidész: Elemek c. művének V., VI. és XI. könyvében találhatjuk. Az 1983-ban megjelent magyar kiadásból idézzük fel a (tárgykörünk szempontjából) legfontosabb definíciókat (zárójelben az oldalszámok): A továbbiak szempontjából különösen érdekes még számunkra: Az V. Def. 8. összhangban van azzal, amit a tolerancia és ekvivalencia reláció megkülönböztethetőségről megállapítottunk (legalább három elem szükséges!). Az VI. 21. tétel pedig azt erősíti meg, hogy a hasonló objektumok halmazának bármely eleme lehet “reprezentáns”.
Geometriai hasonlóság

Mint ismeretes, geometriai transzformációnak nevezzük a tér (vagy a sík), illetve részhalmazának - meghatározott feltételeket kielégítő - bijektív leképezését.

Az egyik idomnak - a geometriai hasonlóságot kielégítő - leképezése egy másikra: hasonlósági transzformáció

Az ábrán látható két síkidom egymáshoz hasonló. Írhatjuk tehát, hogy

α = α’, β = β’; … ; ω = ω´,

illetve:
(ahol c= állandó), vagy másképen
a = ca'; b = cb'; ... ; n = cn'.
Itt a c (arányossági) tényezőt hasonlósági (transzformációs) szorzónak nevezzük.

A hasonló idomokban kijelölhetők ún. megfelelő pontok (ill. távolságok). Ezeken azokat a pontokat (ill. távolságokat) értjük, amelynek koordinátái ugyanúgy transzformálódnak, mint maga az idom.

Nézzük pl. az ábra szerinti két kört. Legyen az A pont koordinátája

A(x1 , y1 ).

Az x és y irányú méreteket c-vel szorozva kapjuk a vesszővel jelölt másik kört. Az abban lévő A' pont az A pont megfelelője (“hasonló” pontja), ha koordinátái

A'(x'1 , y, '1 ) = A'(cx1 , cy1 ).

Ha ugyanezt elmondhatjuk a B, ill. a B’ pontról, akkor az  távolság megfelelője a  távolságnak, a két távolság hasonló. A két kör egyenlete:

x2 + y2 = r2; illetve x'2 + y'2 = r'2.

Vegyünk valamely jellemző méretet az egyik idomnál (pl. a kör r sugarát). Vezessük be a következő relatív (dimenzió nélküli) változókat:

X = x/r; Y = y/r.

Helyettesítsük be a körök egyenletébe. Mindkét esetben az

X2 + Y2 = 1

összefüggést kapjuk. A hasonló idomokat leíró egyenletek dimenzió nélküli formában tehát azonosak.

*

Az eddigiek során megkülönböztettünk

  • transzformációs szorzót (c), amellyel egyik idomnak a másikra való leképezésekor valamennyi méretet meg kell szorozni. Ez a megfelelő méretek arányát adja. Adott értéke azt fejezi ki, hogy az egymáshoz hasonló idomok halmazában a reprezentáns elem méreteit mennyivel kell szorozni, hogy a halmaz egy másik elemének méreteit megkapjuk. Más értékű transzformációs szorzóhoz a hasonló idomok halmazának egy másik eleme tartozik. A transzformációs szorzó tehát a halmazon belüli két elem viszonyát (arányosságát) fejezi ki (egy idom minden méretére értéke azonos, egy más érték a halmaz egy másik idomát adja);
  • dimenzió nélküli változót (X, Y), amely a koordináta és egy meghatározott jellemző méret (ún. paraméter) hányadosa, illetve dimenzió nélküli számot, amely két jellemző méret hányadosa. Ezek értéke a hasonló idomok halmazán univerzális, a halmazon belüli minden elemre érvényes (minden, a halmazhoz tartozó idom megfelelő pontjaiban értéke azonos);
  • dimenzió nélküli egyenletet, amely a dimenzió nélküli változók közötti kapcsolatot fejezi ki, s a hasonló idomok halmazának (minden elemére érvényes) univerzális jellemzője.
  • E fogalmakkal
     
    a geometriai hasonlóság feltétele a dimenzió nélküli számok megegyezése, illetve a dimenzió nélküli egyenletek azonos alakja.
    Kollineáció
    A projektív geometria tanulmányozza alakzatoknak vetítéssel szembeni invariáns tulajdonságait. A projektív transzformációkat kollineációnak is nevezik. Ennek speciális esete (a síkban) a centrális kollineáció, amelyben a sík egy pontja (a 0 centrum) és egy egyenesének (a t tengelynek) minden pontja fixpont (helyben marad). Megadva a tárgy és a kép valamely összetartozó b, b' pontpárját (ún. megfelelő pontjait), az egyik alakzatnak a másikra való leképezése egyértelmű.

    Középpontos hasonlóság
     
    Affin leképezés
    0 centrum a végesben
     
    0 centrum a végtelenben
    t tengely a végtelenben
     
    t tengely a végesben

    A 0 és a t helyzetétől függően


    Affin leképezésnél a torzítás láthatóan a b, b' pontpárok helyzetétől (a tengelytől vett λ és λ' távolságaiknak hányadosától) függ. (Amennyiben a b és b' között helyezkedik el a tengely, a leképezés egyben tükrözés is.)

    A geometriai (középpontos) hasonlóságnál a nagyítás (vagy kicsinyítés) a b, b' pontpárok relatív helyzetétől (itt: az 0 centrumtól vett λ, λ' távolságok arányától) függ. A c hasonlósági transzformációs szorzó értéke a λ/λ' hányadossal egyenlő.

    A hasonló idomok megfelelő pontjai ugyanazon (a centrumból kiinduló) vetítő egyenesen vannak és a centrumtól vett távolságaik hányadosa (természetesen) c-vel egyenlő. Amennyiben a b és b’ között helyezkedik el a 0 centrum, a leképezés egyben tükrözés is.

    Affin idomok
    A geometriai hasonlósággalkapcsolatban leírtak kiterjeszthetők. A geometriai hasonlóságnál ugyanis a transzformációnak nincs kitüntetett iránya, vagyis két hasonló idomnál:
    ami az előző pontban foglaltak szerint a vetítési centrumtól való távolság hányadosával egyenlő. Affin idomok esetében azonban nincs értelme a (végtelenben lévő) centrumtól való távolságnak. Az affin torzítás miatt a különböző irányokba vett méretek aránya különbözik, vagyis:
    Az affin idomokra értelmezett megfelelő pontok segítségével belátható, hogy az affin transzformációs szorzó irányonként konstans. Minden egyenes szakasz felbontható egy, a vetítő egyenessel párhuzamos, és egy arra merőleges összetevőre. A vetítő egyenesre merőleges összetevő hossza a vetítés során nem változik. A vetítéssel párhuzamos összetevők viszont “megfelelő egyenesek” (hiszen minden pontjuk megfelelő pont). Kezdő és végpontjuk távolsága a tengelytől legyen - rendre - a, b illetve a', b'. Hosszuk tehát (a-b), illetve (a’-b').

    Az egyenes-szakaszok aránya:

    mivel (a megfelelő pontokra vonatkozóan) a = ci a', b = ci b'.

    A koordináta irányonként különböző értékű transzformációs szorzó segítségével a geometriai hasonlóságnál általánosabb jellegű összefüggésekre jutunk.

    Tekintsük ismét a "Geometiriai hasonlóság" ábrájának “köreit”. Jelöljük az ellipszis nagytengelyének felét a, kistengelyének felét b betűvel. Az ellipszis ismert egyenlete (az ábra jelöléseivel):

    Legyenek a transzformációs szorzók (koordináta irányonként):
    vagyis:

    Ezzel a kör és az ellipszis egyenlete azonos:
    A dimenzió nélküli (relatív) változók bevezetésével közvetlenül jutunk az eredményre:
    az ellipszis és a kör egyenlete egyaránt:

    Általánosabb értelemben az affin transzformáció során egy-egy méret változása valamennyi koordináta függvénye lehet.

    Síkban:



    Affin transzformáció

    Az ábrán - szemléltetésként - egy olyan (kétdimenziós) affin transzformáció látható, amelynél

    x = 2x'+y'; y =x'+3y',
    vagyis
    A transzformációs szorzókat négyzetesen elrendezve az ún. transzformációs mátrixot kapjuk:
    Pl. az ábrán látható affin transzformáció mátrixa:
    Az általános affin transzformáció esetén is egyértelműen kijelölhetők az ún. megfelelő pontok (szakaszok), az ábrán az 
    A T mátrix segítségével határozhatjuk meg valamely pontnak megfelelő pont koordinátáit. Pl. a C pont koordinátái: (1, 2). A C' pont koordinátái:(2x1 + x2, x1 + 3x2), vagyis (4, 7).

    Egyszerűsített jelöléssel, ha az rC a C pont helyzetét rögzítő helyvektor, r'C pedig az ennek megfelelő C' pont helyvektora, akkor

    rC = T rC

    az előbbi műveleteket foglalja össze.

    Valamennyi esetben a transzformáció megfordítható, vagyis van olyan transzformációs mátrix, amelynek segítségével r'-ből r előállítható:

    r’C = T-1rC

    Az inverz transzformáció mátrixának jele: T-1.

    Az ábrákon szemléltetjük, hogy a transzformációs mátrixtól függően mi történik az A ábrával. A B ábrát kapjuk, ha
    vagyis geometriai hasonlósági transzformációt végzünk. A C ábrát a
    x irányú zsugorítást és y irányú nyújtást okozó transzformáció állítja elő. A D az általános affin transzformáció eredménye. E esetében az x irányú szorzó negatív, az ábra A-nak tükörképe.

    A síkidomokra tett eddigi megállapítások - az Elemek XI. könyvének 9. definíciója alapján - téridomokra is átvihetők.

    Az affin transzformációval a térbeli alakzatok szélesebb körét tudjuk azonos alakra hozni. Az affinitás is ekvivalencia reláció, s így a geometriai alakzatok osztályozását jelenti.

    Háromdimenziós idomok esetében a leképezési mátrix:

    Ennek speciális esete a diagonális mátrix transzformáció
    Amikor a diagonális mátrix mindhárom eleme azonos, geometriai hasonlósági transzformációt kapunk.

    Kiterjesztve az előbbieket, teljes általánosságban is beszélhetünk geometriai leképezésről. A leképezés lehet bármilyen mátrixtranszformáció vagy függvény. A feltétel csak az, hogy ez kölcsönösen egyértelmű és környezettartó legyen. Előbbi azt jelenti, hogy az egyik idom minden pontjához a másik idomból csak egy pontot rendeljen, és egyik idomban se legyenek olyan pontok, amelyekhez a másik idomból megfelelő pontok nem rendelhetők. Utóbbi értelme: a H halmaz H'-re való leképezése során minden S є H pontnak (amely a P є H ε sugarú környezetében volt) egy S' є H' pont felel meg, amely a P pontnak megfelelő P' pont ε΄ sugarú környezetén belül van; és megfordítva. (Például: egy körlap leképezése egy körgyűrűre nem környezettartó, de környezettartó egy négyzetre való leképezése.)


    Következő fejezet:

    Vissza a honlap tartalomjegyzékéhez



    Megjegyzések


    Ebben a fejezetben - ha csak külön jelzővel nem jelöljük - a hasonlóság mindenütt (így a tételek megfogalmazásában is) geometriai hasonlóságot jelent.


    Az V. és VI. könyv Eudoxosz (i.e. 400-347) munkáján alapszik, aki - valószínűleg - először definiálta a hasonlóság fogalmát.


    Az Elemek fordítója (Mayer Gyula) itt megjegyzi: "Téridomon (konvex) poliéder értendő."


    Két jellemző méret hányadosa is dimenzió nélküli (ezeket dimenzió nélküli számoknak nevezzük). Ilyen pl. a kör K kerületének és D átmérőjének aránya, a π=K/D, amely - méretétől függetlenül - minden körre érvényes. Ennek „tiszteletére” jelöljük a dimenzió nélküli számokat π-vel.


    az arányok azonosak - vagyis arányosság van


    A transzformációs szorzók kétindexesek


    az affinitás latin eredetű szó, affinis rokon, affinitas rokonság.