Kilencedik beszélgetés

Az impulzustranszport

Habár gondolkodási képességünket a legkülönbözőbb tárgyakra alkalmazzuk, mindig egy és ugyanaz marad. Épp oly kevéssé változtatja meg a gondolkodás lényegét a problémák sokfélesége, mint a napfényt a tárgyak sokfélesége, amelyeket megvilágít.
DESCARTES
OLVASÓ Előbbi beszélgetésünket azzal fejezted be, hogy az impulzusmérleg felírása nem is olyan egyszerű, mivel az impulzus: vektor.

SZERZŐ Mindenekelőtt azt kell figyelembe vennünk, hogy minden vektoriális extenzív mennyiségnek három térbeli komponense van. Jelölje a sűrűségvektort:

Először vegyük csak a vektor egyik - mondjuk x1 irányú - komponensét. Formálisan:

ahol ρ1 az extenzív mennyiség, q1, pedig a forrás sűrűségének x1 irányú komponense. T1 a konduktív áram sűrűségének x1 komponensét jelöli.

OLVASÓ A vektornak három komponense van, mindegyiknek megfelel egy-egy ilyen mérlegegyenlet. Formálisan megegyezik az eddigiekben tárgyalt, skalár mennyiségekre felírt mérlegegyenlettel. Csak éppen a konduktív áram sűrűségét a már megszokott Onsager-összefüggés helyett T1-gyel jelölted.

SZERZŐ Nyomban magyarázatot kapunk erre is, ha konkréten az impulzust helyettesítjük egyenletünkbe. Az impulzus értékét a tömeg és a sebesség szorzata adja: mw.
Az impulzus sűrűsége: ρw, és ennek x1 irányú komponense: ρw1. Ezt kell behelyettesítenünk előbbi egyenletünkbe:

OLVASÓ Formálisan értem, de fizikai tartamát tekintve nem. Hogyan értelmezhetők az egyenlet egyes tagjai?

SZERZŐ Az impulzusáramról majd később! E nélkül az egyenlet

alakban az ismert Newton-törvény differenciális változata. Az erő = tömeg×gyorsulás: F=ma.

OLVASÓ Illetve: erősűrűség=tömegsűrűség×gyorsulás. Az impulzus forrássűrűsége tehát erősűrűséget jelent? De az impulzus megmaradó extenzív mennyiség, így forrása nincs?

SZERZŐ Ez csak zárt rendszerre vonatkozik, olyanra, amely az impulzusra szigetelt. Az impulzus időegységre eső megváltozása az erő. Csak akkor lehet zérus az impulzusforrás, ha külső erőhatás nem éri a rendszert. Ha valamilyen erőtérben van a vizsgált berendezés, a közeg impulzusa az erőtér impulzusának rovására nő. (Az impulzusmegmaradás csak az erőtér és a vizsgált rendszer együttesére igaz!)

OLVASÓ Akkor mindenképpen kell forrástagnak lennie, mert olyan falat nem ismerek, amely a gravitációs erőtértől "szigetelni" (pontosabban: árnyékolni) tudná a rendszert.

SZERZŐ Az impulzus forrássűrűsége: ρg, ha csak a g gravitációs erőtér hat a rendszerre. (Lehetséges azonban más erőterek okozta impulzusforrás is!)

OLVASÓ Most már az impulzusáramról is mondj valamit!

SZERZŐ Két egyszerű példával azonnal világossá válik a konvektív és a konduktív impulzusáram. Mindkét esetben azonos tömegű biliárdgolyókat használunk. Először helyezzünk el az asztalon, szorosan egymás mellett (itt) 10 golyót. Ennek a "golyórendszernek" az impulzusa - a tömegközéppontjukhoz viszonyítva - zérus. Vegyünk még egy m tömegű golyót és lökjük w1 sebességgel a golyórendszernek. Mennyi lesz ekkor a rendszer összimpulzusa?

OLVASÓ Az impulzusmegmaradás törvénye értelmében az összimpulzus mw1 lesz.

SZERZŐ És mi történik a golyókkal, az ütközés után?

OLVASÓ Szanaszét repülnek, minden irányban.

SZERZŐ Összimpulzus?

OLVASÓ Változatlanul mw1.

SZERZŐ Az x1 és x2 irányba haladó golyók tehát magukkal viszik a kezdeti mw1 impulzust. Szemed előtt van az a folyamat, amikor az mw1 - vagyis az x1 irányú - impulzus terjed x1 és x2 irányban. Ez a folyamat szemlélteti a konvektív impulzusáramot.

OLVASÓ És hogyan "magyarázzák" biliárdgolyóid a konduktív áramot? A korábbiakban úgy értelmeztük a konduktív áramot, mint az extenzív mennyiségek diffúzióját. Hangsúlyoztad, hogy ez a folyamat akkor is létrejön, amikor a rendszer tömegközéppontja "nyugalomban" van. Hogyan értelmezhető ilyenfajta impulzusdiffúzió, amikor az impulzusban "benne van" az áramlási sebesség, tehát nyugalom esetén impulzus sincs?

SZERZŐ Kicsit elhamarkodott ez a megállapítás. Az áramló test impulzusának értékét valóban tömegének és áramlási sebességének szorzatával adhatjuk meg. De az impulzus olyan extenzív tulajdonság, amely a makroszkopikusan nyugalomban levő testekre is értelmezhető. Erről még a rugalmas testekkel kapcsolatban bővebben is beszélünk, most csak egy egyszerű példát vegyünk.  Függesszünk fel egymás mellé egyvonalban, szorosan érintkezve több biliárdgolyót. (Mennél több golyó lóg egymás mellett, annál szemléletesebb lesz a példa!) Húzzuk el az egyik szélső golyót és engedjük vissza. A golyó mw1 impulzussal ütközik a golyósornak. Az ütközés pillanatában mennyi lesz a "golyórendszer" összimpulzusa?

OLVASÓ Természetesen mw1. De mi történik ezután?

SZERZŐ A golyósor hosszúságától függően egy ideig az egész rendszer nyurgalomban levőnek látszik.

OLVASÓ Elveszett a kezdeti impulzus?

SZERZŐ Nem, csak golyóról-golyóra terjed. Végül, elérve az utolsó golyót, az kivágódik. Ezzel a kísérlettel szemléltethetjük az impulzusdiffúziót.

OLVASÓ És ezt jelölted a T betűvel. Ez is megadható az Onsager-féle vezetési törvény szerinti formulával?

SZERZŐ Kissé bonyolultabb lesz az impulzusdiffúzió kifejezése, de lényegében itt is a vezetési tényező és a jellemző intenzív mennyiség gradiensének szorzata jelenti az alapot.

OLVASÓ Mi lesz az intenzív mennyiség? Egyáltalában: honnan tudjuk megállapítani a táblázatban nem szereplő kölcsönhatásokra, hogy egy-egy jellemző extenzív mennyiséghez milyen jellemző intenzív mennyiség tartozik?

SZERZŐ Ehhez egy kis időre térjünk vissza a termodinamika alapegyenletéhez:

Differenciáljuk az egyenlet mindkét oldalát valamely extenzív mennyiség (mondjuk az entrópia vagy a térfogat) szerint. Könnyen belátható, hogy ekkor a jobb oldal minden tagja zérus, kivéve azt, amelyben az illető extenzív mennyiség szerepel:

Az energia valamely extenzív mennyiség szerinti deriváltja éppen a hozzá tartozó intenzív mennyiséget adja, általában:

Ily módon: ha ismerjük valamely kölcsönhatáshoz tartozó energia-összefüggést és a megfelelő extenzív mennyiséget, akkor differenciálással kapjuk a jellemző intenzív mennyiséget. Nézzük mindjárt az impulzust! A makroszkopikus áramlás esetén a belső energia kifejezése a

kinetikus energiával bővül:

Végezzünk egy kis átalakítást. A jobb oldal utolsó tagjához adjunk hozzá, az utolsó előttiből pedig vonjunk le 1/2 mw2-et:

Jelöljük a zárójelben levő részt μ*-gal:

Ez az ún. látszólagos kémiai potenciál. Az mw2 tagot írjuk mw·w alakban. Ezzel:

Differenciáljuk az energiát az mw impulzus szerint. Formálisan:

Az impulzushoz tartozó jellemző intenzív mennyiség: az áramlási sebesség. (Figyelembe kell venni azt is, hogy a makroszkopikus áramlás a kémiai potenciál nyugalmi értékét módosítja!)

OLVASÓ Az impulzus konduktív áramsűrűsége ezek szerint valamilyen L vezetési tényező és az áramlási sebesség gradiensének szorzataként adható meg?

SZERZŐ Első közelítésben, igen. (Az egyenlet vektori alakjának levezetésekor ennél pontosabb levezetést adunk.) Tekintsük most csak az egydimenziós esetet, amelyben mind a divergencia, mind a gradiens operáció az x szerinti differenciálásra egyszerűsödik. Ezzel az impulzusmérleg

ahol a forrássűrűséget a külső erőtér (pl. a g nehézségi erőtér) x irányú komponense jelenti.

OLVASÓ A T impulzusdiffúzió helyére írhatjuk az L vezetési tényezővel a

kifejezést!?

SZERZŐ Még egy taggal, a sztatikus izotróp feszültséggel kell a képletet kiegészítenünk. A levezetést engedd el! (A tizenkettedik beszélgetésben még visszatérünk rá.) Itt csak annyit jegyzek meg, hogy a konduktív impulzustranszporthoz még egy erő tartozik, amely az s deformációs vektor inhomogenitásával kapcsolatos. Ez az impulzustranszport másik jellemző intenzív mennyisége. A div s= -p (a nyomás negatív értéke) is impulzusáram. A teljes konduktív impulzus-áramsűrűség:

OLVASÓ Az eddigiek során az L helyére mindig ismert fizikai mennyiségeket tudtunk behelyettesíteni.

SZERZŐ Most is így van. Először is: mi az értelme L-nek?

OLVASÓ Az általános megfogalmazásnak megfelelően: a jellemző intenzív mennyiség (most: a sebesség) egységnyi különbségének hatásra létrejövő áramsűrűség.

SZERZŐ Vagyis - definíció szerint - a newtoni viszkozitási tényező: az η dinamikus viszkozitás. Behelyettesítve:

Végezzük el a differenciálási műveleteket: Az első tag (a láncszabály alkalmazásával):

A szögletes zárójelben levő első tag (a konvektív impulzusáram-sörűség) hely szerinti differenciálja

"külön kezelve" a ρw impulzussűrűséget. A konduktív impulzusáram-sűrűség divergenciája (feltéve, hogy a dinamikus viszkozitás nem függ a helytől)

Ezzel :


Figyelembe véve, hogy konduktív tömegáram és tömegforrás hiányában a tömeg-mérlegegyenlet:

a második zárójelben levő tag kiesik. A helytől és időtől függő sebesség idő szerinti teljes differenciálhányadosa két tagból tevődik össze:

ugyanis

Ezek figyelembevételével egyenletünk:

ami ρ-val való osztás után megegyezik az egydimenziós Navier-Stokes egyenlettel:

ahol ν=η/ρ, a kinematikai viszkozitás.

OLVASÓ A levezetés lépésről lépésre megfelelt annak, amit a hővezetés vagy a diffúzió egyenletének bevezetésekor alkalmaztunk.
A különbség - ezek szerint - csak az, hogy most három ilyen egyenletünk van, minden egyes vektorkomponensre egy-egy skaláris mérlegegyenlet?

SZERZŐ Az ügy egy kissé bonyolultabb! Az előbbi levezetés csak egydimenziós esetre érvényes. Háromdimenziós esetre figyelembe kell vennünk pl. a vektor inhomogenitását is, ezért beszélgetésünk további részében az eddigieknél mélyebb matematikai ismeretekre van szükség.
 

A beszélgetés további részeit csak a matematikában járatos Olvasónak ajánljuk. A 10. és a további beszélgetések megértéséhez az itt következőkre nincs szükség.

Emlékezzünk vissza arra, hogy a skaláris extenzív mennyiségekre felírt egyenletben a megfelelő (ugyancsak skalár) intenzív mennyiségek inhomogenitását gradiensükkel adtuk meg, rövidítve:  y. Ezzel volt arányos a konduktív áramsűrűség. Az itt szereplő differenciáloperátor, a nabla olyan vektor, amelynek komponensei:

Ezt kellett szorozni a skaláris intenzív mennyiséggel. Eredményül egy vektort kaptunk, amelynek komponensei:

Hasonlóan a konvektív áramsűrűség esetében a skaláris extenzív mennyiség ρ sűrűségét kellett szorozni a w áramlási sebességgel, és így olyan vektort kaptunk, amelynek komponensei:

A skaláris extenzív mennyiségre vonatkozó mérlegegyenletben az áramok (áramsűrűségek) vektorok. Az áramsűrűségek a divergencia jel alatt szerepelnek, amely szintén nabla operátor. Az áramsűrűség-vektor és a nablavektor szorzata skaláris szorzat, eredménye skaláris szám, amelynek nagysága (ha j1, j2, j3 az áramsűrűség-vektor három komponense)

Formálisan vektoriális jellegű extenzív mennyiségek esetében is hasonlóan járunk el. A vektoriális extenzív mennyiség idő szerinti deriváltja a mérlegegyenlet első tagja. Az áramsűrűségek közül először írjuk fel a konvektív áramsűrűséget, az extenzív mennyiség sűrűségének és az áramlási sebességnek a szorzatát. Mivel mindkettő vektor, újra felelevenítjük a vektorokkal való szorzás szabályait. A legegyszerűbb a skaláris mennyiség és a vektor szorzata. Az eredmény maga is vektor. Ha az a vektor komponensei {a1, a2, a3}, akkor a c skaláris mennyiséggel való szorzás eredményeképpen kapott d = ca vektor komponensei {ca1, ca2, ca3}. A skalárral való szorzás az eredeti vektor irányát nem változtatja meg, csak c-szeresre nyújtja. Skalárt vektorral tehát csak egyféleképpen lehet összeszorozni. Ezzel szemben vektort vektorral háromféleképpen szorozhatunk (lényegében kétféleképpen, mivel a harmadik, a vektoriális szorzat, a második speciális esetei. Két vektor skaláris szorzata (a,b) vagy ab olyan skaláris mennyiséget ad, amelynek értéke az egyes komponensek szorzatának összege. Ha tehát az a vektor komponensei {a1, a2, a3}, a b vektoré pedig {b1, b2, b3}, akkor:

Két vektor diadikus szorzata (másodrendű) tenzor:

Hogyan adjuk meg a konvektív áramsűrűséget? Milyen szorzást kell alkalmaznunk? Skaláris, vektoriális vagy diadikus szorzást?

OLVASÓ Azt gondolom, ez nem találgatás kérdése!

SZERZŐ Valóban nem, de az eddigiekből már következtethetünk a helyes válaszra. A skaláris extenzív mennyiségekhez tartozó áram: vektor. Más szóval a nulladrendű tenzorhoz tartozó áram: elsőrendű tenzor.

OLVASÓ Ezek szerint a vektoriális (vagyis elsőrendű tenzor) extenzív mennyiséghez tartozó áram másodrendű tenzor. Akkor viszont diadikus szorzatot kell vennünk.

SZERZŐ Helyes! A vektoriális extenzív mennyiség sűrűségének és az áramlási sebességnek diadikus szorzata adja a konvektív áramot, ami megfelel az előbb egyetlen komponensre felírt ρ1w áramsűrűség-vektor tenzori alakjának:

OLVASÓ Most már a konduktív áramot is fel tudnánk írni! Ez lesz az előbbi T1 tenzori alakja. Ismerve a kölcsönhatáshoz tartozó jellemző intenzív mennyiséget (ami szintén vektor) annak y1 komponensével

alakban írható fel a konduktív áramsűrűség x1 komponense. A tenzort mindhárom komponensre nyilván a nablavektor és a jellemző intenzív mennyiség diadikus szorzata adja:

szorozva a megfelelő vezetési tényezővel.

SZERZŐ Itt van az egyetlen formai eltérés a skaláris mennyiségekkel való számolástól. Amit felírtál (ill. annak transzponáltja) valóban mértéke a vektoriális mennyiség inhomogenitásának, de csak egyik mértéke. Neve: gradiens tenzor, a gradiens vektortól megkülönböztetésül

a jelölése. Az inhomogenitás mértékének másik jellemzője a  -vektor és a jellemző intenzív mennyiség skaláris szorzata, amely - mint tudjuk - a divergencia:

A konduktív áramsűrűséget e két (diadikus és skaláris) szorzatnak, a megfelelő vezetési tényezőkkel szorzott összege adja.

OLVASÓ Tehát egy tenzort és egy skalárt fogunk összeadni? Lehetséges ez?

SZERZŐ Természetesen nem. A fizikai egyenletek egyes tagjainak nemcsak dimenzionálisan, hanem tenzoriális rangjuk szerint is meg kell egyezniük egymással. Nem lehet skalárt vektorral vagy tenzorral, ill. vektort tenzorral összeadni. A nabla és a vektoriális intenzív mennyiség skaláris szorzatát ezért még az ún. egységtenzorral kell megszorozni. Ez olyan tenzor, amelynek mátrixában a főátló elemei 1, a többi elem 0 értékű:

Az egységtenzorral szorozva egy skaláris mennyiségei olyan tenzort kapunk, amelynek mátrixa a főátlón kívül csak 0 elemeket tartalmaz:

így tehát a konduktív áramsűrűség tenzora két tagból áll:

ahol L1 és L2 a megfelelő vezetési tényezők. Szó volt már arról, hogy a nabla és valamely vektor diadikus szorzatát szintén gradiensnek (gradiens tenzor) nevezik, de jelölése: Grad. Hasonlóan a tenzorra alkalmazott "divergencia operációnak" is külön jelölése van: Div. Ezek után formálisan már mindenben követhetjük a korábbi levezetést. Először is felírjuk a vektoriális extenzív mennyiségre vonatkozó mérlegegyenlet általános formáját:

amely láthatóan hasonlít a skalár extenzív mennyiségre felírt egyenlethez.

OLVASÓ Az egyenlet bal oldalán minden tag vektor, így természetesen a q forrássűrűség is az. Nem nagyon ismerek még rá a Navier-Stokes egyenletre.

SZERZŐ A konduktív impulzus-áramsűrűséget más szóval feszültségi tenzornak is nevezik. A kifejezésbe mindjárt a megfelelő vezetési tényezőket írjuk be:

OLVASÓ A vezetési tényezőkről korábban azt mondtuk, hogy olyan számok, amelyek megadják, hogy a jellemző intenzív mennyiség egységnyi változása milyen mértékű extenzív áramot vált ki. Adott esetben pl. a 2η azt az impulzusáramot adja, amely egységnyi sebesség-gradiens hatására jön létre. Ez viszont a definíció szerint - ha jól emlékszem - éppen a viszkozitási, mégpedig a dinamikus viszkozitási tényező. De miért szerepel itt a 2-es szorzó?

SZERZŐ Csak az egyszerűség kedvéért, később úgyis kiesik. A Grad w  ugyanis - mint minden tenzor - felbontható egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor összegére. A Grad w tenzorról kimutatható, hogy feltétlenül szimmetrikus, tehát az antiszimmetrikus része zérus:

OLVASÓ Így tehát a feszültségtenzorban az η előtt szereplő 2-es szorzó és a Grad w szimmetrikus része előtti 2 szorzó "kiegyenlíti egymást". A konduktív impulzusáram-sűrűség, vagyis a feszültségtenzor

alakban írható fel. Most már a mérlegegyenlet bal oldalának minden tagját ismerjük.

SZERZŐ Az előbb már említett - és a későbbiekben még részletesen tárgyalásra kerülő - ok miatt a feszültségtenzornak még egy tagja van -pI, vagyis a hidrosztatikus feszültség és az egységtenzor szorzata. Az impulzus mérlegegyenlete tehát a következő alakú lesz (a feszültségtenzort átvíve a jobb oldalra):

OLVASÓ Ez lenne a levezetés végeredménye? Még mindig nem ismerem fel a Navier-Stokes egyenletet.

SZERZŐ Pedig ez már lényegében az. Ismerősebb alakhoz jutunk néhány átalakítással. Tudjuk, hogy

továbbá, a nablavektor formális alkalmazásával

Az egyenlet bal oldala tehát

alakban írható. A tömegtranszport egyenletéből

Ha tömegforrás és diffúziós áram nincs (ill. elhanyagolható a konvektív tömegáramhoz képest), akkor

ezért az impulzustranszport egyenletében baloldalon az első szögletes zárójelben levő rész

miatt kiesik. A jobb oldalon képezzük a feszültségtenzor divergenciáját:


Divergenciamentes áramlás, vagyis

esetén a második tag zérus, tehát

Egy adott áramvonal mentén mozgó részecskét vizsgálva, az impulzus mérlegegyenletének bal oldalán a második szögletes zárójelben levő

Ezek figyelembevételével:

amely már formailag is megegyezik az ismert Navier-Stokes egyenlettel.

OLVASÓ Erről a levezetésről igazán nem állíthatod, hogy egyszerű volt! Az viszont igaz, hogy megint bebizonyítottuk egy ismert egyenletről, hogy mérlegegyenlet. Közben azonban néhány feltételt szabtunk, amelyeket jó lenne összefoglalni.

SZERZŐ Az egyik feltételezés, hogy tömegforrás és konduktív tömegáram (diffúzió) nincs:

A második, hogy az áramlás divergenciamentes:

Ez a kettő együtt csak akkor igaz, ha a közeg összenyomhatatlan, vagyis a sűrűség idő szerinti teljes differenciálja zérus. Ekkor ugyanis

miatt div w =0 esetén fenn kell állnia a

összefüggésnek is, ami azonos az összenyomhatatlan közeg

jellemzőjével. Összesen ennyi kikötésünk volt.

OLVASÓ Ezek szerint pl. kémiai reakciók esetében, amikor a tömegnek forrása van, a Navier-Stokes egyenlet nem használható?

SZERZŐ De igen, ha figyelembe vesszük a q0 miatt fellépő tagokat. Erre a kémiai reakciókkal kapcsolatban még majd visszatérünk.

OLVASÓ Azt már könnyű felismerni, hogy a levezetett egyenlet ekvivalens a

alakkal. Eszerint az impulzustranszporttal már nincs több dolgunk? Áttérhetünk más kölcsönhatásokra?

SZERZŐ Még nem! Az impulzussal együtt ugyanis kinetikai energia is áramlik, igy ennek mérlegegyenlete is hozzátartozik a folyamat jellemzéséhez.

OLVASÓ Szerencsére a kinetikai energia skaláris extenzív mennyiség, és így remélhetőleg hamarabb végzünk vele, mint az impulzussal!

SZERZŐ Nem is nyúlunk vissza az általános mérlegegyenletig. Tudjuk ugyanis, hogy a kinetikai energia az impulzus és a sebesség skaláris szorzatának fele. Ez azt jelenti, hogy az impulzus mérlegegyenletének minden tagját skalárisan szorozva w-vel, közvetlenül kapjuk a kinetikai energia mérlegegyenletét. Vegyük mindjárt az általad megadott formát (de a jobb oldalon hagyjuk meg a Div T jelölést), végigszorozva a ρ tömegsűrűséggel és a w sebességgel:

A harmadik tag egymásra merőleges két vektor skaláris szorzata, amely mindig zérus. Adjuk hozzá ehhez az egyenlethez (a forrás és diffúzió figyelembevétele nélkül) a tömeg mérlegegyenletét, de szorozzuk meg minden tagját
-tel: 
Vegyük figyelembe a következő egyenlőségeket:


ill. (a tenzorok skaláris szorzatával):

így a kinetikai energia mérlegegyenlete:

Az egyenletet az általános mérlegegyenletből közvetlenül is megkapjuk, ha tudjuk, hogy a kinetikai energia konduktív árama -(T,w), forrása a külső erőtér által végzett (ρw, g) munka és a -T:( ow), az ún. disszipáció. Ez a kinetikai energiának az a része, amely belső energiává alakul. (A belső energia egyenletében ugyanez a tag, mint pozitív forrás lép fel.) Izotróp áramlás esetén, súrlódásmentes közegben a feszültségtenzor csak az izotróp feszültségből (a negatív nyomásból) áll, T= -p, így a konduktív  áramsűrűség:

a disszipáció pedig:

ami divergenciamentes áramlás esetében zérus. A kinetikai energia mérlegegyenletét még abban az egyszerű esetben sem lehet közvetlenül integrálni, ha az áramlás potenciálos

potenciális energia is létezik

és a nyomás csak a sűrűség függvénye (izoterm áramlás):

ahol φ a sebességi potenciál és U a tömegegység potenciális energiája. Integrálható formát úgy kapunk, ha rendre kiemeljük minden tagból a ρw tényezőt, amit megtehetünk, ha felhasználjuk a

azonosságokat. A számítást elvégezve, a potenciálos áramlás energiaegyenletét nyerjük:

Stacioner esetben ez a közismert Bernoulli-egyenlet:

OLVASÓ Ezt a képletet minden mérnök ismeri! Hiszen pl. ezzel számítjuk a különböző mérőeszközökkel előállított Δp nyomásesésből az áramlási sebességet.

SZERZŐ Az egyenletnek számos alkalmazása van. Még egy megjegyzést: amikor valamilyen extenzív mennyiség konvektív áramlását is figyelembe kell venni, akkor az adott extenzív mennyiségre vonatkozó egyenleten kívül még további négy egyenletre van szükség: a kinetikai energia, valamint az impulzus mérlegegyenletére, amely utóbbi (vektoregyenlet lévén) három skaláris egyenlettel egyenértékű.

OLVASÓ Úgy érzem, hogy jó lenne az eddigieket összefoglalni! Megállapítottuk, hogy az általános mérlegegyenlet vektoriális extenzív mennyiségekre is érvényes. A vektorszámítás néhány szabályának felelevenítésével levezettük az impulzus és a kinetikai energia mérlegegyenleteit. Ennek során a következő feltételezéseink voltak:

1. Konduktív tömegáram (diffúzió) és tömegforrás nincs, ill. elhanyagolható.
2. Az áramló közeg összenyomhatatlan.
Ennyi elegendő volt ahhoz, hogy a Navier-Stokes egyenlet ismert alakját megkapjuk: A Bernoulli egyenlet levezetéséhez azonban még további feltételezésekre is szükség volt:
3. Létezik potenciális energia (a külső erőtér potenciálos).
4. A nyomás csak a sűrűség függvénye, az áramlás izotermikus.
SZERZŐ Ezzel le is zárhatjuk témánkat! Úgyis hosszabbra sikerült ez a beszélgetésünk, mint szerettem volna.

Vissza a tartalomjegyzékhez Következő beszélgetés


Megjegyzések


A tenzor transzponáltját az eredeti tenzorból úgy kapjuk, hogy az ún. főátlóra tükrözzük minden elemét. Így a k-adik sor j-edik eleme a transzponált tenzor j-edik sorának k-adik eleme lesz:



A feszültségtenzor szimmetriája az impulzusmomentum (perdület) megmaradásának a következménye. A szimmetria fizikailag azt fejezi ki, hogy az impulzus (vektor!) x1 irányú komponensének x2 irányú áramlása egyenlő az impulzus x2 irányú komponensének x1 irányú áramlásával.


Ez az egyenlőség a vektorszámításban kevésbé járatos Olvasó számára könnyebben érthetővé válik, ha a Div (ρwow) vektor egyik (i-edik) komponensét tekinti:

Vektorálisan ez azonos a felírt összefüggéssel.


Két tenzor skaláris szorzatát kettősponttal jelöljük. Eredménye skalár. Ha az A tenzor komponensei aik, a B tenzoré bik, akkor a skaláris azorzat:

Egyszerűen belátható a következő egyenlőség:

Ha ezeket összegezzük, minden i-re, k-ra, akkor a szükséges

összefüggést kapjuk. Szavakban: a T tenzor és a w vektor skaláris szorzatának divergenciája egyenlő T és a Grad w tenzorok, valamint a w és a Div T vektorok skaláris szorzatainak összegével.