Tizedik beszélgetés

Sztochasztikus folyamatok

… a klasszikus mechanika determinizmusa
hiú ábrándnak bizonyul…
MAX BORN
OLVASÓ Ismét átgondoltam legutóbbi beszélgetésünket, és már lényegesen egyszerűbbnek látom a levezetéseket, de hazudnék, ha azt mondanám, hogy kívülről tudom őket.

SZERZŐ Erre nincs is szükség! Annyit viszont tudnunk kell, hogy az oly sokszor használt összefüggések milyen feltételek mellett alkalmazhatók, ezért a bonyolultabbnak tűnő levezetéseket legalábbis meg kell ismerni.

OLVASÓ "Lelki előkészítést" adsz a mostani beszélgetéshez?

SZERZŐ Szó sincs róla! A matematikai nehézségeken már túl vagyunk. Ami most következik, azt lényegesen egyszerűbben tárgyaljuk, bár maga a jelenség sokkal bonyolultabb.

OLVASÓ Ez megint miféle paradoxon? Bonyolultabb jelenséget hogyan lehet egyszerűbben tárgyalni?

SZERZŐ Nem foglalkozunk a problémával részletesebben. (Egyetlen beszélgetésünkben sem törekedtünk tankönyv vagy monográfia jellegű ismertetésre.) Célunk - ismételten - csak az, hogy általános tájékozódást szerezzünk a mérlegegyenletek alkalmazásában, meggyőződjünk arról, hogy segítségükkel a különféle szakterületek munkahipotéziseit is jobban meg tudjuk érteni.

OLVASÓ Így eljutunk lassan a "világegyenletig"!?

SZERZŐ Éppen ellenkezőleg! Arról akarlak meggyőzni: mennyire lehetetlen bármilyen "világegyenlet"-et is alkotni. A hetedik beszélgetésünkben már érintettük a zavaró jellemzőket: a mindig meglevő, véletlenszerűen változó hatásokat. Nemrég módom volt részt venni egy kiváló népszerű-tudományos könyv (RASZTRIGIN: A véletlen világa) magyar kiadásának előkészítésében. Fokról fokra vezeti el az Olvasót arra a meggyőződésre, hogy világunk törvényszerűen véletlen. A véletlen romboló és építő hatásai nélkül el sem képzelhető a világ mai képe.

OLVASÓ Csak nem akarod azt mondani, hogy a világon minden véletlenül történik. Talán azt is tagadod, hogy mindennek van oka? Nincsenek ok-okozati összefüggések, ún. determinisztikus kapcsolatok?

SZERZŐ Tudatában kell lennünk annak, hogy minden determinisztikus kapcsolat csak valamilyen valószínűségi határok között érvényes. LAPLACE még úgy gondolta, hogy "az az értelmes lény, aki egy adott időpontban ismerné a természetben működő összes erőket, és teljes képet tudna magának alkotni a természet minden anyagi részecskéjének állapotáról, akinek meglenne továbbá az a képessége, hogy ezeket az adatokat fel is tudja dolgozni, az a világ legnagyobb testeinek és legkisebb atomjainak mozgását is ugyanazzal az egyenlettel tudná kifejezni. Semmi sem maradna számára ismeretlen… Át tudná tekinteni a jövőt és a múltat egyaránt". A modern fizika bebizonyította, hogy a Laplace-i utópia elvileg lehetetlen. Elég csak a Heisenberg-féle határozatlansági relációra gondolni, amely szerint egy elemi részecske helyét és impulzusát egyidejűleg, egy meghatározott értéknél kisebb hibával nem lehet meghatározni.

OLVASÓ Kvantumfizikával fogunk foglalkozni?

SZERZŐ Ismereteimet és beszélgetéseink célját messze túlhaladná ez a tárgykör. Mindezzel csak a véletlenszerű hatások jelentőségét kívántam hangsúlyozni…

OLVASÓ … aminek elsősorban a mikrofizika területén van meghatározó szerepe. A mi "értelmezési tartományunkban" - gondolom - ezek a hatások elhanyagolhatók.

SZERZŐ Egy ellenpéldát, amelyed kissé részletesebben tárgyalunk: a turbulens áramlásról legyen szó.

OLVASÓ Ha jól emlékszem turbulensnek (vagy gomolygónak) nevezzük a folyadék vagy gáz örvénylő áramlását. Mennyiben kapcsolódik ez a "véletlenszerűséghez"?

SZERZŐ Valóban: a turbulens áramlás gyakran örvénylő és az örvénylő áramlás gyakran turbulens. Gyakran, de nem mindig! Semmiképpen sem lehet azonosítani (szinonimaként kezelni) a két szót! Pl.: a szabályos örvényrendszer nem jelent turbulens viszonyokat. A latin eredetű turbulens szó fordítása szó szerint izgatott, felbolygatott. A turbulens áramlás lényege: kaotikus, rendezetlen sebességingadozás, amely legjobban a molekulák Brown-mozgásához hasonlít. Esetünkben nemcsak egyes molekulák, hanem nagyságukat állandóan változtató kis térfogatelemek kaotikus mozgásáról van szó.

OLVASÓ Brown-mozgás nyugalomban levő folyadékban is fellép, de turbulens áramlás csak bizonyos sebességhatárokon felül észlelhető

SZERZŐ Pontosabban: amikor a tehetetlenségi erők meghaladják a súrlódási erőket. Külső, zavaró hatások mindig érik a rendszert. Ha a súrlódási erők viszonylag nagyok, ezek a zavarok gyorsan lecsillapodnak, az áramlás rendezett marad. Ellenkező esetben a belső viszkozitás nem képes a véletlenszerű ingadozásokat fékezni, az áramlás makroszkopikusan is rendezetlenné válik.

OLVASÓ Úgy gondolom, itt ismét egy "szúnyograjt" kell vizsgálnunk. Az elmondottakból arra következtetek, hogy a rajon belüli egy-egy "szúnyogcsoport", vagy talán szúnyogcsalád (ha egyáltalán létezik ilyen!) mozgása hasonlít legjobban a turbulens áramláshoz.

SZERZŐTökéletes a hasonlatod! Továbbá: miként egy szúnyog pillanatnyi helyzetét és sebességét lehetetlen előre megjósolni. ugyanúgy lehetetlen előre megmondani milyen lesz a turbulens mozgás pillanatnyi sebessége valamely pontban.

OLVASÓ Ez a helyzet teljesen kiismerhetetlennek tűnik. Hogyan lehet egyáltalában eligazodni ilyen káoszban?

SZERZŐ A molekulák mozgásában hogyan igazodunk el? Meg tudjuk talán mondani, hogy e szoba valamely pontjában milyen lesz egy oxigénmolekula pillanatnyi sebessége?

OLVASÓ Nem, de ez nem is érdekel bennünket. Arra azonban már tudunk válaszolni, hogy a molekulák összessége hogyan viselkedik, és pl. milyen az oxigénmolekulák átlagsebessége.

SZERZŐ Azt is mondhatjuk, hogy az egyes molekulák "viselkedése" véletlenszerű, de a molekulák sokaságának viselkedése törvényszerű. Az ilyen véletlenszerű jelenségek összességét sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Ezek leírásával a valószínűségelmélet foglalkozik. A sztochasztikus folyamatokat nem a pillanatnyi értékekkel, hanem statisztikus jellemzőkkel (pl. várható érték, szórás stb.) jellemezhetjük. Ezekre már jól definiálható összefüggések ismeretesek.  Egyszerűsített tárgyalásunkhoz most csak a várható értéket kell kiszámítanunk. A várható érték valószínűségi fogalom. (A turbulencia-elméletben természetesen más statisztikai jellemzők is szerepelnek.)

OLVASÓ Lényegében a számtani középpel egyenlő a várható érték?

SZERZŐ Ne keverjük össze a két fogalmat! Vegyük az egyik leggyakoribb példát: a kockadobást. A teljesen szabályos kockával dobva, egyformán 1/6 a valószínűsége annak, hogy a dobás eredménye 1, 2, …, 6. Az egyes lehetséges "eredmények" jelentik azt, hogy 1-est, 2-est, … , ill. 6-ost dobtunk. A lehetséges események és az események valószínűségének szorzata adja a várható értéket. Esetünkben:

Ezt a számot a nélkül határoztuk meg, hogy a "kísérletet" (kockadobásokat) elvégeztük volna, egyedül abból a fizikai meggondolásból, hogy a teljesen szabályos kockának nincs kitüntetett oldala, s így minden esemény egyforma valószínűséggel következhet be. Általában, ha valamilyen Ai esemény bekövetkezésének valószínűsége pi, akkor az összes esemény várható értéke a piAi szorzatok összege:

ahol a felülvonás a várható érték jelölése, az összegezés pedig az összes a lehetséges eseményre terjesztendő ki. Mivel az összes lehetséges esemény közül valamelyik biztosan bekövetkezik, így mindig igaz, hogy a valószínűségek összege:

Egyenlő valószínűségi eseményeket tekintve pi az összegezés elé kiemelhető, és mivel ekkor p éppen a lehetséges események számának reciproka, p=1/n,

a várható érték tehát a lehetséges események számtani középértéke A várható érték egy eseményről semmit sem mond. (Hiába várnánk, hogy a kockadobás értékeként 3,5 adódjon.) Igen nagyszámú kísérlet esetén azonban a kísérletek eredménye a várható érték körül fog ingadozni.

Így pl. a Lottó 90 száma közül valamennyi egyforma valószínűséggel húzható ki. Az eddigi  mintegy 2500 (2006. július 3-ig: 2574) sorsolás eredményeként az egyes számokat 114 … 170 esetben húzták ki. 10 000 (vagy még inkább 100 000) húzás után nyilván még kisebb lesz az eltérés az egyes számok között: "kísérletileg" is ellenőrizhető lesz, hogy minden szám egyenlő sokszor lett kihúzva. (A statisztikai adatok megtalálhatók a http://lotto.uw.hu/ honlapon.) Azt a számot, amely megmutatja, hogy a kísérletek során egy-egy esemény milyen gyakran következett be: gyakoriságnak hívjuk. A nagy számok törvénye szerint a gyakoriság a kísérletek igen nagy számú ismétlése során egyre jobban megközelíti a valószínűséget.

OLVASÓ Világos azonban, hogy mindebből arra az eseményre, hogy milyen számokat húznak ki a jövő héten, semmiféle következtetést sem lehet levonni.

SZERZŐ Nem is a lottózás "receptjét" kerestük, hanem a statisztikai és a valószínűségi jellemzők közötti különbség szemléltetése volt célunk. "Vegyük elő"  a tömeg mérlegegyenletét:

Miből adódott itt a konduktív áramsűrűség?

OLVASÓ A vezetési tényező és a jellemző intenzív mennyiség gradiensének szorzatából vezettük le.

SZERZŐ De mit jelent molekulárisan a konduktív áram? Gondolj csak vissza a szúnyograjra. Tegyük fel, hogy előzetesen megfestjük az egyik rajt sárga, a másikat pedig kék színűre és ezután engedjük össze. Messziről szemlélve mit látnánk?

OLVASÓ Hát - ha a befestés után egyáltalán tudnának még repülni, akkor - kezdetben külön kék és sárga felhőrészeket látnánk elkülönítve majd fokozatosan zöld színűvé (a kék és sárga keverékszínévé) válna az egész "gömb". A szúnyogok összekeverednének.

SZERZŐ A rendezetlen, kaotikus mozgás tehát kiegyenlítené azt a különbséget, amely a két rész "színe" között volt. Ilyenszerű a diffúzió mechanizmusa is. Az egyes molekulák rendezetlen mozgása következtében lehetetlen azt megmondani, hogy valamely pontban mekkora pl. a molekulasebesség pillanatnyi értéke. Csak arról beszélhetünk, hogy a molekulák sebességének valamilyen (valószínűségi értelemben vett) várható értéke van:

amely függvénye az r helynek (a térkoordinátáknak) és az időnek. Ezzel a várható értékkel számolható a konvektív áram, a molekulák elmozdulásának szórásából pedig a konduktív áram.

OLVASÓ A konvektív áram meghatározását értem, hiszen az eddigiek során ezzel már többször foglalkoztunk, de a konduktív áramokat eddig az intenzív mennyiségek inhomogenitásával hoztuk kapcsolatba, most pedig a szórásról beszélsz.

SZERZŐ A továbbiakban is - amikor csak lehetséges - az intenzív mennyiségek gradiense alapján határozzuk meg a konduktív áramsűrűséget. Annyit azért tudnunk kell, hogy a molekulák kaotikus mozgása lényegében ún. Markov-folyamat (a jövőbeni állapot nem függ a múltbeli állapottól; a folyamat nem "emlékszik" a múltra). Ismerni kell az átmeneti valószínűségeket (vagyis azt, hogy valamely részecske, amely a t időpontban az r helyen tartózkodott, milyen valószínűséggel fog a t' időpontban az r' hely környezetében tartózkodni):

OLVASÓ Ebben a függvényben mit jelent a függőleges vonal?

SZERZŐ A függvény feltételes valószínűséget fejez ki. Értéke attól függ, hogy melyik r' pontról van szó, azzal a feltétellel, hogy a t' időpontot vizsgáljuk mindazon részecskékre, amelyek a t időpontban az r helyen voltak.

OLVASÓ Vagyis azokról a részecskékről van szó, amelyek az r pontból (t'-t) idő alatt jutottak az r' pont környezetébe.

SZERZŐ Helyesebben: ennek a valószínűségéről. A kockadobás analógiájára: az elmozdulás várható értékét úgy kapjuk, hogy minden egyes lehetséges "eseményt" szorzunk valószínűségével és ezeket a szorzatokat összegezzük.

OLVASÓ Egy lehetséges esemény az (r'-r) elmozdulás?

SZERZŐ Igen, és ha minden lehetséges r' értéket figyelembe veszünk, akkor az egész térre kell integrálnunk. Az egyszerűség kedvéért csak egydimenziós esetet veszünk, amikor a pontokat x' és x határozzák meg, s így az elmozdulás várható értéke:

A Δt=t'-t időintervallum ismeretében már a sebesség is meghatározható, a szokásos módon,

határátmenettel,

OLVASÓ Ez a sebesség helytől és időtől függő várható értéke; de hogyan számíthatjuk a szórást?

SZERZŐ A szórást hasonló módon az

elmozdulás-négyzetek integráljából nyerjük. Könnyen belátható, hogy míg az előbbi az ún. makroszkopikus, addig ez a mikroszkopikus (molekuláris) mozgásról ad felvilágosítást. Az elmozdulás várható értéke zérus, ha a rendszer tömegközéppontja nyugalomban van. A szórás viszont csak akkor lenne zérus, ha valamennyi molekula nyugalomban lenne, vagyis zérus lenne annak valószínűsége, hogy egyetlen molekula is elmozdul. (Ennek részletesebb tárgyalása már a statisztikus fizika tárgyköre, ez beszélgetéseink témakörét túllépné.)

OLVASÓ Legalább annyit mondj még meg, hogy hogyan lehet ezekből a szórásokból a konduktív áramokat meghatározni?

SZERZŐ Két esetet különböztetünk meg. Az egyik esetben (és eddig csak ezt vettük figyelembe) a szórásról feltételezzük, hogy az arányos a jellemző intenzív mennyiségek gradiensével és az arányossági tényezőt neveztük vezetési tényezőnek. Ez a fenomenologikus tárgyalásmód. A másik esetben közvetlenül a szórással dolgozunk: az egyes fizikai jellemzők (sebesség, sűrűség) pulzációjának korrelációját határozzuk meg. Ez a statisztikus tárgyalásmód. Lényegében tehát, amit mi eddig konduktív áramnak mondottunk, az a molekulák rendezetlen mozgása kivetkeztében létrejövő szétterjedés várható értéke, fenomenologikus tárgyalásmódban. Hasonlóan járunk el az impulzusáram esetében is.

OLVASÓ Ismét végigmegyünk az előző beszélgetés anyagán?

SZERZŐ Csak a konvektív áramot írjuk fel a pillanatnyi értékkel és a várható értéket képezzük:

Az egyszerűsítés érdekében (csak a rövidség kedvéért!) tételezzük fel, hogy a ρ tömegsűrűség és az impulzusforrás nem ingadozik. A sebesség pillanatnyi értékét a várható érték és az attól való eltérés (pulzáció) összegeként írjuk fel:

Helyettesítsük be ezt az egyenlőséget a sebesség helyére. Vegyük figyelembe, hogy a pulzáció várható értéke zérus.

OLVASÓ Ez nyilvánvaló, hiszen a pulzációt úgy értelmeztük, mint a várható értéktől való eltérést.

SZERZŐ Ebből viszont az is következik, hogy a várható érték és a pulzáció szorzatának várható értéke is zérus:

De vigyázat! A pulzációk szorzatának várható értéke már nem (feltétlenül) zérus:

OLVASÓ Ez az első pillanatra nem annyira nyilvánvaló!

SZERZŐ Pedig könnyen belátható, ha egy egyszerű szinusz-hullámra gondolsz. Mi a sin x várható értéke a 0 és 2π intervallumban?

OLVASÓ Természetesen zérus. A pozitív és negatív értékek kiegyenlítik egymást. A szinuszos mozgást - az előbbiek szerint - úgy foghatjuk fel, mint a zérus várható érték körül "pulzáló" mozgást.

SZERZŐ Vagyis valamely x helyen a "pillanatnyi" pulzáció sin x. Mi a "pulzációk" szorzatának várható értéke ugyanabban a 0 és 2π közötti tartományban?

OLVASÓ A sin2x mindig pozitív, így kiegyenlítésről nem lehet szó! Most már értem, hogy a pulzációk szorzatainak várható értéke miért különbözik zérustól. Ilyen szinuszos mozgásról van szó a turbulencia esetében is?

SZERZŐ Hangsúlyozom: csak a szemléltetés érdekében beszéltünk szinusz-hullámról. A turbulens áramlás (ill. általában a sztochasztikus folyamatok) jellemzői kaotikusan és nem harmonikusan változnak! Ezek után írjuk fel az impulzusmérleg várható értékét:

A zárójelben levő második tag a pulzációs sebességek korrelációja.

OLVASÓ Ez tehát a konduktív impulzussűrűség, vagyis a feszültségtenzor:

Most már érthető, hogy miért volt ez feltétlenül szimmetrikus tenzor, hiszen a

diadikus szorzat is szimmetrikus tenzort ad.

SZERZŐ Ebben az értelemben, mint ún. viszkózus feszültséget használtuk, amely viszonylag kis sebességek esetén jelenti az impulzus konduktív áramát. Ez az áram arányos a sebesség gradiensével, és az arányossági (vezetési) tényező az ún. viszkozitási tényező. A sebességpulzáció a sebesség növekedésével egyre intenzívebb lesz, és bizonyos érték felett már nem adható meg a sebességgradiens lineáris függvényeként. Az impulzusáram egyszerűbb kifejezése át kell, hogy adja a helyét, az "eredeti" formának, a pulzációs sebességek korrelációs összefüggésének. Turbulens áramlás esetében a feszültségtenzor (a konduktív impulzusáram) a pulzációs sebességek diadikus szorzatának várható értéke. A pulzációs sebesség komponenseit u1u2, u3 betűkkel jelölve:

A tenzor komponensei (a különböző irányú pulzációs sebességek szorzatának várható értékei) az ún. Reynolds feszültségek. Mennél nagyobb a pulzáció, annál nagyobbak ezek a komponensek, ezért a Reynolds feszültségek a turbulencia intenzitásának mértékei. Izotrópnak akkor nevezzük a turbulenciát, ha tenzor főtátójában levő elemek egyenlők, a többi komponens pedig zérus.

OLVASÓ Eszerint az izotróp turbulencia nagyon speciális eset.

SZERZŐ Mégis - és ez mutatja a probléma bonyolultságát - a legtöbb turbulencia-elmélet csak erre vonatkozik. A nemizotróp turbulencia tárgyalása ma még nagyon komoly matematikai nehézségekbe ütközik. Nem is lehet beszélni olyan egységes és kidolgozott turbulencia-elméletről, mint amilyen elméletekkel a fizika és a műszaki élet más területein találkozhatunk. Ebbe a tárgykörbe jobban belemélyedni azonban most nem tudunk.
Az eddigieket összefoglalva: A turbulencia - folyadékok és gázok olyan áramlása, amelyek folyamán az egyes fizikai jellemzők (sebesség, hőmérséklet, nyomás, sűrűség stb.) kaotikusan fluktuálnak, pontról pontra szabálytalanul változnak. A turbulencia a sztochasztikus folyamat prototípusának tekinthető. A sztochasztikus folyamatokat csak statisztikus jellemzőkkel lehet leírni. Lényegében minden folyamat - így a már tárgyalt hővezetés, diffúzió is - sztochasztikus folyamat. Az a tárgyalási módszer, amelyben a konduktív áramsűrűségeket a vezetési tényezők és az intenzív mennyiségek gradienseinek szorzataiként adjuk meg, makroszkopikus (fenomenologikus) kifejezése a molekuláris rendezetlen mozgás korrelációs összefüggéseinek.

OLVASÓ Ne haragudj, de míg az eddigiekben úgy éreztem, hogy egyszerűbbé és rendszerezettebbé akarod tenni ismereteimet, addig most ennek ellenkezőjét érzem! Mindent össze akarsz zavarni?

SZERZŐ Engem hozol zavarba! Mi az, ami szerinted - az eddigiekkel szemben - akadályozza a rendszerezést?

OLVASÓ Nagy nehezen megértettem az általános mérlegegyenlet felépítését, kapcsolatát egyes speciális összefüggésekkel. Alighogy ide jutottunk, el akarod dobni az egész kerettörvényt, bizonyítva, hogy az csak valamilyen durva makroszkopikus kifejezése a molekulárisan rendezetlen, sztochasztikus folyamatoknak.

SZERZŐ Ismételten szögezzük le: valamennyi transzportfolyamat lényegében sztochasztikus. Leírásukra kétféle módszer lehetséges: statisztikus, amely a folyamat valószínűségi jellemzőivel dolgozik és fenomenologikus, amely a makroszkopikus jellemzőkkel foglalkozik. Világos, hogy a statisztikus és a fenomenologikus jellemzők között szoros kapcsolat van; pontosabban: a fenomenologikus jellemzők a statisztikusokból levezethetők (fordítva nem!). A mérnöki gyakorlat számára legtöbbször elegendő a fenomenologikus tárgyalásmód. A mi (eddigi és további) beszélgetéseinkben ezt a tárgyalásmódot követjük. Továbbra is az általános mérlegegyenletből vezetjük le az egyes műszaki folyamattípusok speciális összefüggéseit.

OLVASÓ Akkor meg mi szükség volt a sztochasztikus jelleg ilyen erős hangsúlyozására?

SZERZŐ Azért, hogy jobban megértsük egyrészt a folyamatok belső tartalmát, másrészt összefüggéseink érvényességi körét. Mindig számolnunk kell azzal, hogy a véletlenszerű hatások miatt összefüggéseink csak a várható értékekre vonatkoznak, ettől - bizonyos valószínűséggel - eltérések lehetségesek. (A kísérletek, mérések tárgyalása során erre még visszatérünk.) A valószínűségelmélet - amely századunkban vált a matematika önálló tudományágává - egyre erősebben hatol be a matematika, a fizika, a műszaki élet minden területére. Talán elegendő, ha megemlítem a szerkezettervezés területét, ahol a biztonságra méretezést lassan teljesen felváltja a kockázat szerinti méretezés (amely a hatásokat és a reakciókat valószínűségi jellemzőkként kezeli). Matematikusok körében már olyan hangok is hallatszanak, hogy a matematika egész épületét determinisztikusról valószínűségi alapra kell átépíteni. No, de nem terhellek ezekkel a gondolatokkal. Van még elég dolgunk azokkal, amelyeket a sztochasztikus jelleg nélkül is megérthetünk.


Vissza a tartalomjegyzékhezKövetkező beszélgetés

Megjegyzés


Az irodalomban elterjedten találkozhatunk olyan empirikus formulákkal, amelyek valamilyen "turbulens viszkozitási tényezővel" kísérlik meg a laminárisra "visszavezetni" a turbulencia törvényszerűségeit. Ezek érvényességi köre és megbízhatósága azonban igen korlátozott!