Tizenharmadik beszélgetés

Az elektrodinamika

A természet a legkülönbözőbb dolgokat ugyanazon terv szerint építi fel; ahogy az analitikusok szenvtelenül mondják: ugyanazon differenciálegyenletek érvényesek a legkülönbözőbb jelenségekre.
BOLTZMANN
OLVASÓ PEIERLS könyvének "Az elektromosság és mágnesesség" című fejezetét a következőkkel vezeti be: "Az elektromos és mágneses jelenségek leírása képzelőerőnket jóval nagyobb feladat elé állítja, mint a mechanika. A testek mozgását láthatjuk, az erők hatását érezhetjük, viszont az elektromosság és a mágnesesség rendszerint nem közvetlenül hat érzékszerveinkre. Igaz ugyan, hogy mélyreható élményünk lesz az elektromosságról, ha ujjunkkal az elektromos hálózat drótvégződéseihez érünk, de ez nem nagyon alkalmas módja az áramkörök tanulmányozásának."

SZERZŐ Pedig, ha azokra hallgatnánk, akik pl. a hőtan tárgyalását csak úgy tudják elkezdeni, hogy "a hőmérséklet fogalma hőérzeteinkben gyökerezik", ill. "a testek hőmérsékletét szubjektív módon közvetlenül tapintással is észlelhetjük", az elektromosságtant is úgy kellene elkezdeni, hogy "az elektromos potenciál fogalma villamos érzeteinkben gyökerezik", ill. "az elektromos potenciált szubjektív módon közvetlenül tapintással is észlelhetjük".

OLVASÓ Ez a hasonlat nagyon sántít! Először is: Az elektromos potenciált nem tehet érzékelni, csak a potenciálkülönbséget, a feszültséget. Másodszor: a hőmérséklet érzékelése - az elektromos feszültséggel szemben veszélytelenebb, mivel nem mondható el róla, hogy fiziológiai elváltozásokat okozhat, sőt halálos következményekkel járhat.

SZERZŐ Ugyanezt állítanád akkor is, ha történetesen 1000 °C hőmérsékletű test hőmérsékletét akarnád "érzékelni"?

OLVASÓ Az ilyen nagy hőmérséklet természetesen veszélyes!

SZERZŐ És ha csak néhány Volt feszültséget kellene érzékelned?

OLVASÓ Látod, itt van a nagy eltérés: nem maga a feszültség a veszélyes, hanem az elektromos áram. Kis feszültség hatására is létrejöhet olyan intenzitású áram, amely halálos áramütést okoz. Tulajdonképpen az áram hatása az, amit érzékel az ember, nem pedig a feszültség!

SZERZŐ Kis feszültségnél nagy áram? Mi lehet ennek az oka?

OLVASÓ Az emberi test ellenállása sok körülménytől (száraz vagy nedves bőrfelület, a ruházat, izzadtság, sőt az idegállapottól) függ. Mennél kisebb egy test ellenállása, annál nagyobb áram folyik át rajta azonos feszültség hatására. Így még az is előfordulhat, hogy a fürdőkádban telefonálva kapjon valaki - az egyébként veszélytelen telefonkészüléken keresztül - halálos áramütést.

SZERZŐ Szóval ez "egészen más", mint a hőmérséklet érzékelése… Egy pillanat! Hogyan is érzékeljük a hőmérsékletet?

OLVASÓ Minden iskolás gyerek elmondja Neked, hogy két testet megérintve meg tudjuk mondani, melyik a melegebb, ill. hidegebb.

SZERZŐ És ha egy harmadik test is van?

OLVASÓ Ne bosszants már ilyen kérdésekkel! A harmadik testről meg tudjuk mondani, hogy a másik kettő közül melyiknél melegebb, ill. hidegebb.

SZERZŐ Biztos vagy ebben? Belépve egy 20 °C hőmérsékletű szobába télen a hideg utcáról vagy a meleg fürdőszobából, vajon ugyanazt érzed?

OLVASÓ Nevetséges! Persze, hogy nem ugyanaz lesz a hőérzetem.

SZERZŐ És ennek mi az oka?

OLVASÓ Az, hogy tulajdonképpen nem hőmérsékletet, hanem hőmérséklet-különbséget érzékelek.

SZERZŐ Pontosabban: valamit, ami a hőmérséklet-különbséggel arányos. Ez pedig az energiaáram! Az érzékelés minden esetben az energiaárammal kapcsolatos. Halált okoz az "áramütés" akkor, ha az emberi szervezet olyan mennyiségű energiát kap, amely teljesen felbontja energiaháztartását: irreverzibilis (megfordíthatatlan) biológiai elváltozásokat okoz. Ez az energiamennyiség az ember és az "energiaadó" közötti kölcsönhatás különböző formáiban juthat a szervezetbe, pl. termikus kölcsönhatás eredményeként (hőátadás), erőhatás következtében (impulzusátadással együtt) vagy éppen elektromos feszültség hatására.  A termikus kölcsönhatásról is elmondhatjuk, hogy ugyanolyan hőmérséklet-különbség mellett "nagyobb meleget" érzel, attól függően, hogy mekkora tested termikus ellenállása. A test ellenállása sok körülménytől (száraz vagy nedves bőrfelület, ruházat, izzadtság, sőt az idegállapottól is) függ. Bizonyos körülmények között az is előfordulhat, hogy az embert halálos "áramütés" (hőguta) éri.

OLVASÓ Szó szerint megismételted azt, amit az előbb mondtam az elektromos áramütésről. Mit akarsz ezzel elérni?

SZERZŐ Csak azt, hogy az elektromosságtant se tekintsd olyan tudományágnak, amely alapjaiban különbözik az eddig tárgyaltaktól. Az elektrodinamika alapösszefüggései is - a jellemző extenzív mennyiségekre felírt - mérlegegyenletek.

OLVASÓ Az elektrodinamika alapösszefüggései a Maxwell-egyenletek. Ezek is levezethetők az általános formában felírt mérlegegyenletekből?

SZERZŐ Igen. És itt nemcsak a már kialakult tudományág "utólagos rendezéséről" van szó, mint pl. a hőtan esetében. Történelmileg is így jött létre az elmélet; megalapozói (maga MAXWELL is) a mérlegegyenletek és a szimmetriatulajdonságok alapján fogalmazták meg az elektrodinamika törvényeit.

OLVASÓ Ebben jelentős szerepe van annak, hogy a több száz éves hőtannal, ill., mechanikával szemben az elektromosságtan alig 100 éve jött létre.

SZERZŐ Ezt inkább az elektrodinamikáról mondanám! Az elektromos és mágneses jelenségeket ugyanis évszázadok (talán évezredek) óta ismeri az emberiség. Egyiptomi és babilóniai kultúrából szármázó archeológiai leletek alapján egyes tudósok arra következtetnek, hogy már abban az időben is alkalmaztak galvanizálásra elektromos áramot. Magát az "elektromosság" szót a tudományban Erzsébet angol királynő udvari orvosa, az 1540-ben született GILBERT vezette be. Utána még közel 300 éven keresztül az elektromosságot valamilyen folyadéknak tartották, amelyet a testekből dörzsöléssel lehet kisajtolni. FARADAY volt az első, aki fluidum helyett elektromos és mágneses térről beszél. Ma már tudjuk, hogy az elektromágneses tér is anyag, amelynek törvényei - más anyagi rendszerekhez hasonlóan - mérlegegyenletekkel írhatók le.

OLVASÓ Hogy érted ezt, hogy "anyag" a tér?

SZERZŐ Már szó volt erről, amikor a kémiai anyagi kölcsönhatásról beszéltünk. Csak emlékeztetnélek rá, hogy az "áthatolhatatlan" anyag (a kémiai anyag) anyagjellegét nem áthatolhatatlansága, hanem tulajdonságai (tömege, impulzusa, energiája stb.) határozzák meg. Az elektromágneses tér ugyan nem "áthatolhatatlan", de anyag, mert szintén rendelkezik mindezekkel a tulajdonságokkal. Éppen ezekre az extenzív tulajdonságokra felírt mérlegegyenletek írják le az elektromágneses tér törvényeit.

OLVASÓ Mindezt Faraday ismerte fel elsőként?

SZERZŐ Talán mondjuk így: ő látta (vagy érezte) meg azt, amit később, a nála 40 évvel fiatalabb Maxwell matematikailag is megfogalmazott. Maxwell írja: "amikor kezdtem elmélyedni Faraday munkáinak tanulmányozásában, észrevettem, hogy vizsgálati módszere szintén matematikai, bár nincs matematikai szimbólumok formájában leírva". A XIX. század az elektromosságtan rohamos fejlődését hozza. Csak néhány jelentős "állomást" említek: 1820-ban fedezi fel OERSTED az elektromos és mágneses jelenségek kölcsönhatását. 1827-ben jelenik meg AMPÉRE könyve "Az elektromágneses jelenségek elméletéről". Ugyanebben az évben lát napvilágot OHM törvénye a galvánáramokról, amelyben először használja az áramerősség és az ellenállás kifejezését. Az elektromos áramot a víz áramlásához, a feszültséget a vízszintkülönbséghez hasonlítja. 1831-ben, 10 évi kísérletezés után jut el Faraday az elektromágneses indukció felfedezéséhez. A törvények matematikai megfogalmazásában jelentős szerepe van UMOV-nak. A hidrodinamikai és az elektromos energiaáram közötti analógia alapján (ami maga annak a következménye, hogy mind a tömeg, mind az energia megmaradó tulajdonságok) felállítja az elektromágneses energia mérlegegyenletét:

ahol I a rugalmas eltolódás sebességének vektora, e az energiasűrűség. Az le szorzat neve: Umov-vektor. POYNTING foglalkozott azzal, hogy milyen módon megy át a tér egyik tartományából az elektromos és a mágneses energia, hogyan alakul át más energiaformává. Az általa kimondott törvény szerint: az energia bármely pontban az elektromos és mágneses erővonalakat tartalmazó felületre merőlegesen mozog, és a felület egységnyi darabján 1 s alatt áthaladó energiamennyiség egyenlő az elektromos és mágneses térerősség vektori szorzatának 4π-ed részével

ahol S a Poynting-vektor, E és H az elektromos és a mágneses térerősség, 4π az egységsugarú gömb felülete.

OLVASÓ Ezek a felismerések nyilván óriási visszhangot váltottak ki. Könnyű volt a dolguk ezeknek a tudósoknak, hiszen olyan korban dolgoztak, amikor a fizikai és matematikai ismeretek igen tág lehetőséget nyitottak számukra!

SZERZŐ Rosszul ismered a történelmet, ha azt hiszed, hogy az új eszmék "akadálytalan diadalmenetben" törnek előre. VOLTAIRE mondta: "Igazságot hirdetni, és hasznos dolgokat javasolni az embereknek - biztos módja annak, hogy üldözzenek bennünket." Az elektromosságtan megalapozóinak is meg kellett szenvedniük a maguk "Galilei-perét". A mágneses és elektromos fluidum "elméletének" képviselői nem könnyen adták fel hadállásaikat. Umov pl. azt írja emlékiratában, hogy disszertációjának védésekor igen nagy ellenállást váltott ki az energiaáram és az energiasűrűség fogalma. Az opponensek egyenesen megalapozatlannak és fizikai értelem nélkülinek nevezték.

OLVASÓ Kik voltak ezek az opponensek?

SZERZŐ Ma már a nevüket sem ismerjük. Az ilyenfajta "kritikusok" ideig-óráig fékezni tudják ugyan az új gondolatok elterjedését, de megakadályozni nem! Működésük mindenesetre sok kellemetlenséget okozhat az új gondolatok képviselőinek, de konzervativizmusuk, áltudományos nézetük miatt nevük hamar feledésbe merül.

OLVASÓ Bőven találunk hasonló példát az élet más területein is. A Petőfit "közönségesnek", Beethovent "tehetségtelennek", Wagnert "megszállottnak" nevező korabeli kritikusok ma már nevetségesnek tűnnek. Igaz, hogy minden kor kiállítja a "megfelelő" utódokat.

SZERZŐ Azt hiszem helyesebb, ha nosztalgia helyett elektrodinamikával foglalkozunk!

OLVASÓ Az eddigi beszélgetéseinknek megfelelően most is csak a "kapuig" megyünk el, vagyis a Maxwell-egyenleteket vezetjük le az általános mérlegegyenletből?

SZERZŐ Sajnos még a korábbiaknál is szűkszavúbbak leszünk! Az elektrodinamika ugyanis következetesen csak a relativitáselmélet alapján tárgyalható, vagyis: nem létezik nem relativisztikus elektrodinamika. A relativitáselmélettel viszont nem tudunk foglalkozni. Ezért csak nagyon vázlatosan, kizárólag az elvet ismertetjük.

OLVASÓ Az eddigi beszélgetéseink során mindig az általános mérlegegyenlet

alakját írtuk fel, majd behelyettesítettük a megfelelő jellemző extenzív és intenzív mennyiségeket.

SZERZŐ A "séma" most is ez! Mindenekelőtt melyek az elektrodinamika jellemző extenzív mennyiségei?

OLVASÓ Elsősorban az elektromos energia.

SZERZŐ Pontosabban az elektromágneses energia, amelynek áramsűrűségét, a Poynting-vektort már ismerjük is:

Az energiasűrűség ugyancsak a térerősségekkel adható meg, az anyagi közeget jellemző ε dielektromos állandó és μ mágneses permeabilitás ismeretében

Ezek után nem jelent problémát a következő jellemző extenzív tulajdonság: az elektromágneses tér tömegének meghatározása, az einsteini ekvivalencia-reláció alapján.

OLVASÓ Vagyis az

szerint, az energiára vonatkozó adatokat c2-tel osztva, a tömeg adatait kapjuk? Tehát az elektromágneses tér tömegének sűrűsége:

tömegáram-sűrűsége pedig

SZERZŐ Most már az impulzussűrűséget is ismerjük! Gondoljunk ugyanis vissza az aerodinamikára. Ott közvetlenül "láttuk", hogy a ρw impulzussűrűség éppen a ρw tömegáram-sűrűséggel egyenlő. Ez minden esetben igaz, az elektrodinamikában is.

OLVASÓ Ezek szerint a jm, tömegáram-sűrűség kifejezése megegyezik az elektromágneses tér impulzusával?

SZERZŐ Impulzussűrűségével! Az impulzusáram-sűrűséget pedig jelöljük egyelőre T-vel.

OLVASÓ Így jelöltük az aerodinamikában a feszültségtenzort, vagyis a konduktív impulzus-áramsűrűséget is.

SZERZŐ Csakhogy itt nem konduktív, hanem konvektív impulzusáramról van szó. A mechanikai kölcsönhatásokhoz hasonlóan beszélhetünk az elektromágneses tér impulzusmomentumáról is, amelyre vonatkozó megmaradási törvény következménye, hogy T szimmetrikus tenzor. Az elektromágneses tér speciális extenzív tulajdonságai az elektromos (P) és mágneses (M) momentumok.

OLVASÓ Azt hiszem az összes extenzív tulajdonságot felsoroltuk, csak épp az elektromos töltést nem.

SZERZŐ Valóban csak ez maradt hátra! Az elektromos töltés az elektromos térerősség forrása (erővonalak csak töltésből indulhatnak ki). Másként fogalmazva: valamely térfogaton belüli össztöltés egyenlő a térerősségnek a térfogatot határoló felületre vett integráljával:

Térfogatnak az egységsugarú gömböt választva (amelynek felülete 4π), a mérlegegyenletek levezetése során már alkalmazott Gauss-Osztrogradszkij-tétellel a

összefüggést kapjuk.

OLVASÓ Így tehát az elektromos töltéssűrűséget is az elektromos térerősséggel fejeztük ki. Ezek után már felírhatjuk a mérlegegyenleteket.

SZERZŐ Az elektromágneses energia egyenlete:

ahol qe a forrás: az a munka, amelyet az E tér végez a töltéseken. Ez kétféle hatást vált ki: növeli a vezető σE belső energiáját, valamint a töltés ρqw kinetikai energiáját. A forrássűrűség tehát

Az egyenlet mindkét oldalát 4π/c-vel szorozva, az energiasűrűség kifejezését tagonként differenciálva, valamint figyelembe véve, hogy

rendezés után kapjuk:

Az impulzusmérleg levezetésekor figyelembe kell vennünk, hogy az elektromágneses tér és a kémiai anyag kölcsönhatása esetén csak az együttes impulzus megmaradó: az elektromágneses impulzus mechanikai impulzussá alakulhat át. Így az elektromágneses impulzus mérlegegyenlete:

ahol k az ún. ponderomotoros erő, az elektromágneses impulzus forrássűrűsége. Az impulzusáram süsüségét az aerodinamikában a ρwow diadikus szorzat és az egységtenzorral szorzott p hidrosztatikai nyomással adtuk meg. Hasonlóan adhatjuk meg az (izotróp) elektromágneses tér impulzusáram-sűrűségét is, ha ρ helyére ε, ill. μ; w helyére E, ill. H, p helyére pedig az energiasűrűség 1/2-szeresét helyettesítjük be:

A többi extenzív tulajdonság mérlegegyenletei is hasonló módon származtathatók. Erre azonban már ne térjünk ki! Összefoglalásként a táblázat tartalmazza az elektrodinamika jellemző extenzív mennyiségeit. És ezzel zárjuk le az elektrodinamikáról szóló beszélgetéseinket! A bemutatáshoz gondolom ennyi is elég.

OLVASÓ A bemutatáshoz valóban, de ahhoz nem, hogy a Maxwell egyenleteket felismerjem! Erre még szánjunk egy kis időt!

SZERZŐ Alapos és pontos levezetést találhatsz a szakkönyvekben. Egész vázlatosan a következőket kell meggondolnunk: Az E elektromos és a H mágneses térerősség 3-3 komponenséhez összesen hat egyenletre lenne szükség. Ezzel szemben két skalár és három vektor extenzív mennyiségünk van, mindegyikükre mérlegegyenlet írható fel (összesen 11).

OLVASÓ A vektoregyenleteket érthetően hármasával számolják. De a táblázatban három skalár extenzív mennyiséget tüntettünk fel.

SZERZŐ Az elektromágneses energia és a tömeg nem választható szét, ezek egymással ekvivalens tulajdonságok. Így - mérlegegyenlet szempontjából - csak az egyiket vehetjük. A 11 mérlegegyenlet tehát több, mint amennyi E és H komponenseinek meghatározásához szükséges. Ez azt jelenti, hogy a mérlegegyenletek nem mind függetlenek egymástól. Az egyes extenzív mennyiségek sűrűségei, ill. áramsűrűségei közötti kapcsolatok figyelembevételével származtathatók a Maxwell-egyenletek.

OLVASÓ De hiszen ezekkel már foglalkoztunk! A (II) egyenletről beszéltünk az elektromos töltéssel, a (VII)-ről az Ohm-törvénnyel kapcsolatban. Az (I) és (III) egyenletek pedig az energia-mérlegegyenletben szerepelnek, E, ill. H vektorral skalárisan szorozva.

SZERZŐ Az (V) és (VI) a dielektromos, ill. a mágneses indukció kifejezése és ehhez járul még (VIII) egyenletként a ponderomotoros erő egyenlete. Örülök, hogy magad is észrevetted a kapcsolatot a felírt mérlegegyenletek és a Maxwell-egyenletek között! Természetesen a precíz levezetéshez - mint már említettük - további meggondolásokra is szükség van, amire nem térünk ki. Az eddigiekkel csak azt szerettem volna megmutatni, hogy még a laikus is - olyan, mint amilyen én vagyok az elektrodinamika területén - a korábbiakban alkalmazott módszer segítségével képes eligazodni egy számára közelebbről nem ismert tudományágban. E kis elkalandozás után újra ismertebb területekről társalgunk!


Vissza a tartalomjegyzékhez Következő beszélgetés


Megjegyzések

PEIERLS, R. E.: A természet törvényei. Gondolat, 1963. 43. old.

A Tigris folyó partján végzett ásatások olyan 3000 év körüli agyagedényeket hoztak napvilágra, melyekben kimart rézhengerek és vaslapocskák voltak. A nyomok arra engedtek következtetni, hogy a marást ecet- vagy citromsav okozta. Az edények alját vékony bitumenréteg borította, amely közismerten elektromos szigetelő. Feltételezik, hogy ilyen edényekben galvanizálták azokat az előkerült ékszereket is, amelyeket "hajszálvékony" aranyozás borít (KAPCEV, V. nyomán).


OHM gondolatmenetéből nyilvánvalóvá válik, hogy az elektromos jelenségeket a termikus és hidrodinamikai jelenségekhez hasonló kiegyenlítődési folyamatok eredményének tekintette.


a permeablitáshoz:
Az egyszerűség kedvéért a továbbiakban ε és μ értékét állandónak vesszük, s így a dielektromos eltolás D=εE, valamint a mágneses indukció B=μH összefüggése alapján D és B levezetéseinkben explicite nem szerepel.