Dimenzióanalizis
Szükséges minden tudományban felállítani a megfelelő fogalmak definícióit és megtenni azon elsődleges feltevéseket amelyekből mint a termést hozó magból előjönnek az alapelvek.
Galilei
A dimenzióanalízis tárgya
Lehetséges, hogy a vizsgált rendszer annyira bonyolult, hogy a matematikai modell megfogalmazása nem (vagy csak igen jelentős elhanyagolásokkal) lehetséges. Ilyen esetekben természetesen a rendszerek hasonlóságáról, illetve a modell és a modellezett közötti kapcsolatról (a priori) semmit sem mondhatunk. Mód van azonban ilyenkor is arra, hogy a faktorok számát csökkentsük. Különösen identifikációs feladatok megoldásánál hatékony, ha felhasználjuk a hasonlósági módszer azon tételét, mely szerint a matematikai modell megoldása dimenzió nélküli számok közötti függvénykapcsolat formájában adható meg. Ezen dimenzió nélküli számok meghatározásával foglalkozik a dimenzióanalízis. Így lényegében már meghatároztuk a dimenzióanalízis érvényességi körét:

A dimenzióanalízis akkor és csakis akkor használható, ha

Amikor ismert a matematikai modell: nem szabad használni, mivel a dimenzióanalízis a hasonlósági módszernél lényegesen megbízhatatlanabb.

Amikor nem ismertek a folyamatjellemzők: nem lehet használni.

A dimenzióanalízis segítségével az eredeti változók számánál kevesebb (dimenzió nélküli) változót kapunk és - a kísérlek során - ezek közötti összefüggéssel jellemezhetjük a vizsgált folyamatot illetve rendszert.

A dimenzióanalízis tárgya: a vizsgált rendszer jellemző változóiból dimenzió nélküli hatványszorzatok képzése.

A dimenzióanalízis elnevezés Bridgmann-től származik és alapját a Buckingham-tétel képezi:
 

A dimenzionálisan homogén összefüggések visszavezethetők a változókból képzett dimenzió nélküli hatványszorzatok “teljes készlete” közötti kapcsolatra.

Teljesnek akkor nevezünk egy készletet, ha valamennyi, egymástól független elemét tartalmazza. Ez - adott esetben - azt jelenti, hogy a kapott dimenzió nélküli változók egymástól függetlenek, és az alapváltozókból képezett bármely más dimenzió nélküli számot a teljes készletben szereplő dimenzió nélküli változók hatványszorzataként adhatjuk meg.

A homogenitással külön foglalkozunk.

Dimenzionális homogenitás
A dimenzionális homogenitás egyfajta szimmetria-tulajdonságra utal. Az energetikai ismereteinkből ismerjük az összefüggést Most a Az egyenletek ezen tulajdonságát a Fourier-feltétel rögzíti:
 
kötelező, hogy egy egyenletben szereplő minden tag dimenziója azonos legyen!

Lényegében (itt is) arról van szó, hogy a természettörvények objektívek, az őket leíró egyenletekben szereplő mennyiségek számértéke viszont szubjektív. A mérőszám nagysága függ az egység, a zéruspont, s í. t. megválasztásától, vagyis: az adott mértékegységtől. A változók közötti összefüggésnek viszont függetlennek kell lennie a mértékegység-választás önkényétől.

A probléma csak a számításoknál kezdődik, mivel maguk a kapcsolatokat kifejező egyenletekben szereplő változók a mértékegységtől függetlenek! Ezért értelmetlen pl. egy

F = ma
típusú kifejezés mellé odaírni a mértékegységet. A betűjelek közötti összefüggés minden mértékegységrendszerben ugyanolyan. A mértékegységet csak akkor szükséges (de akkor kötelező!) feltüntetni az egyenlet mellett, ha abban olyan mérőszám (olyan állandó) is szerepel, amelynek számértéke függ a mértékegységrendszer megválasztásától.

A számolásnál az összefüggések felbomlanak külön a mérőszámok és külön a mértékegységek közötti kapcsolatra. Legyen például három (x1  x2  x3) állapotjellemző, amelyek között

alakú összefüggés van. Ezt a mérőszámok és a mértékegységek segítségével
alakban is felírhatjuk. Számolni csak a mérőszámokkal lehet. Tehát az x3konkrét számértékét az
összefüggés adja meg. Ekkor viszont érvényesnek kell lennie az
összefüggésnek is, amiből következik, hogy a mértékegységek nem lehetnek egymástól függetlenek.

Például az F erő, az m tömeg és az a gyorsulás kapcsolata:

F = ma
A mérőszámok és mértékegységek segítségével:
{F}[F] = {m}[m]{a}[a].
A “számolási” rész:
{F} = {m}{a}.
A mértékegységek kapcsolata:
[F] = [m][a]
Ha áttérünk egy másik mértékegységrendszerre, akkor az új mértékegységek (az előbbihez képest) ci-szeresükre változnak. Pl.
[F'] = cF [F].
Az állapotjellemzők (változók) nagysága a mértékegységrendszertől független. Vagyis az új mértékegységrendszerben az új mérőszámot a régi mérőszám és a transzformációs paraméter hányadosaként kapjuk:
Trigonometrikus, exponenciális vagy logaritmikus összefüggéseknél - miután ilyen műveleteket csak dimenzió nélküli számokkal lehet végezni - még az is követelmény, hogy az exponens vagy pl. a sinus kifejezés is “nevezetlen” (értsd: dimenzió nélküli) legyen. Pl. az  kifejezésben a mértékegységekre következik: [a] = [x]2 [t]-1.
Látszólag tehát a műveletek között a szorzásnak kitüntetett szerepe van, mivel vele képezhető újabb dimenzió, míg összeadással például nem. Ebből azonban helytelen lenne olyan következtetésre jutni, hogy különböző fizikai mennyiségeket összeszorozni lehet, de összeadni nem. Ugyanis: nem a fizikai mennyiségekkel végzett műveletekről van szó! Amikor pl. az erőt számoljuk, nem a tömeg és a gyorsulás fizikai mennyiségeit szorozzuk, hanem a mérőszámokat: az erő mérőszámát a tömeg és a gyorsulás mérőszámainak a szorzataként számoljuk ki. A szorzást (a műveleteket) csak a számokkal és nem a fizikai mennyiségekkel végezzük. Fizikailag értelmetlen pl. két kocka szorzatáról beszélni, és ily módon L6 dimenziót alkotni. De lehetséges - képletesen - pl. a sebesség önmagával való szorzataként L2T-2 dimenziót “alkotni”. Itt azonban nem a sebesség (mint fizikai mennyiség) önmagával való szorzatáról, hanem egy másik fizikai mennyiségről (a fajlagos kinetikai energiáról) van szó, amelynek mérőszáma éppen a sebesség mérőszámának négyzete.
Dimenzió nélküli változók
A fizikai mennyiségek csoportosításakor megkülönböztetjük az egynemű és az egynevű mennyiségeket. Előbbi a tágabb fogalom: az azonos dimenziójú elemek halmaza. Utóbbi ennek részhalmaza, amelynek elemei nemcsak dimenzióban, hanem értelmükben is azonosak, egymástól csak nagyságukban (“számértékükben”) különböznek.

Egyneműek lehetnek különböző fizikai mennyiségekből képezett hatványszorzatok is. Így például az impulzus (a tömeg és a sebesség szorzata) dimenzionálisan megegyezik az erő és az idő szorzatával:

[m][v] = [F][t] .

Két egynemű fizikai mennyiség hányadosa természetesen dimenzió nélküli.

Szimplexnek nevezzük a dimenzió nélküli számot, ha az két egynevű mennyiség hányadosa. Minden más esetben a dimenzió nélküli hatványszorzat elnevezést használjuk.

Így pl. szimplex a relatív hőmérséklet (T/T0), a kör kerületének és átmérőjének hányadosa (π = K/D), de dimenzió nélküli hatványszorzat pl. a már többször felírt Fourier szám (at/x2).

A dimenzió nélküli számok számértéke nem függ a mértékegységrendszer megválasztásától. Szimplexek esetében ez a megállapítás triviális, hiszen két azonos nevű mennyiség hányadosa független a választott mértékegységrendszertől.

A dimenzió nélküli hatványszorzatok esetében ismét emlékeznünk kell arra, hogy valamely fizikai mennyiség nagysága mérőszámának és mértékegységének szorzataként adható meg:

A mértékegység megválasztásától a fizikai mennyiség nagysága nem függ. Ebből következik, hogy az i. mértékegységet ci-szeresére változtatva a mérőszám 1/ci-szeresre változik. A fizikai mennyiségek hatványszorzata is felírható a mérőszámok és a mértékegységek hatványszorzataként:
Amikor a bal oldali hatványszorzat dimenzió nélküli , akkor a jobb oldalon a dimenziók hatványszorzata eggyel egyenlő:
Mivel a dimenzió megválasztásától az xi-k (külön-külön) függetlenek, így attól az {xi} mérőszámok hatványszorzata sem függ.

Igen lényeges szerepe van annak, hogy a dimenzió nélküli számok értéke a mértékegységrendszer megválasztásának önkényével szemben invariáns. A jelenségeket nemcsak az egyes állapotjellemzőkkel, hanem az azokból alkotott dimenzió nélküli hasonló pontjaiban - a választott mértékegységrendszertől függetlenül - azonosak.

A dimenzió nélküli változók képzésekor a - már említett - dimenzionális homogenitást használtuk fel. Ez módot ad arra, hogy - a változók összevonásával - explicite kevesebb változóval tudjuk a rendszert, elemezni.

A dimenzióanalízis alkalmazásához előzetesen meg kell határozni a feladat típusát és - ezzel összefüggésben - a figyelembe veendő változókat. Már Maxwell rámutatott arra, hogy “minden fizikai kutatás sikere attól függ: helyesen választjuk-e ki azt, ami a legfontosabb, és azokat a tulajdonságokat, amelyeket elhanyagolhatunk”.

Guhmann hangsúlyozza, hogy a feladat típusának megválasztásától függ, hogy “hány mennyiség választunk alapmennyiségnek, tehát ... a dimenzióanalízis során alkalmazott alaprelációk egész rendszere”. Élesen bírálja azon - nemcsak az általános, hanem még a felsőfokú oktatásban is gyakori - nézetet, amely szerint csak három alapmennyiség van (a többi leszármaztatott): a hosszúság, a tömeg és az idő. Guhmann rámutat arra, hogy “ez a nézet rendkívül primitív. Az alapmennyiségek rendszerét valójában a feladat típusa határozza meg, nem pedig valami ‘misztikus’ meggondolás. Egyik feladat esetében három alapmennyiségünk van, a másikban négy, a harmadikban öt, s í. t.“

Az alap és a leszármaztatott mennyiségek meghatározása után az utóbbiakat előállítjuk az előbbiek hatványszorzataként. Ennek lehetőségét a Buckingham tétel mondja ki, amely szerint
 

valamely j-edik leszármaztatott xi mennyiség k db ai alapmennyiség hatványszorzataként adható meg.

Ennek alapján definiáljuk a - dimenzióanalízishez szükséges - A dimenziómátrixot, melynek az alapdimenziók k számával megegyező oszlopa és a változók n számával megegyező sora van, αij elemei pedig azt fejezik ki, hogy az i-dik változó dimenziójában a j-edik alapdimenzió hányadik hatványon szerepel:

A dimenzióanalízis módszere
A dimenzióanalízis módszerének alkalmazásakor kiindulunk a vizsgált rendszer jellemzőiből és felírjuk ezekre a változókra a dimenziómátrixot. Legyenek például egy csővezetékben végbemenő áramlás jellemzői, jelölve az SI szerinti alapdimenziókkal a dimenzionálást (L hosszúság. M tömeg és T idő):
 
Δp nyomáskülönbség M1L-1T2
l hosszúság L
d átmérő L
v áramlási sebesség LT-1
ρ a közeg sűrűsége M.L-3
η a közeg dinamikai viszkozitása ML-1T -1

Ezekkel a dimenziómátrix:

  L M T
Δp -1 1 -2
l 1 0 0
v 1 0 -1
d 1 0 0
ρ -3 1 0
η -1 1 -1

Más dimenziórendszerben - természetesen - más lenne a dimenziómátrix is, de - mint később kimutatjuk - a kapott eredmények egymásból levezethetők. A dimenziómátrix alapján már - rögzített algoritmus szerint - meghatározhatók a dimenzió nélküli számok. Többféle módszer ismeretes. A bázisfaktor-módszer próbálgatás nélkül ad eredményt. Az eljárás lényege, hogy a dimenziómátrixot ún. bázisfaktorokra bontjuk, azaz olyan két mátrix szorzatára, amelyek közül az elsőnek oszlopai, a másodiknak pedig sorai lineárisan függetlenek. A bázismátrixból azután a fizikai mennyiségek báziselemei (a π számok) meghatározhatók.

A bázisfaktorokra bontás (viszonylag hosszadalmas) művelete igen gyakran - gyakorlatilag minden esetben - elkerülhető, ezért annak ismertetésével nem foglalkozunk. Ha ugyanis sikerül a dimenziómátrixot már eleve úgy felírnunk, hogy annak első négyzetes almátrixa nemszinguláris alsó háromszög mátrix legyen, akkor ebből a dimenzió nélküli számok közvetlenül meghatározhatók.

Vegyük az előző példánkat: Írjuk az első sorba azt a változót, amelynek dimenziója valamelyik alapdimenzióval megegyezik (ilyen pl. az l vagy a d). Válasszuk d-t, ezzel meghatározott a dimenziómátrix első oszlopának értelme (nevezetesen az L-hez tartozó hatványkitevők kerülnek majd az első oszlopba). A másik két oszlop még határozatlan:
 

  L ? ?
d 1 0 0

A következő sorba arra a változóra vonatkozó hatványkitevőket írjuk, amelynek dimenziója a hosszúságon kívül maximum egy alapdimenziót tartalmaz (pl. a ρ sűrűség vagy v sebesség). Válasszuk a ρ sűrűséget, ezzel meghatározott a dimenziómátrix második oszlopának az értelme is (nevezetesen a második oszlopba az M tömegre vonatkozó hatványkitevők kerülnek).
 

  L M ?
d 1 0 0
ρ -3 1 0

A következő sorba olyan változót írunk, amelynek dimenziójában a harmadik (most az utolsó) alapdimenzió szerepel. (Ilyen lehet a v sebesség, a Δp nyomáskülönbség, az η dinamikai viszkozitás.)

Válasszuk a v sebességet:
 

  L M T
d 1 0 0
ρ -3 1 0
v 1 0 -1

A többi sor már tetszés szerint tölthető ki. A 4. sorba a nyomáskülönbség, az 5. sorba a dinamikai viszkozitás, a 6.-ba a hosszúság dimenzióvektorait írva, az oszlopokat rendre zl, z2, z3, a sorokat y1, y2, ... y6 betűkkel jelölve, a dimenziómátrix a következő alakú lesz:
 

  z1 z2 z3
y1
1
0
0
y2
-3
1
0
y3
1
0
-1
y4
-1
1
-2
y5
-1
1
-1
y6
1
0
0

Amikor a dimenzió nélküli számokat meghatározzuk, lényegében azt tesszük, hogy “saját alapdimenzió-rendszer”-re térünk át, és ebben a “saját-rendszer”-ben adjuk meg a fizikai mennyiségek dimenzióit. (A saját dimenzió-rendszer” alkotói az ún. báziselemek, ezek alkotják a dimenziómátrix - adott esetben - első három sorát.)

Az eljárás menete (algoritmusa) a következő:

1. Kifejezzük az yi-ket a zj-k függvényében.
2. A lineárisan független kifejezésekből meghatározzuk a zj-ket mint yi-k függvényét.
3. Behelyettesítve az így kiszámított összefüggéseket a lineárisan nem független egyenletekbe a zj-k helyére, megkapjuk az yi-ket mint a lineárisan független (esetünkben: az első három) y függvényét.
4. Visszatérve az eredeti értelmezéshez (az yi-k az egyes fizikai változók dimenzióinak logaritmusát jelentik), a változók dimenzió nélküli hatványszorzatait kapjuk.
A konkrét példa esetében:
 
y1=
z1
y2=
-3z1+z2
y3=
z1-z3
y4=
-z1+z2-2z3
y5=
-z1+z2-z3
y6=
z1

2. Az első három egyenletből
 

z1= y1
z2= 3y1+y2
z3= y1-y3

3. Behelyettesítve a további egyenletekbe:

y4= -y1+3y1+y2-2(y1-y3) = y2 +2y3
y5= -y1+3y1+y2-( y1-y3)=y1+y2+y3
y6= y1

Rendezve:

y2 +2y3-y4 = 0
y1+y2+y3 -y5=0
y6-y1=0

4. Innen:

ln [ρ] + 2 ln [v] - ln [Δp] = 0
ln [d] + ln [ρ] + ln [v] - ln [η] = 0
ln [l] – ln [d] = 0

A kapott dimenzió nélküli számok:

Euler szám,
Reynolds szám,
geometriai paraméter.
A dimenzióanalízis és a hasonlósági módszer
Amint az eddigiekből kitűnik, a dimenzióanalízis módszerével igen gyorsan meghatározhatók a dimenzió nélküli számok. Ezekkel a kísérlet, és a kapott adatok értékelése egyszerűbbé válik.

Ha a kísérleték során azt vizsgáljuk, hogy a szabadon megválasztható fizikai változókból képezett (független) dimenzió nélküli számok értékének változtatásával milyen lesz a vizsgált berendezésben a többi (függő) dimenzió nélküli szám eloszlása, akkor a dimenzióanalízis direkt feladatát oldjuk meg. Ha viszont a mérések során úgy változtatjuk a független dimenzió nélküli számok értékét, hogy közben egy adott helyen a függő dimenzió nélküli szám értéke ne változzék, akkor a dimenzióanalízis indirekt mérését hajtjuk végre. (Ez utóbbi abban az esetben érdekes, ha ismert valamely függő változó optimális értéke, és keressük: a független dimenzió nélküli számok milyen variációi esetén lehet ezt az optimumot elérni. )

Látszólag a dimenzióanalízis “éppolyan jó”, mint a hasonlósági módszer, sőt “jobb”, hiszen jóval kevesebb és egyszerűbb számolással jár. Úgy tűnik, hogy az egyenletanalízissel és a dimenzióanalízissel ugyanazokat az invariánsokat kapjuk. Mindez többeket arra a következtetésre vezet, hogy a dimenzióanalízisnek kitüntetett szerepe van a technikában, az egyenletanalízis inkább a fizikusok területe. Indokolásképpen még azt is megemlítik, hogy a dimenzióanalízishez “elegendő a fizikai változók ismerete”, és “nem szükséges” az egyenletek ismerete.

Gyakori példa, hogy a Navier-Stokes-egyenlet helyett csak az abban lévő változókat írják fel, és “bebizonyítják”, hogy így is megfelelő invariáns rendszerre jutunk. Valóban a ρ tömegsűrűség, a v sebesség, a p, sztatikus nyomás, az η dinamikus viszkozitás, a g gravitációs állandó, az x0 jellemző méret és a t idő dimenziómátrixából közvetlenül adódik a St (Strouhal-) és az Eu (Euler-) szám, a Re (Reynolds-) és a Fr (Froude-) kritérium. Egyenletanalízis nélkül meghatározhatjuk a kísérletek során figyelembe veendő dimenzió nélküli számokat. Ha a kísérletekkel kimérjük az

Eu = f(St, Re, Fr)

függvényt, az érvényes lesz mindazokra a jelenségekre, amelyek az alapjelenséghez hasonlók.

Könnyen kimutatható ennek a nézetnek a helytelensége. Még ha az adott esetben helytálló is lenne ez az érv, akkor sem bizonyító erejű. (Egyszerű ugyanis olyan ellenpéldát találni, amikor a dimenzióanalízis és az egyenletanalízis nem vezet azonos eredményre.)

A gondolatmenet azonban önmagában is helytelen. Két, igen lényeges helyen ugyanis felhasználja az egyenletanalízist:

A dimenzióanalízis nem mond semmit sem a folyamatra jellemző változókról, sem a hasonlóság fogalmáról. A fizikai változók megválasztása bizonyos fokig önkényes, gyakran intuitív, a hasonló jelenségek fogalma pedig csak az egyenletanalízisen keresztül válik definiálttá. Egyes próbálgatások a hasonlóság fogalmának egyedül a dimenzióanalízis alapján való definiálására már eleve sikertelenségre vannak ítélve. Olyan teoréma, amely kizárólag a fizikai változókra épül, s nem veszi figyelembe a változók közötti kapcsolatokat, nem tud mit kezdeni a hasonlósággal. Ugyanazok a változók ugyanis végtelen sok, egymástól gyökeresen különböző jelenség jellemzői lehetnek. A dimenziómátrix megegyezése két jelenség esetében csak azzal egyenértékű, hogy ugyanazok a fizikai változók fordulnak elő mindkét jelenséggel kapcsolatban, ami még egyáltalán nem jelenti a két jelenség hasonlóságát. Ha viszont a hasonlóság feltétele az lenne, hogy a dimenzió nélküli változók közötti függvénykapcsolatok egyezzenek meg egymással, akkor semmitmondó állításhoz jutnánk. A összefüggések ugyanis mérések eredményei. Két jelenség esetében előre nem ismeretesek. A mérés után természetesen esetleg megállapítható, hogy a két rendszer invariánsai között azonos összefüggés van, és ekkor a jelenségek ténylegesen hasonlóak is egymáshoz. De ez más szóval azt jelenti: “Ha két rendszerről méréssel megállapítottuk, hogy hasonlók egymáshoz; akkor: hasonlók egymáshoz!” Ez a “definíció” semmitmondó. Két jelenség hasonlóságát előre, még a mérések előtt kell eldöntenünk. Ha ezt nem tesszük meg; akkor értelmetlenné válik maga a modellkísérlet is. Nem szabad a hasonlóságot a priori létezőnek tételezni fel, pusztán valamiféle “érzékre” vagy empirikus tapasztalatokra építve.

A dimenzióanalízis önmagában tehát nem képes a hasonlóságot sem definiálni, sem betartásának feltételeit megszabni. A dimenzió nélküli összefüggések érvényességi körét előzetesen csak az egyenletanalízis alapján lehet meghatározni. A hasonlósági módszer - amint arra már többször rámutattunk - egyértelmű definícióját adja a hasonlóság fogalmának, szükséges és elegendő feltételének. Ennek ismerete nélkül, pusztán a dimenzióanalízisre támaszkodva súlyos hibákat követhetünk el.

Ezt az előbbi példa alapján is beláthatjuk. Változatlan geometria esetében növeljük az áramlási sebességet. Így eljutunk olyan sebességhez, amelynél az áramlás már feltétlenül turbulens. Turbulens áramlásban viszont már nem érvényes a laminárisban kimért összefüggés. Ennél többet is mondhatunk: a turbulens áramlás kritériumai nem egyeznek meg a lamináris áramlás kritériumaival.

A dimenzióanalízis mindig tévútra vezet, ha transzcendens függvénykapcsolat vagy dimenzió nélküli együtthatók is vannak a folyamat jellemzői között. (Ez bizonyítás és példa nélkül is belátható!) Még tapasztalt kutatók is súlyos hibát követtek el, amikor csak a dimenzióanalízist vették figyelembe.

Az egyenletanalízis és a dimenzióanalízis még egy lényeges különbségét kell kiemelni. A folyamat matematikai modellje - definíció szerint - meghatározza saját érvényességi körét. A konvektív hővezetés egyenletét senkinek sem jutna eszébe a sugárzásos energiatranszport egyenlete helyett használni. A klasszikus mechanika törvényeit leíró egyenletek nem használhatók a mikrovilág jelenségeire vagy fénysebességgel összemérhető pedig sebességek esetére stb. Ha triviálisnak tűnnek is ezek a példák, ez csak azért van, mert ezeket az érvényességi határokat ma már minden művelt ember ismeri. De kevésbé lennének ismertek, ha a fizikai jelenségek matematikai modelljét nem alkották volna meg.

Egyedül a jelenségben szereplő változók alapján nehéz lenne eldönteni, hogy melyik változó mikor lényeges, és mikor (illetve miért!) válik elhanyagolhatóvá. A matematikai megfogalmazás olyan eszközt ad a kezünkbe, amelynek segítségével a mennyiségi viszonyokat is pontosan tükröző számításokat végezhetünk. E “számításoknak” egyik módszere a hasonlósági módszeren alapuló modellezés. Az egyenletanalízissel kapott függő invariánsok és hasonlósági kritériumok között kísérletileg meghatározott függvénykapcsolat a feladat megoldását adja a folyamat matematikai modelljének érvényességi tartományán belül. A dimenzióanalízis ezzel szemben - még ha helyesen választottuk is meg a változókat - csak arra az intervallumra ad helyes eredményt, amelyen belül az egyes változók a mérés során változtak. A dimenzióanalízis eredményeként kapott dimenzió nélküli számokat csak a kísérleti adatok szemléltetőbb ábrázolására szabad használni; más berendezésre való átszámításnak csak külön kísérleti elemzés esetén van létjogosultsága.

A dimenzióanalízis és az egyenletanalízis számítási módszerét gyakran összetévesztik. A megkülönböztetés végett helyesebb az előbbi esetben mindig “dimenzió nélküli számokról” (lényegében ezek képzése a feladat!) beszélni, s csak az egyenletanalízissel kapcsolatban tartani fenn az invariáns és a hasonlósági kritérium terminológiát.



Vissza a Modellezés tartalomjegyzékéhez:



Megjegyzések


Levezetését lásd Szücs (1972) 72…74. old.

Szücs (1988) 68…71. old.

Az egyszerűség kedvéért a-t dimenziótlannak tekintjük, [a] = 1.

Ezek a ci szorzók ugyanúgy transzformációs paraméterek, mint amilyeneket a geometriai vagy a fizikai hasonlóságnál alkalmaztunk, de most nem a méretek (vagy a változók), hanem a mértékegységek arányát jelentik.

Levezetését lásd Szücs (1972) 71…72. old.

Miután n db mennyiség jellemzi a rendszert, a leszármaztatott mennyiségek száma: n-k.

A bázisfaktor-módszert a dimenzióanalízisben először Fáy használta.

Nemszinguláris alsó háromszögmátrix az olyan mátrix, amelynek főátlójában nulla elem nincs, viszont a főátlója feletti minden elem 0.

A dimenziónélküli számok közvetlen meghatározását írja le a Csernavszkij - Szücs cikk.

Az algoritmus alapján a számítógépes program, bármely programnyelven könnyen megírható

 Pl. a kapillárisban és a normál csővezetékben áramló folyadék esetében ugyanazok a változók, a két folyamat azonban egymástól gyökeresen különbözik.