Tizenötödik beszélgetés

Megoldási módszerek

Igazán segítő, igazán művelő csak úgy lehet a tanítás,
ha nem szorítkozik ismeretek közlésére, hanem amellett arra törekszik, hogy alapját vesse annak a gondolkodásmódnak, amelyet ma természettudományi gondolkodásnak szoktak nevezni.
EÖTVÖS LORÁND
OLVASÓ Ahogyan időnk engedte, elég sok kérdésről beszélgettünk. A viszonylag rövid idő alatt is szinte megszokottá vált a folyamatok rendszerszemlélete. Kézenfekvőnek látszik, hogy egy-egy témakör vizsgálatát a kölcsönhatások meghatározásával, a jellemző extenzív mennyisének számbavételével kezdjük. Meggyőző volt - legalábbis számorvra - az, ahogy az egyes témakörök leíró alapegyenleteit az általános transzportegyenletből levezettük. Ez a módszer alkalmas arra, hogy könnyebben rendszerezzük ismereteinket. Ezt a rendszerező elvet, amelyet a XX. század fizikájának köszönhetünk, érdemes a műszaki tudományokban is felhasználni.

SZERZŐ Túlzás lenne mindezt csak a XX. század eredményeként elkönyvelni. A XIX. század egyik legnagyobb fizikusa, Maxwell mondta 1870-ben: "Különböző tudományokban figyelhetjük meg, hogy a változók rendszere, az őket összefűző matematikai kapcsolat ugyanaz, tekintet nélkül arra, hogy a folyamatok fizikailag igen különbözők." Idézhetnénk a fizika szinte valamennyi nagy tudósát, hiszen Galilei és Newton óta egyre tisztábban fogalmazódik meg matematikailag is a fizikai világ egysége. EINSTEIN egyik ragyogó cikkében (Physik und Realität) mutatja meg, hogy a tudomány fejlődése nemcsak az ismerethalmaz növekedését jelenti (napjainkban előszeretettel csak erre az oldalra hivatkoznak!), hanem az alapelvek és alapösszefüggések számának csökkenését is. Sajnos a műszaki tudományok terén különösen gyakori, hogy a fejlődésnek ezt az utóbbi jellegzetességét figyelmen kívül hagyják. Sokszor a részletekbe való elmerülés, a "mindenre kiterjedő" oktatás fáitól nem jut idő arra, hogy megismerjük az erdőt. Pedig hiába rendelkezik valaki nagy lexikális ismeretanyaggal, ha nem tud rendszerezetten, önállóan gondolkodni. E nélkül még a szűkebb szakterületen sem képes tájékozódni. Eötvös Loránd hangsúlyozza, hogy a "gondolkodásbeli önállóságot nem adhatja meg a gyakorlati szabályok sokasága". A rendszerezett tudásanyag nélkül könnyen válhat az ember olyan áltudóssá, akiről Eötvös mély megvetéssel írja, hogy "hasonlítanak a tormába esett féreghez, amely nem tud mit csinálni, mihelyst az ismert területről eltévedt".

OLVASÓ Ez kicsit erős kifejezés, dehát "akinek nem inge…" Beszélgetéseink elején talán túlzásnak éreztem volna ezeket az idézeteket, de most már világosan látom, hogy e rendszerezési elvek olyan alapot adnak, amely igen sok - bizonyára a tárgyaltnál lényegesen több - műszaki folyamat leírását megkönnyíti. Az általános mérlegegyenletek ismeretében már simán, szinte sematikusan megkapjuk egy-egy vizsgált jelenség konkrét összefüggéseit.

SZERZŐ Erről sajnos szó sincs! Már megint átestél a ló túlsó oldalára? Amiről eddig beszéltünk, az "csak" a folyamatot leíró differenciálegyenletek megfogalmazását jelenti és nem a "konkrét összefüggéseket". ennyire azért nem egyszerű az élet! Az elmélet nem ad kész recepteket. Ennyiben igaza van Goethe Mephistójának: "Szürke minden elmélet barátom, de zöld az élet aranyfája." A konkrét összefüggésekig még hosszú út vezet és ez már a speciális szakterületek feladata. Külön kell eldönteni, hogy milyen extenzív tulajdonságokat kell figyelembe vennünk, milyen alakúak az egyenlet forrástagjai, a differenciálegyenletekhez tartozó egyértelműségi feltételek. Ezzel együtt is még csak ott tartunk, hogy megfogalmaztuk a feladatunkat - igaz, hogy a lehető legpontosabban, de mégis csak fogalmazás és nem megoldás! Az ún. műszaki összefüggések viszont éppen a feladat megoldását jelentik.

OLVASÓ "A feladat megfogalmazása már félig a feladat megoldása." A felén tehát már túl vagyunk.

SZERZŐ Ez igaz, a felén már túl vagyunk, de a nehezén még nem. A megoldás nem olyan egyszerű. Komoly szakértelem kell a műszaki feladatok megoldásához. Milyen feladatokról lehet egyáltalán szó? Három típust különböztetünk meg.
Az I. típusban: ismerjük a folyamatot leíró egyenleteket, az egyértelműségi feltételekkel együtt és keressük ennek megoldását. Adva van tehát egy műszaki rendszer (ezt jellemzik az egyértelműségi feltételek) és ismertek a rendszerben végbemenő folyamat törvényei (ezt írják le a differenciálegyenletek). Keressük a rendszer "viselkedését", a különböző fizikai mennyiségek idő- és hely szerinti változását (ezt jelenti az egyenletrendszer megoldása); vagyis kíváncsiak vagyunk arra, hogy adott feltételek mellett hogyan működik majd a rendszer. Az ilyen típusú feladatot direkt feladatnak nevezzük.

OLVASÓ Már megszoktam kissé absztrakt stílusodat és így sikerült szavaidból kihámoznom, hogy lényegében ismert feladatopusról van szó. Ilyent kell megoldania üzemeltető mérnöknek (aki kész berendezésekkel és feltételekkel dolgozik) és azoknak is, akik pl. egy-egy új géptípus, műszaki berendezés minősítő vizsgálatát végzik.

SZERZŐ A II. feladattípus esetén is ismerjük a folyamatot leíró egyenleteket, de az egyértelműségi feltételeket már nem. "Ehelyett" adott a fizikai változók idő- és hely szerinti változása. Keressük azokat az egyértelműségi feltételeket, amelyekkel a leíró egyenletek éppen ilyen (előírt) megoldást szolgáltatnak. Ez az indirekt feladat. Nehogy megint absztrakcióval vádolj: Lényegében arról van szó, hogy valamilyen természettörvényt (ill. törvényeket) céljaink érdekében fel akarunk használni. Céljaink világosak: a tervfaladat előírja, hogy milyen viselkedésű gépre, berendezésre van szükségünk. A feladat az, hogy megtaláljuk azokat a feltételeket (a gép alakjának, környezetével való kölcsönhatásának, a gépben alkalmazott munkaközegnek általunk megszabható jellemzőit), amelyek mellett a folyamat az előírt irányban, sebességgel, hatásfokkal megy végbe.

OLVASÓ Ez inkább a tervezőmérnök feladattípusa. Nem?

SZERZŐ Azért gyakran előfordul ilyen feladat az üzemmérnök praxisában is, különösen amikor egy meglevő berendezés átalakításáról, egy előírt technológiai cél biztosításához szükséges anyagok, eszközök, berendezések és üzemeltetési feltételek kiválasztásáról van szó. Végül a III. típus: az induktív feladat, ill. az ún. folyamat-identifikáció. Rendelkezésünkre áll egy sor mérési adat, különböző peremfeltételek mellett. Feladatunk ebből azt megmondani, hogy milyen a végbemenő folyamat, ill. az azt leíró törvény matematikai alakja. Vagyis: nem tudjuk előre megmondani, hogy milyen folyamat megy végbe a berendezésen belül, csak arról van adatunk, hogy a különböző külső hatásokra hogyan reagál rendszerünk. Ebbe a feladattípusba tartozik az ún. "black-box" probléma is.

OLVASÓ Ez tehát az automatizálás, a folyamatszabályozás területére tartozik?

SZERZŐ Az automatizálásban valóban elterjedt ez a feladattípus, de erről van szó minden olyan esetben, amikor bonyolult műszaki rendszerek dinamikai jellemzésére van szükség. Nem beszélve arról, hogy egy-egy újabb természettörvény felfedezése is ilyen feladat megoldását jelenti. Vázlatosan az ábrán láthatod a három feladattípus jellemzőit. Mi csak az első két típussal foglalkozunk.

És itt egy pillanatra álljunk meg! "Hogyan oldjuk meg feladatunkat?" - ez a kérdés mindenki számára izgató, a kisiskolástól az akadémikusig. PÓLYA GYÖRGY, az Amerikában élő világhírű magyar matematikus több könyvében foglalkozik a problémamegoldással. Olvassunk el együtt egy részt "A gondolkodás iskolája" c. műből. Szórakoztató és hasznos lesz számunkra is.



PÓLYA Ismerkedj meg a feladattal

Miből induljak ki? Indulj ki abból, mit mond a feladat.

Mit tegyek ezután? Képzeld magad elé a feladatot a maga egészében, oly világosan és elevenen, ahogyan csak tudod. Pillanatnyilag ne foglalkozz a részletekkel.



OLVASÓ Részletek nélkül mire megyek az "egésszel"?

SZERZŐ Megfordítva: az egész nélkül mire jutsz csak a részletekkel. Amíg nincs önálló elképzelésed a teljes feladatról, még az irodalomkutatás is tévútra vezethet. Elmerülhetsz a részletekben, vakvágányra futhatsz, esetleg éveket töltve improduktív munkával, ismeretek rendszertelen halmozásával. Ahogyan hipotézis nélkül nincs kísérlet, éppúgy koncepció nélkül elképzelhetetlen még a feladat megfogalmazása is. Olvassuk tovább!



PÓLYA Mit érek el ezzel? Megérted a feladatot, megbarátkozol vele, agyadba vésed a kitűzött célt. A feladatra összpontosított figyelem ösztönzi az emlékezetet, segít felidézni az odavágó ismereteket.


SZERZŐ A feladat általános (verbális) megfogalmazása után jöhet a következő lépés:


PÓLYA Mélyedj el a feladat megértésében

Miből induljak ki? Indulj ki ismét magából a feladatból. Legyen ez most már olyan világos előtted, legyen annyira emlékezetedbe vésve, hogy ha egy időre el is veszíted szem elől, akkor se kelljen félned attól, hogy végleg eltűnik.

Mit tegyek ez után? Bontsd szét a feladatot fő részeire … Menj végig gondolatban a feladat fő részein, vizsgáld meg egyiket a másik után, gondold végig őket sorjában, különböző kombinációkban, minden részletet a többihez és a feladat egészéhez viszonyítva.

Mit érek el ezzel? Előkészíted és világossá teszed azokat a részleteket; amelyek a későbbiekben bizonyára szerepet fognak játszani.



SZERZŐ Úgy is mondhatnánk: készítsd el a faladat rendszersémáját, matematikai modelljét és határozd meg a részrendszereket és azok kapcsolatát. Ilyenkor önkénytelenül is észreveszed, hogy a magad vagy mások által már korábban megoldott feladatok között vannak a jelenlegi feladathoz hasonlók. Ennek ismeretében…


PÓLYA Nézz hasznos ötlet után

Miből induljak ki? Indulj ki a feladat fő részeinek vizsgálatából. Legyenek ezek most már - előbbi munkád eredményeképpen - kellően elrendezve, világosan előtted, hogy bármikor felidézhesd őket.

Mit tegyek ezután? Vedd szemügyre a feladatot több oldalról és keress kapcsolatokat korábban szerzett ismereteiddel.

1. Vedd szemügyre több oldalról a feladatot. Helyezd a hangsúlyt a feladat más-más részeire, vizsgáld meg az egyes részleteket, mindegyiket többször is, de különböző módokon; kombináld őket többféleképpen. Mindig új és új oldalról közelítsd meg őket. Próbáld új felfogásban nézni az egyes részleteket, próbálj új köntöst adni az egész feladatnak.

2. Keress kapcsolatokat korábban szerzett ismereteiddel. Gondolj arra, hogy hasonló helyzetekben mi volt segítségedre a múltban. Próbálj felfedezni a vizsgált anyagban valamilyen ismert részletet, próbálj meglátni a felismert részletben valami hasznosat.

Mit kell hát meglátnom? Hasznos ötletet, esetleg döntő gondolatot, olyat, amely egyszeriben megmutatja a célhoz vezető utat.

Hogyan lehet hasznomra egy ötlet? Úgy, hogy teljes egészében vagy legalább részben megmutatja a követendő utat; többé-kevésbé határozottan rávezet arra, hogyan kell továbbhaladnod. Az ötletek hol teljesebbek, hol kevésbé teljesek. Ha bármilyen ötleted jön, örülj neki, még ha csak részletötlet is.

Mit kezdjek egy részletötlettel? Vizsgáld meg alaposan. Ha megéri, hosszabb ideig is foglalkozz vele. Ha megbízhatónak látszik, állapítsd meg, meddig juthatsz el vele, és gondold át újra a helyzetet. Minden valamirevaló ötlet megváltoztatja az eredeti helyzetet. Vedd szemügyre az új helyzetet több oldalról, és keress kapcsolatokat korábban szerzett ismereteiddel.

Mit érek el ezzel? Ha szerencséd van, új ötletre juthatsz. Lehet, hogy az új ötlet egyenesen rávezet a megoldásra. Lehet, hogy még szükséged lesz néhány további ötletre. Lehet, hogy némelyik ötleted félrevezet majd. Mégis hálásnak kell lenned minden új ötletért, akkor is, ha jelentéktelen vagy homályos, akkor is, ha csak arra jó, hogy valamennyire is megvilágítson más homályos ötleteket, vagy hogy kevésbé szerencsés ötleteket kiegészítsen. Még annak is örülj, ha egy ideig nem támad ugyan semmiféle lényegesen új ötleted, de a feladatról alkotott képed tökéletesebbé vagy összefüggőbbé, egységesebbé vagy kiegyensúlyozottabbá válik.



SZERZŐ Egy mondatban: addig "pofozd" a feladatot, amíg a megoldásra alkalmassá nem válik. Csak így tudod összeállítani a megoldás egyes lépéseinek tervét. Itt azonban nem állhatunk meg!


PÓLYA Hajtsd végre tervedet

Miből induljak ki? Indulj ki abból a szerencsés ötletből, amely a megoldást megmutatta. Akkor indulj ki, amikor már eléggé biztos vagy benne, hogy megragadtad a lényeges összefüggést, és bízol abban, hogy boldogulni tudsz az esetleg felmerülő kisebb részletkérdésekkel.

Mit tegyek ezután? Ne engedd ki markodból a megoldást. Végezd el részletesen mindazon … műveleteket, amelyekről úgy gondolod, hogy nehézség nélkül végrehajthatók. Győződj meg minden lépés helyességéről akár formális igazolással, akár induktív belátással, akár mindkettővel, ha ez lehetséges. Ha nagyon bonyolult a feladatod, megkülönböztethetsz "nagyobb" és "kisebb" lépéseket; a nagyobb lépések több kisebből állnak. Ellenőrizd először a nagyobb lépéseket, s csak azután térj rá a kisebbekre.

Mit érek el ezzel? Úgy kapod kézhez a megoldást, hogy minden egyes lépése kétségtelenül hibátlan.



OLVASÓ Szellemes "receptje" a feladatmegoldás egyes lépéseinek. Minden mondata megérdemli, hogy alaposan emlékezetbe idézzük.

SZERZŐ Még nem fejeztük be. Kezedben van ugyan a megoldás, de…



PÓLYA Vizsgáld meg a megoldást

Miből induljak ki? A minden részletében teljes és hibátlan megoldásból.

Mit tegyek ezután? Vedd szemügyre több oldalról a megoldást, és keress kapcsolatokat korábban szerzett ismereteiddel. Vizsgáld meg a megoldás egyes részeit, és próbáld meg annyira egyszerűsíteni őket, amennyire csak lehet; vizsgáld meg a megoldás hosszabb részeit is és próbáld lerövidíteni őket; próbáld átlátni egyetlen pillantásra az egész megoldást. Próbáld meg előnyösen megváltoztatni a megoldás rövidebb-hosszabb részeit, próbáld tökéletesíteni, szemléletessé tenni a megoldást, próbáld a lehető legtermészetesebben beleilleszteni korábban szerzett ismereteidbe. Vizsgáld meg alaposan azt a módszert, amely rávezetett a megoldásra, próbáld felfedezni lényegét és felhasználni más feladatok megoldására is. Vizsgáld meg alaposan az eredményt, és ezt is próbáld felhasználni más feladatok megoldására.

Mit érek el ezzel? Új és jobb megoldásra bukkanhatsz, és érdekes tényeket fedezhetsz fel. Ha szokásoddá válik, hogy megoldásaidat ilyen módon átnézed, és alaposan megvizsgálod, rendezett és jól használható ismeretekre teszel majd szert, fejleszted feladatmegoldó készségedet.



SZERZŐ Most vagyunk a végén! Foglaljuk össze a feladat-megoldás főbb lépéseit:
1. A feladat verbális megfogalmazása.
2. Matematikai megfogalmazás
3. Átalakítás a megoldásra alkalmas formára.
4. A megoldás szabályainak (mondhatnánk: algoritmusának) rögzítése.
5. A terv végrehajtása.
6. A megoldás ellenőrzése.
Ezeket a lépéseket általáros érvényűnek tekinthetjük, függetlenül a megoldás módszerétől.

OLVASÓ Ezt PÓLYA szavára elfogadom, de a Te kiegészítésedre nem. Amikor algoritmusról beszéltél, közvetve a matematikai megoldásra utaltál.

SZERZŐ Nem így van! Sain leírja, hogy maga az algoritmus név az i. e. 800 körül élt MUHAMED IBN MUSA AL-CHVARIZMI egyik könyvének De Numero Indorum (A hindu számokról) latin fordításban maradt ránk. Ebben a szerző feltehetően Brahmagupta (598-660, indiai matematikus) művére támaszkodva ismerteti a helyi értékes 10-es számrendszerű számírást és a vonatkozó műveleti szabályokat. A latinra fordítás felületessége miatti szótorzítás következtében a könyv címe előtt szereplő szerző neve Al-Chvárizmiről algoritmusra változott. Napjainkban e szó értelme: "egy feladat megoldásához szükséges szabályok, műveleti utasítások és ezek alkalmazási sorrendjének megadása". Ily módon alkalmazhatjuk nemcsak matematikai, de más műveletekre is.
De térjünk vissza a feladatmegoldás módszerére. A műszaki fejlődés rohamos üteme közismert; állandó hangoztatása sokszor már frázisnak tűnik. A mindennapi mérnöki munkában sokszor ennek nagyon is "kézzelfogható" kihatásai vannak: állandóan csökken a feladatok átlagos átfutási ideje, szigorúbbakká válnak a biztonsági előírások, a műszaki követelmények. Gyorsuló ütemben növekszik a műszaki fejlesztésre fordított pénzügyi keret, de ennek ellenére (vagy éppen ennek következtében) fokozottabb körültekintés szükséges az anyagi eszközök helyes felhasználásához. A rendelkezésre álló műszerek, gépek és számítógépek mennyisége és értéke nő, ezzel nagyobb lehetőség nyílik az alkotó munkára, de arra is, hogy a nagy értékű eszközök nem kellően előkészített felhasználása idő- és pénzpazarláshoz vezessen. Mindez arra kényszeríti a mérnököt, hogy olyan módszereket keressen, amelyekkel a leggyorsabban, legmegbízhatóbban és leggazdaságosabban oldhatja meg feladatát.

OLVASÓ Ne írj elő maximalista követelményeket! Tudvalevő: valamennyi "leg" egyidejűleg nem teljesíthetd. A "leggyorsabb" pl. majdnem mindig nem a "legmegbízhatóbb" és ráadásul még költséges is.

SZERZŐ Minden mérnöki munka során - itt is - az optimumot kell keresni. Számolnunk kell a rendelkezésünkre álló anyagi és szellemi erők színvonalával is. Mindenképpen tisztázni kell azonban: Milyen módon lehetséges egyáltalán műszaki feladatot megoldani?

OLVASÓ Eddig általában matematikai leírásról beszéltünk. A matematikai modell ismeretében nyilván a megoldásra is matematikai módszerekkel lehet eljutni.

SZERZŐ Valóban kézenfekvőnek tűnik, hogy - direkt feladat esetében - a felírt egyenleteket a megadott egyértelműségi feltételek mellett integrálva kapjuk a megoldást. Nevezzük ezt a megoldás analitikus módszerének. Milyen lépései vannak az analitikus megoldásnak!

OLVASÓ A PÓLYA-könyv olvasásakor már felsoroltuk az egyes lépéseket:

1. A feladat verbális megfogalmazása.
2. A matematikai megfogalmazás.
SZERZŐ … amit most matematikai modellalkotásnak nevezünk.

OLVASÓ Ez természetes! A következő lépés:

3. Átalakítás a megoldásra alkalmas formára.
SZERZŐ Más szóval: transzformáció, ill. egyszerűsítés. Arról van ugyanis szó, hogy a felírt matematikai modell rendszerint nem alkalmas arra, hogy közvetlenül integráljuk, ezért előbb valamilyen (pl. Laplace-, Fourier- stb.) transzformációval át kell alakítani egyenleteinket. Az analitikus megoldás során igyekszünk "visszavezetni" feladatunkat olyan feladatra, amelynek megoldási lépéssorozata (az integrálás "algoritmusa") már ismert.

OLVASÓ Közismert, hogy a legtöbb műszaki folyamat annyira bonyolult, hogy a felírt (ill. áttranszformált) differenciálegyenlet-rendszer közvetlenül nem integrálható. Az analitikus megoldás ilyenkor csak olyan egyszerűsítésekkel lehetséges, amelyek érvényességét külön ellenőrizni kell. Az egyszerűsítések miatti közelítő megoldás - megfelelő kísérleti tapasztalatok nélkül - nem tekinthető "megbízható" megoldásnak.

SZERZŐ Ez igaz, de az analitikus megoldással mégis foglalkoznunk kell, mivel az így kapott függvénykapcsolatok - természetesen az egyszerűsítő feltételekkel együtt - adják az egyéb megoldási módszerek alkalmazásának alapját. Nem képzelhető el még kísérleti adatfeldolgozás sem anélkül, hogy ne lenne előzetes elképzelésünk a folyamatjellemzők közötti kapcsolat formájáról. Csak analitikus módszerek azonban a mérnök számára nem elegendők! Amikor az integrálás "nem megy", más módszereket is kell alkalmaznia. Ilyenek az ún. numerikus és a kísérleti módszerek.

OLVASÓ A numerikus módszer hétköznapi nyelven számításokat jelent. A mérnöki gyakorlatban mindennapos, hogy valamely rendszer jellemzőit számításokkal határozzák meg. Szigorúan véve minden feladat megoldásnak - végeredményében - összefüggéseket kell szolgáltatni.

SZERZŐ A numerikus megoldási módszerek közé azonban nem a tervezőmérnök (méretezési) vagy az üzemeltető mérnök (regisztráló vagy prognosztikai) számításait soroljuk, hanem azokat az eljárásokat, amelyekkel a rendszer matematikai modelljéből kiindulva direkt vagy indirekt feladatot oldunk meg.

OLVASÓ Tehát ugyanaz, mint az analitikus módszer, csak éppen a folytonos függvények helyett diszkrét értékű számokkal dolgozunk.

SZERZŐ A numerikus módszer lényegében azt jelenti, hogy a differenciálást vagy az integrálást algebrai összefüggésekkel helyettesítjük és az ezekkel végzett műveletek eredményeképpen kapjuk a megoldást. (Csak mint érdekességet jegyzem meg, hogy az algebra szó is a már említett Al-Chvarizmi másik könyvének, az "Aldzsebr Valmukabbala"-nak címéből ered!) A numerikus megoldás során a differenciálhányadost differenciahányadossal, az integrálást lépcsős görbe alatti terület kiszámításával helyettesítjük.

OLVASÓ Az eljárás rendkívül durvának tűnik, hiszen mind a függvénytől, mind annak deriváltjától "szemmel láthatóan" eltér az ilyen közelítés.

SZERZŐ Ha "tiszta" analitikus megoldás nem lehetséges, mindig közelítő módszereket kell alkalmaznunk. Látjuk majd, hogy a kísérlet is csak közelítő értékeket szolgáltat. A numerikus megoldás megbízhatósága részben a kiindulási matematikai modell pontosságától függ, részben attól, hogy milyen "osztást" vettünk fel. Mennél kisebb intervallumokra osztjuk függvényünket, annál több függvényértékkel számolunk. Ezzel ugyan csökkenthetjük a diszkretizálásból eredő hibát, de növeljük a számítások mennyiségét és ez újabb hibák forrása lehet.

OLVASÓ Ennek tudható be, hogy a komputerek megjelenéséig a numerikus módszerek jelentőségét sem ismerték fel kellőképpen?

SZERZŐ Azért elég sok területen alkalmazták, de természetes, hogy lényeges változást csak a nagysebességű digitális számítógépek megjelenése hozott, amelyek egy elemi műveletet napjainkban mikro-, ill. nanoszekundum nagyságrendű időtartam alatt végeznek el.
A numerikus számítások igen gondos előkészítő munkát igényelnek. Az után, hogy matematikai modellünket "programozható" modellé transzformáltuk (diszkrét értékekre tértünk át), össze kell állítani az elvégzendő számítások típusait (algoritmusát), egymással való kapcsolódásuk vázlatát (az ún. blokkdiagramot), majd meg kell írni a számítógép nyelvén a számítások programját.

OLVASÓ Itt is sorrendbe állíthatjuk a numerikus megoldás főbb lépéseit. A kezdet ismét:

1. A feladat verbális megfogalmazása.
2. A matematikai modell megalkotása. Ezután következik:
3. Diszkretizálás: a matematikai modell átalakítása numerikus megoldásra alkalmas formává.
4. Az algoritmus összeállítása.
SZERZŐ Ide tartozik még a blokkdiagram és a számítógépprogram, mint a feladatmegoldás terve. Ezután ("hajtsd végre a tervet", vagyis:) a program futtatása. Vedd figyelembe, hogy a számítógépek - mint a mérnöki munka segédeszközei - szinte átformálják használóikat is. A komputer szigorú kritikus: el sem fogad olyan szavakat, amelyek számára nem értelmezhetők (nem deklaráltak). A komputer nem gondolkodó, hanem gondolkodtató gép: Megköveteli, hogy szigorúan logikus sorrendben végiggondoljuk a feladatot, a megoldás minden egyes lépését. Szolgaian végrehajt minden utasítást, olyat is, amely fizikailag esetleg értelmetlen. Rosszul elkészített program esetén órákon keresztül számol anélkül, hogy értelmes eredményt adna. A számítógép nem mér helyettünk. Nem képes arra, hogy ismeretlen fizikai jellemzők (pl. vezetési tényezők) számértékét meghatározza. Mindebből következik, hogy sohasem válhat a komputertechnika a feladatmegoldások egyetlen módszerévé. Mindig szükség lesz a mérnöki kísérletekre is.

OLVASÓ Azért, hogy mérési adatokat szolgáltasson a komputernek.

SZERZŐ Ezért is! De gyakran maga a kísérlet jelenti a feladat megoldását. Egyszerűen arról van szó, hogy egyes esetekben nemcsak az analitikus, de a numerikus módszerek sem alkalmasak (önmagukban) a feladat megoldására.

OLVASÓ Helyben vagyunk! Az egész eddigi matematizálás, a transzportegyenletek, az egyértelműségi feltételek, maga a matematikai modell csak arra jó, hogy az elméleti rendszerezést elősegítse. Mégis csak igazam volt: a gyakorlatban úgyis mérésekkel kell a mérnöki feladatok többségét megoldani. Próbálgatásokkal addig változtatunk a kísérleti berendezésen, amíg a mérések nem adnak elfogadható eredményeket.

SZERZŐ Ide figyelj, ne kezdjük elölről! Először is: a próbálgatás még nem kísérlet. A csecsemő próbálgathatja, hogy a csörgő ehető-e. A kezdő háziasszony is próbálgathatja, hogy tud-e ehetőt főzni. De ha nem akar hónapokig kozmás, agyonsózott vagy éppen ízetlen ételeket tálalni férjének, akkor igénybe kell vennie a szakácskönyvet vagy anyósának tanácsait.

OLVASÓ Ne gúnyolódj, nem így értettem a próbálgatást! Mérésekkel ellenőrzött változtatásokról beszéltem.

SZERZŐ Ez sem jobb. A mérés még nem kísérlet! NÉMETH László írja Galilei kísérletező szelleméről, hogy "az elébe kerülő jelenségeket apró problémákra bontva kérdéseivel válaszra kényszeríti". A kísérlet nem képzelhető el előzetes elméleti vizsgálatok nélkül. A kísérlet: megfelelő elméleti megalapozás után kialakított elgondolás, következtetés helyes vagy helytelen voltának mérésekkel való ellenőrzése. A kísérlet eredményeként is a függő és a független változók közötti függvénykapcsolatot kapjuk.

OLVASÓ Szerinted a mérés (a kísérlet) is integrálás, a matematikai modell megoldását jelenti?

SZERZŐ Igen, de van (többek között) egy - számunkra igen lényeges - különbség az analitikus (vagy numerikus) integrálás és a mérések szolgáltatta megoldás között. Az előbbiek ugyanis a független változók minden értékéhez a függő változó adott értékét, számhoz számot (általában számokhoz számokat) rendelnek. Úgyis mondhatnánk, hogy a megoldás "pontszerű". A mérés során ilyen "pontszerűséget" soha sem kaphatunk. Ezt pedig már jóval a kísérletek megkezdése előtt figyelembe kell venni. A vizsgálandó jelenségre és magára a mérésre ható véletlenszerű zavaró hatások miatt ugyanis csak abban lehetünk biztosak, hogy a mért értékek valamilyen (kis) környezetén belül helyezkedik el a valódi érték. A mérés eredményeként tehát olyan kapcsolatot kapunk, amely a függő változó valamely értékintervallumát rendeli a független változók valamely értékintervallumához. Úgyis mondhatnánk, hogy a megoldás "foltszerű". Elvileg hibás lenne a kísérlettől valamely szabályos függvénygörbén pontosan elhelyezkedő pontokat várni. A folyamat sztochasztikus jellege ismeretében nem ér váratlanul a mérési adatok szórása.

OLVASÓ A tapasztalt mérnöknek ezzel nem mondtál semmi újat. A jó mérnök szinte "megérzi", hogy milyen módon szervezheti meg és értékelheti legjobban kísérleteit.

SZERZŐ  Sajnos a kísérletek előkészítéséhez nem elegendő a műszaki érzék, a nagy gyakorlati tapasztalatokon alapuló szubjektív ítélet és az intuíció sem. Előre tudnunk kell, hogy következtetéseink megbízhatóságához mely jellemzőket, hányszor kell mérnünk. Oly módon kell meghatároznunk a mérési beállításokat és a mérések számát, hogy a lehető legkisebb költséggel a lehető legtöbb információhoz jussunk. Ehhez is matematika szükséges: a matematikai statisztika és a hasonlósági módszer. A matematikai statisztika szerepe a kísérleti megoldásban kettős: passzív és aktív. A passzív szerep: a meglevő mérési adatok értékelése. Az aktív szerep: a mérési program összeállítása és a mérések "irányítása", optimalizálása. A matematikai statisztika azon fejezetét, amely ezt a kettős szerepet ellátja, kísérlettervezésnek nevezik. A korszerű kísérlettervezés a matematika segítségével fogalmazza meg a kísérlet feladatait, készíti el a kísérletek programját, dolgozza fel (értékeli) a kísérleti eredményeket, módosítja (szükség esetén) a kísérleti programot a közbenső szakaszokban, és végül meghatározza az adott kísérletből levonható következtetéseket. A hasonlósági módszer pedig abban nyújt segítséget, hogy a kísérletek eredményeit egymástól látszólag eltérő rendszerekre is kiterjeszthessük.

OLVASÓ A kísérletek tehát lehetővé teszik, hogy meghatározzuk a fizikai változók közötti függvénykapcsolatot olyan esetekben is, amikor a matematikai modell matematikai (analitikus vagy numerikus) módszerrel nem oldható meg.

SZERZŐ A kísérleti módszerre is vonatkozik - némi módosítással a Pólya-féle hat szakasz:

1. A feladat verbális megfogalmazása.
2. A matematikai modell megalkotása.
3. A matematikai modell hasonlósági transzformációja, a kísérleti objektum gazdaságos kiválasztása és a megoldás általánosítása érdekében.
4. A kísérleti program (kísérleti terv) összeállítása.
S. A kísérletek lefolytatása és értékelése. A megoldást jelentő összefüggés meghatározása.
6. A megoldás ellenőrzése.
És ezzel be is fejeztük a megoldási módszerek elemzését, bár nem szóltunk olyan lényeges momentumokról, mint pl. a különböző megoldási módszerek kombinációja. Dehát - miként VOLTAIRE mondja -, "ha mindent elmondunk, unalmasakká válunk".

OLVASÓ Legalább a hasonlósági módszerről mondj még egy-két szót, mert ezt eléggé sommásan intézted el!

SZERZŐ Szánjunk erre egy külön beszélgetést, ennyit azért megérdemel.


Vissza a tartalomjegyzékhez Következő  beszélgetés



Sain Márton: Nincs királyi út! Gondolat, Budapest, 1986. 388. old.