Egy egyszerű feladat*
(áttekintés a módszerekről)
…egyetlen példa alkalmas kezelése vezethet egész tudományághoz és lehet annak reprezentációja
Pólya György
Gyakori feladat annak meghatározása, hogy valamely (meglévő) rendszer “hogyan fog viselkedni”, vagy - más szavakkal - milyen lesz a rendszerben lezajló folyamat (jelenség) várható kimenete. A jelenségek rendszerint olyan sokrétűek, hogy minden eset - látszólag - speciális módszereket és vizsgálatokat követel. A feladatok megoldására valóban sokféle lehetőség adódik.

Egy “történelmi” példa (amelynek vizsgálatával Fourier  a XVIII. sz. elején a matematika egy új irányát indította el) és annak néhány lehetséges megoldás-variációja jól szemlélteti a problémát.
 

A hajók horgonyának rögzítésére szolgáló vasgyűrűt abban az időben úgy alakították ki, hogy a meghajlított rúdanyagot vörös izzásig hevítették, összeillesztették, majd hőszigetelő anyagként - homokkal takarták le. Meg kellett várni, míg a gyűrűben kialakult az egyenletes hőmérséklet-eloszlás. Kérdés: hogyan változik az idő és a hely függvényében a hőmérséklet?

E kérdés megválaszolására Fourier nem csak a hővezetés (mai napig használatos) egyenletét állította fel, hanem bevezette az ún. Fourier transzformációt is.

Vázlatosan felsoroljuk azokat a módszereket, amelyekkel mai ismereteink szerint választ adhatunk az előbbi kérdésre. (Ez egyben alkalmat ad arra, hogy előzetesen áttekintsük a modellezéssel kapcsolatos módszereket is.)

Közvetlen kísérlet
A legegyszerűbbnek tűnik az adott méretű gyűrűt elkészíteni, azt felhevíteni, majd a különböző időpontokban és helyeken a hőmérsékletet mérni. Ezzel az adott gyűrű hőmérséklet-eloszlásának időbeli változását meghatározhatjuk, de nem tudunk válaszolni arra, hogy hogyan “viselkedik” egy másik gyűrű, amelynek a vizsgálttól eltérő Látszólag bármely megadott adat megváltozása esetén új mérésre, új kísérletre van szükség.
    Kísérletsorozat (“klasszikus módszer”)
A folyamatot jobban megismerhetjük, ha nemcsak egy mérést, hanem - különböző adatokkal - kísérletsorozatot végzünk. Vizsgáljuk külön a gyűrű D átmérőjének és d vastagságának, a T0 kezdeti hőmérsékletnek, valamint az anyagi minőségnek a hatását a hőmérséklet-eloszlásra. A különböző kísérletek során nem egyszerre változtatjuk valamennyi jellemzőt, hanem csak egyet-egyet, s a többit állandó értéken tartjuk. Ezzel a módszerrel - egy-egy anyagi minőségre - 3 függvényábrát kaphatunk.

Az elvégzett és értékelt kísérletsorozat már ad némi felvilágosítást a folyamat jellegéről is, de az eredmények nehezen áttekinthetők és erősen korlátozott érvényűek. Csak a megadott speciális feltételek esetére ad választ a kérdésekre, és csak már meglevő helyzeteket regisztrálhatunk. Önmagában nem alkalmas arra, hogy a kapott eredményeket más - a vizsgálati határokon túli - feltételek esetén végbemenő folyamatra felhasználhassuk.

    Kísérlettervezés
A kísérletezés korszerű módszere a matematikai statisztikából kinőtt kísérlettervezésen alapszik. A berendezések viselkedését valamennyi tényező egyidejű változtatásával vizsgáljuk, a mérési eredményeket statisztikusan értékeljük. Így csökkenthetjük a kísérletek időszükségletét, ill. növelhetjük a kísérletekből szerezhető információ mennyiségét. Lehetőségünk van arra is, hogy az egyes tényezők változtatásának hatását összehasonlítsuk, a tényezők kölcsönhatásának nagyságát megbecsüljük.

Példánkra az egyik legegyszerűbbet, az ún. 2 faktoros kísérleti tervet mutatjuk be. Az ilyen kísérleti tervnél az n darab tényezőnek (esetünkben n = 3; az egyes tényezők az L = Dπ “hosszúság”, a T0 kezdeti hőmérséklet és az A az anyagi minőség) csak két szélső (1 és 2 index-szel jelölt) értékét állítjuk be és mérjük a “reakciót” (itt: valamely φ helyen lévő keresztmetszet Tφ hőmérsékletét a t időpontban). Az egyes tényezők hatását úgy becsülhetjük, hogy a táblázatban levő előjel szerint összegezzük a mérési értékeket. Az i. tényezőre vonatkozó Zi összeg négyzetét elosztjuk a mérések számával.

Táblázatosan (a rövidítés érdekében minden érték ugyanazon φ helyre és t időpontra vonatkozik):

       

      A1
      A2

      T1
      T2
      T1
      T2

      D1
      D2
      D1
      D2
      D1
      D2
      D1
      D2
      Mért
      300
      350
      600
      650
      800
      850
      1000
      1050
      ZD
      -
      +
      -
      +
      -
      +
      -
      +
      ZT
      -
      -
      +
      +
      -
      -
      +
      +
      ZDT
      +
      -
      -
      +
      +
      -
      -
      +
      ZA
      -
      -
      -
      -
      +
      +
      +
      +
      ZAD
      +
      -
      +
      -
      -
      +
      -
      +
      ZAT
      +
      +
      -
      -
      -
      -
      +
      +
      ZADT
      -
      +
      +
      -
      +
      -
      -
      +
A táblázatban megadott értékekkel pl.:
      ZD =-300+350-600+650-800+850-1000+1050= 200
Ennek négyzete 40000. A mérések száma 8. Így SD = ZD2/8 = 5000. Valamennyi sor előjeles összegezése után:
       
      SD =
      5000
      ST =
      125000
      SDT =
      0
      SA =
      405000
      SAD =
      0
      SAT =
      5000
      SADT =
      0
A további számítások részletezése nélkül megállapítható, hogy valamennyi tényező közül a legerősebb hatása az anyagi minőségnek, majd a kezdeti hőmérsékletnek van. A gyűrű méretének hatása, valamint a kettős és a hármas (ADT) kölcsönhatás elhanyagolhatóan kicsiny. (Példánk természetesen fiktív adatokra vonatkozik!).

Az ismertetettnél lényegesen nagyobb jelentősége van a korszerű kísérlettervezési módszernek. Azonban még ez az egyszerű példa is mutatja, hogy a tervezett kísérletsorozat az egyes tényezők hatására és kölcsönhatására olyan információkat képes adni, amelyekre a régi módszer szerinti (ún. klasszikus) kísérletek nem képesek.

    Dimenzióanalízis
       
Egyszerűbbé válik a kísérletsorozat feldolgozása (sőt megszervezése is), ha feltételezhetjük, hogy a megoldás a változók hatványszorzatainak függvényeként adható meg. Így pl. esetünkben egy adott keresztmetszet Tφ hőmérséklete nyilvánvalóan függ a keresztmetszet φ helyétől, a t időponttól, az a hőmérsékletvezetési tényezőtől, a gyűrű D átmérőjétől és d vastagságától, valamint a kezdeti T0 hőmérséklettől. Írjuk fel e változók dimenzióit (Θ a hőmérséklet, L a hosszúság, T az idő dimenziójának jele):
       
      [T0] = [Tφ] = Θ
      [D] = [d] = L
      [t] = T    
      [a] = L2T-1    
A 6 változóból - 3 “alapdimenzió” esetén - 3 független, dimenzió nélküli szám képezhető, pl. a következő alakban:
      δ = T0/ Tφ; λ = d/D; Fo = at/x2.
A δ a relatív hőmérséklet, a Fo pedig az ún. Fourier -szám. Ezek után a különböző anyagi minőségű rudakkal végzett előbbi kísérletsorozat eredményeit egyetlen ábrában lehet összefoglalni, amely δ változását ábrázolja Fo függvényében és λ paraméterében. A kísérleti adatok az előbbinél összehasonlíthatatlanul áttekinthetőbbek. Ugyanakkor kevesebb mérésre is van szükség. Elegendő ugyanis a Fo-ban szereplő három változó közül csak az egyik értékét beállítani több pontra, a másik két változóra pedig csak az előfordulható két szélsőértéket venni, miközben maga a tört értéke széles intervallumot fut be. (De ez az egyszerűsítés félrevezethető is lehet!)
       
    Az egyenlet analitikus megoldása
Általánosabb (és az eddigieknél pontosabb) eredményt kapunk, ha nemcsak azt tudjuk, mitől függ a folyamat, de ismerjük e változók közötti kapcsolatot is (pl. differenciálegyenlet formájában). Példánkra érvényes Fourier hővezetési egyenlete:

      Hengerkoordinátában

Az x (hossztengely) irányú változásokhoz képest az r és a φ szerinti változások elhanyagolásával egydimenziós alakot kapunk:
       
      Az egyértelműségi feltételek
         
      Kezdeti feltétel (a t = 0 időpontban az x menti hőmérséklet-eloszlás)
      Tφ = T(x, 0)

      Értelmezési tartomány (a t ill. az x változó által felvehető értékek)

      t0 = t = tmax
      0 ≤ x ≤ Dπ

      Peremfeltételek (a peremen - egydimenziós esetben a végpontokon, az x=0 és L=Dπ helyen - milyen értéket vesz fel bármely t időpontban a T változó):

      T(0, t) = T(L, t))
Az egyértelműségi feltételekkel az egyenlet megoldható.

Fourier az egyenlet megoldásához abból indult ki, hogy az ugrást tartalmazó kezdeti eloszlásfüggvény sok egyszerű szinusz hullámra bontható fel, amelyek csak amplitúdójukban és frekvenciájukban különböznek. Természeti analógiára épített: a fehér fénysugarat a prizma “tiszta” színekre bontja fel. A belépő fény erőssége az idő függvénye, a kilépő sugarak időben állandó frekvenciájúak, s minden egyes frekvenciának a belépő fény erőssége által meghatározott amplitúdója van.

A gyűrű geometriája miatt a hullámok kezdő- és végpontja egybeesik. Azt a hullámot nevezte alapharmonikusnak, amelynek a “körbejárásnál” csak egyetlen maximuma és egyetlen minimuma van. Az összes többi hullám: felharmonikus, és valamennyi frekvenciája csak az alapharmonikus frekvenciájának egészszámú többszöröse lehet.

Mennél nagyobb frekvenciájú a hullám, annál hamarabb hall el és így egyre erősebb lesz az alapharmonikus hatása a kialakuló hőmérséklet-eloszlásra. (Az egyedi vizsgálatból Fourier arra a következtetésre jutott, hogy bármely hőmérséklet-eloszlás fölbontható egy alapharmonikus és a felharmonikusok aritmetikai összegére.)

Az egyenlet általános megoldása:

Ez a megoldás - vagyis a Fourier egyenlet integrálja - végtelen sok görbét jelent, amelyek közül az éppen aktuális értéket az egyértelműségi feltételek felhasználásával kapjuk. Bármely más értékű egyértelműségi feltétellel egy másik görbe adódik.

Az integrálás a feladat analitikus, legáltalánosabb érvényű megoldása. Nem alkalmazható azonban ez a módszer olyankor, amikor a folyamatot leíró egyenlet olyan bonyolult, hogy az adott egyértelműségi feltételekkel gyakorlatilag meg sem oldható.

Gyakran az a helyzet, hogy az egyenlet analitikus megoldása csak olyan közelítésekkel lehetséges, amelyeknek következtében a megoldás gyakorlati használhatóságát elveszti.

Mindkét esetben más módszert kell keresnünk.

    Numerikus megoldás
Már régen ismertek azok a módszerek, amelyeknek célja konkrét számokkal, numerikusan meghatározott eredmények szolgáltatása. Ezek általában közelítő számításokon alapulnak. A numerikus integráláshoz a differenciálegyenletet differenciaegyenletté kell átalakítanunk.

A Fourier egyenlet helyett pl. a következő összefüggést használjuk:

ahol a felső index az időpontot, az alsó index pedig a helyet jelöli.

E módszerek rendkívül munkaigényesek voltak, ezért csak az utóbbi évtizedekben, a digitális számítógépek elterjedésével váltak jelentősé. A digitális számítógépek használata lehetővé teszi a közelítő megoldást akkor is, amikor az analitikus megoldás nem, vagy csak igen körülményes módon lehetséges

A differenciaegyenlet és az egyértelműségi feltételek alapján készíthető el a megoldás algoritmusa, ezután a számítási modell, majd a számítógépi program. Ilyen eljárással vizsgálják a különféle társadalmi és világmodelleket is.

Hasonlósági modellezés
A folyamatot leíró differenciálegyenlet (esetünkben a Fourier egyenlet) ismeretében kísérleteink az előző pontokban ismertetettektől alapvetően különbözhetnek. Az ott leírt módszerek csak egy-egy jelenségről adnak információt. Lehetőségünk van azonban arra, hogy kísérlettel “oldjuk meg” a differenciálegyenletet, és így általános, a jelenségek egész csoportjára érvényes összefüggést kapjunk.

Tekintsünk két (különböző adatokkal, de egyaránt a Fourier egyenlettel leírható) jelenséget. Példánk szerint vizsgáljunk két különböző anyagból készült, különböző méretű és kezdeti hőmérsékletű gyűrűt. Jelölje az egyik változóit T, t, a, x, a másikét pedig T', t', a', x'. Ha a vesszővel jelölt tagok a vessző nélküliekkel arányosak, akkor a két rúdban a hőmérsékletvezetés hasonló:

T’ = cTT
t’ = ctt
a’ = caa
x’ = cxx

Írjuk fel a vesszővel jelölt jelenségre a Fourier egyenletet:

Helyettesítsük be a c arányossági tényezőkkel a vesszőtlen változókat:

A veszős és a veszőtlen változókkal jelölt folyamatokat leíró két egyenlet azonos lesz, ha

illetve:

Ebből - felhasználva az arányosságot kifejező összefüggéseket - kapjuk:

illetve átrendezve:
Ez az összefüggés az ún. Fourier-invariáns.

A peremfeltételek hasonlóságából kapjuk a

relatív hőmérsékletet, mint hasonlósági invariánst. Amennyiben az egyértelműségi feltételeknél biztosítani tudjuk a megfelelő változócsoportok (az ún. hasonlósági kritériumok) számértékének egyenlőségét, a két jelenség a hasonló jelenségek csoportjába tartozik. Ez a hasonlóság feltétele. A hasonlósági invariánsok számértékének megegyezése a hasonlóság következménye.

Az egyenlet megoldását ezután a kísérlet szolgáltatja (pl. a korábban leírtak szerint). A különbség “csak” annyi, hogy elegendő a kísérletek során csak a Fo értékét változtatni (bármely, benne szereplő tényező - a, t vagy x - változtatásával) és nem szükséges a többi változó értékét is variálni.

Analógia
Előfordulhat, hogy hőforrásunk vagy hőmérőnk nincsen, és mégis szeretnénk a folyamatot leíró differenciálegyenlet megoldásához eljutni. Keresünk tehát olyan folyamatot, amelyet megfelelően tudunk mérni, és annak mérési eredményeiből a “mi” jelenségünket leíró megoldást kapjuk. Ehhez is arra van szükség, hogy a két jelenség (a keresett és a mérhető) hasonló legyen egymáshoz.

Példaként tekintsük újra a Fourier-egyenlet egydimenziós alakját:

és írjuk alá a diffúzió ún. Fick egyenletét:
ahol ξ a koncentráció, D a diffúziós együttható, az x’ és t’ pedig a diffúziós folyamat hely- és időkoordinátája (amely nem feltétlenül azonos a hővezetés x és t koordinátáival). Ha ξ hőmérsékletet, D pedig hőmérséklet-vezetési tényezőt jelentene, akkor a két egyenlet azonos lenne. Ilyen egyszerű esetben a két jelenség hasonlósága könnyen felismerhető.

A diffúzió egyenletéből, az előbbihez hasonló módon, két hasonlósági invariánst kapunk:

ahol γ a relatív koncentráció, amely a (t időpontban és x helyen lévő) ξ koncentráció és a ξ0 kiindulási koncentráció hányadosa, Fi az ún. Fick-szám.

Megfelelően kiválasztva az egyértelműségi feltételeket, a Fick egyenlet “kimérése” (koncentráció-eloszlás változása az idő és hely függvényében) megadja a Fourier egyenlet megoldását minden olyan esetre, amikor

Természetesen nemcsak a koncentráció- és hőmérséklet-eloszlás között található ilyen analógia, hanem számos más jelenségpár között is. Azt a jelenséget célszerű kiválasztani, amely a legkényelmesebb és legpontosabb mérést teszi lehetővé.

*

Az előzőekben néhány lehetséges feladat-megoldási módszert vázoltunk. Nem a teljességre törekvés volt a cél, csak a változatok széles skáláját szerettük volna érzékeltetni.

Láthatóan még erősen idealizált, egyszerű példára is sok megoldási variációt lehet találni. A valóságban a megoldandó feladatok mindig összetettek, példánknál összehasonlíthatatlanul bonyolultabbak. Márpedig minél bonyolultabb a tényleges feladat, annál nehezebb megtalálni a legcélravezetőbb módszert. A kísérletek megszervezése, a mérendő mennyiségek megválasztása, a kísérleti adatok feldolgozása a konkrét szaktudományon kívüli speciális ismereteket is követel. Ezekkel foglalkozik a “hasonlóságelmélet”.

A félreértések elkerülése végett szükséges leszögezni: a “hasonlóságelmélet” nem valamiféle önálló elmélet. Ugyanilyen alapon elméletnek nevezhetnénk pl. a parciális differenciálegyenletek megoldását a változók szétválasztásának módszerével, vagy a numerikus megoldásokat a véges különbségek módszerével stb. Megfelelően: tárgykörünket is helyesebb hasonlósági módszernek nevezni.



Következő fejezet

Vissza a honlap tartalomjegyzékéhez



Megjegyzések


*Ez a fejezet egyfajta összefoglalás, amely az első olvasásánál nyugodtan kihagyható.


Fourier, Jean Baptiste Joseph (1788-1830) francia matematikus és fizikus


A dimenzióanalízis részletesebb tárgyalásánál bemutatjuk, hogy ez az egyszerűsítés - megfelelő előzetes elemzés hiányában - mennyire félrevezető lehet.


az arányosság és a hasonlóság kapcsolatátl már Eukleidész definiálta


A Fourier-invariáns alakilag megegyezik a dimenzióanalízissel nyert Fourier-számmal. A példa egyszerűségére már a fejezet elején felhívtuk a figyelmet. Helytelen lenne azt a következtetést levonni, hogy a dimenzióanalízis és a hasonlósági módszer eredményei azonosak!


A hasonlósági kritérium és a hasonlósági invariáns fogalmát, valamint a hasonlóság szükséges és elégséges feltételét a "Rendszerek modellezés" fejezetben ismertetjük.


Ez a mi egyszerű példánknál furcsának tűnő kijelentés, de a gyakorlatban előfordul, hogy egyes változók mérése vagy egyes folyamatok laboratóriumi megvalósítása nehézségekbe ütközik.