Tizenhatodik beszélgetés

Hasonlóság, modell

Én különösen szeretem a hasonlóságot
a természet titkainak legfőbb tanítóját
KEPLER
SZERZŐ Engedd meg, hogy egy múlt századbeli igaz történettel kezdjem. 1870-ben, Angliában egy "csodálatos" hajót építtetett az Admiralitás. A büszke "Capitan" tervei mindenkit lenyűgöztek. A kor egyik tudósa, REED nem elégedett meg a csodálattal. Elkészítette a hajó modelljét és a laboratóriumi kísérletek után megdöbbenve tapasztalta, hogy a hajó vízre bocsátása elkerülhetetlenül katasztrófához vezet. Sietve értesítette erről az Admiralitást, ahol azonban semmibe vették jóslatát. Nevetve még gúnyolódtak is azon, aki "egy fürdőkádban játékhajóval szórakozik és így akarja tanítani a vén tengeri medvéket". Súlyos árat kellett fizetni a gúnyolódásért. Szeptemberben, egy viszonylag csendes napon, a hajó "váratlanul" felfordult és 550 utasából csak 17 menekült meg.

OLVASÓ Kemény lecke volt! De miért mesélted el? Hiszen ma már nincs olyan hajó, amelyet előzetes modellezés nélkül kezdenének gyártani.

SZERZŐ De vajon a műszaki tervezés, az új gyártmányok kialakításának minden területén alkalmazzák a modellezést?

OLVASÓ Nehezen tudnék erre válaszolni. Mindenesetre egyre több olyan cikk, közlemény, ill. könyv jelenik meg, amely modellkísérletekkel foglalkozik. Több olyan műszaki létesítményről tudok, amelynek tervezéséhez felhasználták a modellvizsgálatok eredményeit.

SZERZŐ Talán mindenek előtt azt tisztázzuk, hogy mit nevezünk modellnek?

OLVASÓ Egy pillanatra most zavarban vagyok. Mire vonatkozik a kérdésed, a hajómodellre vagy a matematikai modellre?

SZERZŐ Jó, ha tisztázzuk - bár ezt már a numerikus módszerek tárgyalásakor megtehettük volna - hogy mit értünk matematikai, számítási és - a hajó példáján - fizikai modellen. A matematikai modell: a vizsgált rendszer belső törvényszerűségeit és egyértelműségi feltételeit írja le a fizikai jellemzők közötti (leggyakrabban differenciális) összefüggés alakjában. A számítási modell: a matematikai modell (vagy annak transzformáltja) alapján előállított algebrai összefüggések olyan rendszere, amely közvetlenül alkalmas numerikus számítások elvégzésére. Kérdésem tehát csak a fizikai modellre vonatkozik.

OLVASÓ Így már könnyebb a válasz. A fizikai modell olyan objektum, amely az eredetihez hasonló. A műszaki modell feladata: megjósolni az újonnan üzembe kerülő berendezés legfontosabb jellemzőit, viselkedését. Választ adni arra, hogy milyen módon lehet jobb hatásfokot, nagyobb üzembiztonságot biztosítani. A kutató- és tervezőmérnök megépíti a készülő berendezés modelljét, méréseket végez vele, változtatásokat hajt rajta végre, ellenőrzi hatásukat és ebből következtet arra, hogy milyen lesz az "igazi" berendezés, hogyan fog működni, "üzemelni". Mindehhez "csak" az szükséges, hogy a modell hasonló legyen az eredetihez.

SZERZŐ Ez valóban szükséges és egyben elegendő is. De mit értünk hasonlóságon?

OLVASÓ A hasonlóság szót rendszeresen használjuk. Ha ismertetünk vagy magyarázunk valamit, állandóan hasonlatokat használunk.

SZERZŐ Miről ismerhetjük fel a hasonlóságot?

OLVASÓ Legegyszerűbben nyilván a külső jelek, a forma alapján, Már az ókor tudósai felismerték, hogy egyes tárgyak, földdarabok méreteire vonatkozó összefüggések nem függnek attól, hogy milyen a "tartalmuk". Így pl. derékszögű háromszögre vonatkozó ismert Pythagoras-tétel egyaránt érvényes a tölgyfákkal borított háromszög alakú erdőre és a füves tisztásra. A kör alakú tó, a pénzdarab vagy egy malomkerék kerülete és átmérője között ugyanaz a viszony.

SZERZŐ Egyébként éppen ez a viszonyszám (a kerület és az átmérő hányadosa, a π=3,1415926536…, az ún. Ludolf féle szám) volt az első "hasonlósági kritérium". A geometria, a tárgyak tartalmától elvonatkoztató, csak a forma összefüggéseit vizsgáló tudomány. Itt fogalmazták meg először tudományosan a hasonlóság fogalmát. Mint ismeretes, geometriailag hasonlónak nevezünk két idomot, ha egymásba folytonos deformációval átvihetők. A hasonló geometriai idomok megfelelő oldalai egymással arányosak, a közbezárt szögek pedig rendre megegyeznek. Az egyik idom minden pontja kölcsönösen egyértelműen leképezhető a hasonló idom megfelelő pontjaiba. A geometriai hasonlóság egzakt definíciója lehetővé teszi, hogy a különböző tulajdonságú, de formailag hasonló tárgyak geometriai törvényszerűségeit ne külön-külön vizsgáljuk, hanem csak egyet-egyet a hasonlók közül. "Ha egy alakzat a másikból folytonos változtatás útján nyerhető és ugyanolyan általános, mint az első, akkor az első alakzatra bebizonyított tulajdonságok minden további vizsgálódás nélkül átvihetők a másikra." - írja Poncelet, a projektív geometria megalapítója.

OLVASÓ Ezek szerint a hasonlóság legfőbb kritériuma a geometriai forma hasonlósága?

SZERZŐ Valóban sokan még ma is a geometriai hasonlósággal azonosítják a hasonlóságot. Ha a méretek arányos növelése vagy csökkentése nem befolyásolná valamely rendszer működését, nagyon egyszerű dolgunk lenne. Nem kellene mást csinálni, csak egyszerűen kicsiben megépíteni egy nagyon nagy, vagy nagyban egy igen kicsiny berendezést, máris kész lenne a modell és azon tanulmányozhatnánk az eredeti tulajdonságait. 1638-ban, több mint 300 éve írta GALILEI:  "Példaként rajzolok Önnek két csontot, amelyek közül a nagyobb a kisebbnél csak háromszor hosszabb, de oly mértékben megvastagítva, hogy ugyanolyan biztonsággal hordozza a nagyobb élőlényt, mint a kis csont a kisebbet. Láthatja, mennyire képtelenül kövérnek tűnik az ilyen megnövelt csont. Világos, hogy aki meg akarná őrizni a szokásos emberi test részeinek arányait a megnövelt méretekben, valamilyen másfajta "csontanyagot" kellene, hogy használjon, amely szilárdabb; vagy olyan "testanyagot", amely kisebb súlyú. Ellenkező esetben a méretnövelés arra vezetne, hogy saját önsúlya alatt széttörne a test." Galilei mutatott rá először arra, hogy a geometriai hasonlóság a méretarányok egyszerű változtatása (gyakran) kizárja, hogy az eredetihez, működésében, felépítésében, jellegében hasonlót nyerjünk.

OLVASÓ Ez számomra meglepő! Ezek szerint a fizikai hasonlóságnak nem feltétele a geometriai hasonlóság?

SZERZŐ A geometriai hasonlóság sohasem elegendő, de gyakran nem is szükséges feltétele a jelenségek, folyamatok, berendezések hasonlóságának. A hasonlóság felismeréséhez mindig absztrakcióra van szükség. A geometriai hasonlóság esetében a formai hasonlóságot úgy ismerjük fel, hogy elvonatkoztatunk az egyéb, a tartalmi különbségtől. A jelenségek hasonlóságának felismeréséhez a formától való absztrakció vezethet.

OLVASÓ Tehát a jelenségek esetében a tartalom hasonlóságára fordítjuk a figyelmünket.

SZERZŐ És szerinted mivel jellemezhetjük a tartalmat?

OLVASÓ A folyamatjellemzők kapcsolatát megadó matematikai összefüggésekkel.

SZERZŐ Erről írja POINCARÉ: »"A matematikai szellem" tanít meg bennünket arra, hogy felismerjük az igazi, a mély analógiát, amelyet a szem nem lát, csak az ész sejt.« A matematikai összefüggések segítségével pontosan megfogalmazhatók a vizsgált jelenségre, berendezésre vonatkozó törvényszerűségek, s azok a feltételek, amelyek között a törvényszerűségek érvényesülnek. DIDEROT írja: "A fizikában minden tudásunk csak a hasonlóságra épül. Ha a következmény hasonlósága alapján nem lenne jogunk azonos okokat feltételezni, mi lett volna ezzel a tudománnyal?" A hasonló okok hasonló következményét a természettörvények biztosítják. Amikor két jelenség folyamán ugyanolyan természettörvények érvényesülnek, hasonló "okok" (feltételek) között, akkor a következmény is hasonló lesz. Teljesen általánosan: jelölje a folyamat belső törvényszerűségeit D, a feltételeket (okokat), amelyek közt a folyamat végbemegy X betű. A "választ" (következményt), amit az X feltételek mellett a D rendszer ad, jelölje Y. Minden rendszer (berendezés, jelenség) felfogható az ábra folyamatábrájaként, ahol X a bemenő, Y a kimenő jellemzőket jelenti. Két rendszer hasonló, ha hasonló okok, hasonló következményt váltanak ki.

OLVASÓ Ez így számomra túlságosan elvont! Belátom, hogy a jelenségek hasonlósága nem ismerhető fel absztrakció nélkül, de itt már olyan fokú az elvonatkoztatás, hogy a fizikai tartalmat sem érzem!

SZERZŐ Pedig ugyanazt a gondolatot követjük, mint a geometriai hasonlóság meghatározása során. A geometriában két idom között megfelelő leképezési kapcsolatot állapítottunk meg. A jelenségek hasonlóságában a két jelenség közötti leképzési kapcsolatot kell keresnünk. Emlékezzünk csak vissza arra, hogy a geometriában a hasonló idomok megfelelő méretei között meghatározott arány áll fenn. Így pl. az ábra megjelöléseivel:

ahol c a transzformációs szorzó. A geometriai hasonlósági transzformáció kört körbe, négyzetet négyzetbe visz át. Az egymáshoz hasonló idomok méretei különbözők lehetnek, de méretarányaik azonosak. Így, ha az egyik jellemző mérethez viszonyítjuk a többi méretet, olyan - dimenzió nélküli - számokat kapunk, amelynek számértéke minden hasonló idomra ugyanakkora. Pl.:

Ilyen dimenzió nélküli szám volt a már említett π, a kör kerületének és jellemző méretének (átmérőjének) viszonyszáma. A geometriai idomokra vonatkozó matematikai összefüggések ilyen dimenzió nélküli változókkal felírva, minden hasonló idomra számszerűen is azonosak. A kör egyenletét

alakban felírva, x/R=X és y/R=Y helyettesítéssel olyan összefüggést kapunk, amely akkor is változatlan marad, ha a kör méreteit x és y irányban más-más léptékkel torzítjuk. Legyen az x irányú torzítás cx az y irányú pedig cy. Jelöljük a különböző irányú "sugarakat" a, ill. b betűvel:

Könnyen belátható, hogy a körre vonatkozó

alakú (dimenzió nélküli) egyenlet a különböző léptéktranszformáció ellenére változatlan marad. A kört azonban ez a transzformáció ellipszissé "torzította". A dimenzió nélküli egyenlet egyaránt vonatkozik a körre, valamint az ellipszisre. Az ilyen, általánosabb értelemben vett, hasonlósági transzformációt a geometriában affin transzformációnak nevezzük.

OLVASÓ Részletesen akarsz a geometriai hasonlósággal foglalkozni?

SZERZŐ Nem, csak néhány terminológiai fogalmat veszünk kölcsön, amelyek geometriailag igen szemléletesek. Ezek: a hasonlósági transzformációs szorzó, amely két egymáshoz hasonló idom megfelelő jellemzői közötti arányt adja meg; a dimenzió nélküli változó, amely egy idomon belüli jellemző valamilyen relatív értékét jelöli, és amelynek számértéke minden hasonló idomnál megegyező (invariáns a léptéktranszformációval szemben!); valamint a dimenzió nélküli egyenlet, amely az egymáshoz hasonló (ill. affin) idomok esetében a transzformáció során változatlan marad.

OLVASÓ Hasonlóan a természettörvényeket leíró egyenletek kovarianciájához?

SZERZŐ Nem egészen. Ott a koordinátarendszer irányítását változtattuk meg. Itt az egyes fizikai (ill. ezer bocsánat, egyelőre csak a geometriai!) változók "léptékét" változtatjuk. A geometriai idomok között a legáltalánosabban bármilyen transzformáció leképezési kapcsolatot jelenthet. A feltétel csak az, hogy a leképezés kölcsönösen egyértelmű legyen: az egyik idom minden pontjához a másik idomból csak egy pontot rendeljen és egyik idomban se legyenek olyan pontok, amelyekhez a másik idomból megfelelő pontok nem rendelhetők. A teljesen általánosan értelmezett kölcsönösen egyértelmű leképezési kapcsolatot az ábra szemlélteti.

Mindhárom példa az A és A', B és B' stb. pontok között kölcsönösen egyértelmű kapcsolatot reprezentál. A jelenségek hasonlóságára ezt az általánosabb transzformációt alkalmazzuk. Hasonlónak nevezzük az olyan rendszereket, amelyek megfelelő változói kőzött kölcsönösen egyértelmű leképezési kapcsolat van.

OLVASÓ A "megfelelő" változók most az előbb említett X bemenő és Y kimenő jellemzők?

SZERZŐ Igen, ill. (mivel ezek általánosabban vektorok) a komponenseiket jelentő x1, x2, …, xn és y1, y2, …, yn fizikai jellemzők. Vizsgáljunk két rendszert, s az egyikben X, Y, a másikban X', Y' jelölje a változókat. Könnyen beláthatjuk, hogy a kölcsönösen egyértelmű leképezési kapcsolat az X, X', ill. az Y, Y' bármely értékhalmaza között akkor és csakis akkor állhat fenn, ha a belső törvényszerűségeket (a rendszeren belüli folyamatokat irányító természettörvényeket) leíró egyenletek és a hozzájuk tartozó egyértelműségi feltételek struktúrája azonos, vagyis a hasonlósági transzformációval szemben az egyenletek invariánsak.

OLVASÓ Lehet, hogy ez könnyen belátható, de nekem semmiképpen sem tűnik triviálisnak. Kicsit kinyilatkoztatás íze van az egésznek! Nem tudnád ezt egyszerűbben vagy legalább is számomra érthetőbben megfogalmazni?

SZERZŐ Talán a geometriai szemléltetés segít ebben. A geometriában: a hasonló idomok megfelelő oldalarányai állandók. A jelenségekre vonatkozóan: a hasonló jelenségek megfelelő fizikai változóinak aránya (pontosabban: számértékük aránya) állandó. Például: két szoba hőmérsékleteloszlása hasonló, ha a megfelelő pontokban a hőmérsékletek T1/T2=cT aránya állandó. Vagy: egy térrész hőmérsékleteloszlósa hasonló egy másik térrész tömegeloszlásához, ha a megfelelő pontokban a hőmérséklet és a sűrűség T/ρ=c1 aránya állandó. Természetesen csak akkor, ha ezek az állandók minden egymásnak megfelelő pontpárban azonos értékűek. Egy-egy rendszerben azon pontok mértani helyét, amelyekben egy adott fizikai mennyiség értéke azonos, izo-görbének (izoterm, izobar stb.) nevezzük. Egy-egy jelenséget többféle fizikai mennyiség is jellemez. Ha valamennyire igaz, hogy arányuk (c1,c2, ... , cn s i. t.) rendre állandó, akkor a két jelenség hasonló egymáshoz. Ilyen esetben minden fizikai jellemző eloszlása egy-egy görbesereggel ábrázolható. Hasonló berendezésekre ezek a görbék külön-külön geometriailag hasonlóak (ill. általánosabb értelemben: geometriailag egymással kölcsönösen egyértelmű kapcsolatban vannak). Ismerve a különböző fizikai jellemzők izo-görbéit két berendezésben, azok formai összehasonlításából megállapíthatjuk: hasonló-e egymáshoz a két rendszer vagy nem.

OLVASÓ Hát ezzel még nem mertünk sokra! Amikor ismerjük ezeket a görbéket, akkor már nem kell modell. Éppen azért kell modellezni, mert az eredetiben nem tudunk mérni (a mérés nagyon bonyolult és költséges lenne, vagy még nincs is meg az eredeti, csak gondolatban). Nem utólag kell összehasonlítani, hanem előre kell megállapítani azokat a követelményeket, amelyeket a modellnek teljesíteni kell althoz, hogy az eredetihez hasonló legyen.

SZERZŐ Szemléletes magyarázatot kértél és nem a hasonlóságot definiáló tételt. De most már azt is kimondhatjuk. Az előbbi X-D-Y folyamatábrához visszatérve, amikor két rendszer D és D' differenciálegyenletei, valamint X és X' egyértelműségi feltételei között létezik a kölcsönösen egyértelmű kapcsolat, akkor ez a kapcsolat az Y és Y' megoldások között is fennáll. Ebből következik a tétel: Két rendszer hasonlóságának szükséges és elégséges feltétele, hogy a leíró differenciálegyenletek és az egyértelműségi feltételek egymásba kölcsönösen egyértelműen áttranszformálhatók legyenek.

OLVASÓ X és X', ill. D és D' kapcsolata valóban előzetes mérések nélkül eldönthető. Ennek meghatározása lenne a hasonlósági törvény, ill. hasonlósági összefüggés? Eddig csak olyan hasonlósági törvénnyel találkoztam, amely valamely tudós nevével ellátott szám megegyezését írta elő az eredetiben és a modellben. Így pl. ismerem a Reynolds-féle hasonlósági törvényt, amely szerint két geometriailag hasonló berendezésben az áramlási viszonyok is hasonlóak, ha a sebesség és a csőátmérő szorzata osztva a kinematikus viszkozitással:

 azonos számértékű, Re=állandó.

SZERZŐ Ez szerinted hasonlósági törvény?

OLVASÓ Nem szerintem, hanem nagyon sokak szerint. Mutassak Neked cikkeket és könyveket, amelyekben majdnem szó szerint ez áll?

SZERZŐ Köszönöm, ezt elhagyhatjuk! Inkább azt mond meg, hogy ha a Re szám megegyezik, akkor miért hasonlók a viszonyok?

OLVASÓ Azért, mert a Reynolds-szám fejezi ki a tehetetlenségi erő és a viszkózus erő viszonyát. Azok a rendszerek, amelyekben az erőhatások hasonlók, az erő okozta változások is hasonlóak lesznek.

SZERZŐ Más erő talán nem befolyásolja az áramlási viszonyokat?

OLVASÓ Dehogynem! A gravitációs erő pl. minden áramló folyadékra hat, csak gyakran elhanyagolhatjuk a hatását. Nem így van?

SZERZŐ Egyelőre engedd meg, hogy ne válaszoljak, hanem tovább kérdezzek! Minden műszaki folyamatra meg tudod mondani, hogy melyek azok a hasonlósági kritériumok, amelyeket két rendszer hasonlósága esetén figyelembe kell venni?

OLVASÓ Azokra, amelyekkel rendszeresen foglalkozom, természetesen igen, de minden hasonlósági kritériumot nem ismerhetek.

SZERZŐ Nehéz is lenne! Csak példaként (vagy inkább elrettentő példaként) említem, hogy az "Industrial and engineering chemistry" c. folyóirat 1966. márciusi számában egy összeállítás jelent meg az irodalomban fellelhető hasonlósági számokról. Bár az összeállítás korántsem teljes, mégis kereken 210 hasonlósági számot közöl, ábécé sorrendben! Ebből kiválasztani az éppen aktuális, megfelelő számokat … ?!

OLVASÓ Ismét zavarba hozol! Ezek szerint a hasonlósági kritériumok nem hasonlósági törvények?

SZERZŐ Semmi esetre sem a kritériumok a törvények, ezek legfeljebb csak a hasonlósági törvényből levezetett változócsoportok. Vissza kell térnünk tételünkhöz: "Két rendszer hasonlóságának szükséges és elégséges feltétele, hogy a folyamat belső törvényszerűségeit leíró differenciálegyenletek és az egyértelműségi feltételek egymásba - kölcsönösen egyértelműen - áttranszformálhatók legyenek."

OLVASÓ Hogyan kapunk ebből hasonlósági kritériumokat?

SZERZŐ Bocsánat, de mit nevezel hasonlósági kritériumoknak?

OLVASÓ A fizikai mennyiségek olyan komplexumát, amelynek számértéke a modellben és az eredetiben meg kell, hogy egyezzen. Vagy talán szerinted nem léteznek ilyen számok?

SZERZŐ Dehogynem! De először is tisztázzuk, hogy csak ott lehet róluk beszélni, ahol a két rendszeren belül érvényesülő fizikai törvények egyenletei hasonlók.

OLVASÓ Ezt már tisztáztuk! Ez elengedhetetlenül szükséges a hasonlósághoz.

SZERZŐ Vegyünk egy példát! Legyen az egyik rendszer folyamatát jellemző összefüggés a Fourier-egyenlet (egyszerűség kedvéért egydimenziós alakban):

a másik rendszeren belüli folyamatot pedig írja le a Fick-egyenlet:

Könnyen belátható, hogy amikor a két rendszer megfelelő pontjai és időpontjai között

kapcsolat van, és minden pontra fennáll a megfelelő fizikai változók közötti állandó arány

akkor a két rendszer hasonló egymáshoz.

OLVASÓ Ismét a fordított utat követjük: ha van ilyen arány, akkor hasonló…

SZERZŐ Várj egy percre! Fordítva is igaz: ha hasonló, van ilyen arány!

OLVASÓ Na és, mi következik ebből?

SZERZŐ Helyettesítsd be az egyik (mondjuk a Fick-) egyenletbe a másik egyenlet megfelelő változóit, a hozzájuk tartozó c arányossági tényezőkkel szorozva.

OLVASÓ Ez egyszerű. Mivel

így tehát:

SZERZŐ A c-k mind az időtől, mind a helytől függetlenek. A differenciálási művelet alól tehát kiemelhetők:

Ez még mindig a Fick-egyenlet! De ha a két zárójeles kifejezés egyenlő egymással, velük végigoszthatunk.

OLVASÓ Hiszen akkor a "maradék" azonos a Fourier-egyenlettel!?

SZERZŐ Pontosan ezt akartuk: a két egyenlet egymásba transzformálhatóságát kerestük, mivel ez szükséges két jelenség hasonlóságához. Annak feltétele, hogy a Fick-egyenletből a Fourier-egyenletet kapjuk, a

egyenlőség. Ezt (ill., más folyamatok esetében az ezzel analóg összefüggést) feltételi egyenletnek nevezzük.

OLVASÓ Hogyan kapunk ebből fizikai változók közötti kapcsolatot?

SZERZŐ Redukáljuk az egyenletet 1-re, majd írjuk vissza a c-k helyére azokat a mennyiségeket, amelyek arányosságát kifejeztük:

Válasszuk szét a Fourier-, ill. a Fick-egyenlethez tartozó változókat:

OLVASÓ A jobb oldalt ismerem, ez a Fourier-szám, amely hasonlósági kritérium.

SZERZŐ A baloldal pedig a Fick-szám. Azonban egyik sem hasonlósági kritérium! Eddig csak annyit mondtunk, hogy ha hasonló a két rendszer, akkor… Vagyis akkor a Fick- és a Fourier-szám megegyezik. Ez tehát a hasonlóság következménye.

OLVASÓ De hiszen az előbb feltételi egyenletekről beszéltél. Nem ez a feltétele a hasonlóságnak?

SZERZŐ Feltétele, mégpedig szükséges feltétele. Abban az értelemben, hogy a két rendszer belső törvényszerűségeit leíró egyenletek között kell, hogy ilyen kapcsolat legyen. Másként hasonlóságról szó sem lehet. De ugyanannak az egyenletnek is lehetnek különböző megoldásai.

OLVASÓ Már tárgyaltunk erről! Az egyértelmű megoldáshoz még az egyértelműségi feltételek ismeretére is szükség van.

SZERZŐ Ezeket ugyanúgy transzformálva, mint az alapegyenleteket, ugyancsak feltételi egyenleteket kapunk. Pl. ha a Fourier-, ill. a Fick-egyenlethez tartozó feltételek:

ill.

alakúak, az előbbivel teljesen analóg módon (a c arányossági tényezők segítségével) olyan feltételi egyenletet kapnánk, amely

megegyezést írja elő.

OLVASÓ Ez a Nusselt- vagy Biot-szám.

SZERZŐ Amely már valóban hasonlósági kritérium. Ennek betartása nélkül nem lesz hasonló az egyik rendszer hőmérsékleteloszlósa a másik tömegsűrűség-eloszlásával.

OLVASÓ Így tehát csak az utóbbit, az elegendő feltételt kifejező változócsoportokat nevezhetjük hasonlósági kritériumnak? És mi a másik típus neve?

SZERZŐ Hasonlósági invariáns. Pontosabban: bizonyos változócsoportok a hasonlósági transzformációval szemben invariánsak. Ezeket (általában) hasonlósági invariánsnak nevezzük. A hasonlósági kritérium is invariáns (értéke az egymáshoz hasonló rendszerek esetében megegyezik), de ezt az invarianciát nekünk kell biztosítani. Nemcsak egyszerű elnevezésbeli különbségről van szó. A kritérium (jelöljük π-vel) azonos számértéke a hasonlóság feltétele. Az invariáns (jelöljük P-vel) azonos számértéke a hasonlóság következménye. Szemléletesen hasonlósági (vagy dimenzió nélküli) független (π) és függő (P) változónak nevezhetjük őket. A kritériumban csak olyan fizikai mennyiség szerepelhet, amely az egyértelműségi feltételekben is megtalálható. A kísérletező csak ezek értékét tudja változtatni.

OLVASÓ Értem! És attól függően, hogy ezeket milyen értékre állítja be, változik a rendszeren belül a függő változók (invariánsok) számértéke.

SZERZŐ A hasonló rendszerekben éppen ez a dimenzió nélküli függő és független változók közötti kapcsolat teszi lehetővé, hogy az egyik rendszerben mért eredményt a másikra átszámítsuk, A

függvénykapcsolat ugyanis "univerzális", minden, egymáshoz hasonló rendszerre érvényes összefüggést ad.

OLVASÓ Ez nagyon csábító, de ily módon nem lehet valami egyszerű feladat a hasonlóság felismerése. Hiszen még annyi előnyünk sincs, hogy ugyanazon fizikai jelenséget válasszunk modellnek, nem is beszélve a geometriai hasonlóságról.

SZERZŐ Te ezt előnynek nevezed? Akkor használd fel! Ugyanazon fizikai jelenségekre biztos, hogy ugyanolyan törvények érvényesek. De nem gondolod, hogy ezzel nagyon leszűkíted azt a területet, amelyből modelledet kiválaszthatod?

OLVASÓ Ez igaz, jobb lenne néha szélesebb választékkal rendelkezni, hogy a legolcsóbb, leggyorsabb eredményre vezető kísérleti objektumot kiválaszthassuk. De az ember mégis biztosabban mozog a saját szűkebb szakterületén, s más ágazatokra vonatkozó egyenleteket legfeljebb csak az egyetemi tanulmányaiban hallott.

SZERZŐ Drága Barátom! Minden eddigi beszélgetésünkben azt igyekeztem Neked bizonyítani, hogy a "más ágazatokra vonatkozó egyenletek" sem különböznek alapjaiban a "Te ágazatodra" vonatkozó egyenletektől. Valamennyi az extenzív tulajdonságokra vonatkozó mérlegegyenletekre épül fel.

OLVASÓ Ezek szerint bármely műszaki folyamatot modellként használhatok?

SZERZŐ Feltéve, hogy a megfelelő egyértelműségi feltételeket is biztosítani tudod! A fizikai világ egysége önmagában szinte "tálcán kínálja" a különböző folyamatok közötti hasonlóság felismerését. A hasonlósági módszer segítségével találhatod meg a feladatoddal analóg problémák megoldását. A szakirodalomból a hasonló jelenségek, berendezések kiválasztását nem "érzés alapján", nem a formai hasonlatosság vagy a hasonló technológiai cél alapján kell kiválasztani; a kritérium: a matematikai modell megegyezése. Ily módon már számtalan technikai eredmény született.

OLVASÓ Ez egybevág azokkal a tanácsokkal, amelyeket PÓLYA ad a feladat megoldásához.

SZERZŐ Ezért is idéztem. De ne feledd PÓLYA befejező tanácsát sem: Vizsgáld meg alaposan a megoldást. Ne feledd, hogy minden tanulmányunk, minden feladatmegoldásunk kontrollja a gyakorlat. Mindaz, amiről beszéltünk vázlatos, talán, több helyütt hiányos is volt. A cél: olyan szemléletmódot kialakítani magunkban, amely a gyakorlati munkát könnyebbé és eredményesebbé teszi. Nincs olyan receptkönyv, mely minden kérdésünkre választ ad. De talán egy porszemnyit segít majd - nem az, amiről beszéltünk, hanem - az ahogyan tárgyaltuk témáinkat. Kérlek, ne haragudj, ha helyenként türelmetlen voltam vagy szavaim nem voltak eléggé meggyőzők. Befejezésül olvasd még el levelem!


Vissza a tartalomjegyzékhez Levél az Olvasóhoz



Háromdimenziós feladat esetében természetesen nem izogörbék, hanem izofelületek értendők.