Nyolcadik beszélgetés

Egyszerű rendszerek

Ossz fel minden problémát, amelyet vizsgálsz, annyi részre, ahányra lehetséges és szükséges ahhoz, hogy könnyebben megoldhasd.
DESCARTES
OLVASÓ Végre hozzáfoghatunk a műszaki problémák boncolgatásához! Szeretném már gyakorlati példákra lefordítva látni - ahogy Te mondtad - "a transzportelmélet rendszerező erejét".

SZERZŐ Nézzük először a legegyszerűbb feladatokat! Vizsgáljunk olyan rendszereket, amelyekben nincs forrás, és csak egyetlen extenzív tulajdonság terjed konduktív áramlással, vagyis konvektív áram sincs.

OLVASÓ Túlzottnak tűnik ez az egyszerűsítés. Nem tudom elképzelni, hogy ennek valamilyen gyakorlati haszna lehet. Van egyáltalán ilyen egyszerű műszaki feladat?

SZERZŐ A valódi rendszerek mindig összetettek, több extenzív mennyiség egyidejű áramlásával kapcsolatosak, és igen gyakran a folyamat során a forrás erőssége is változik. Számos olyan műszaki folyamatot ismerünk azonban, amelynek vizsgálatához elegendő egyetlen extenzív mennyiség áramát tekintenünk. Ettől függetlenül, két okból is helyes, ha előbb az elképzelt, egészen egyszerű feladatokat elemezzük. Először: így jobban tudunk magáról a módszerről beszélni; másodszor: a legbonyolultabb rendszer is egyszerű jelenségekből tevődik össze. Előbb tehát részeire kell bontani a folyamatot és a részeket külön kell tanulmányozni. E nélkül nem tudunk majd kellőképpen tájékozódni az összetett jelenség törvényszerűségei között.

OLVASÓ No ez azért meggondolandó, hiszen a műszaki rendszerek általában annyira bonyolultak, hogy még akkor sem tudjuk megmondani hogyan fog egy összetett rendszer viselkedni, ha előre ismerjük az összes egyszerű részfolyamatot.

SZERZŐ A részfolyamatok ismerete valóban nem elegendő az összetett rendszer viselkedésének leírásához. Ennek az az oka, hogy - mint azt az Onsager összefüggés is tükrözi - az egyes részfolyamatok között is fellépnek kölcsönhatások. Ne feledd azonban ENGELS szavait: "a gondolkodás épp annyira áll tudattárgyaknak elemekre való szétbontásában, mint összetartozó elemeknek egységgé való egyesítésében. Analízis nélkül nincs szintézis." . NEUMANN JÁNOS, a világhírű magyar matematikus a bonyolult rendszerek vizsgálatával kapcsolatban félreérthetetlenül leszögezi: "Világos, hogy részekre kell osztani a problémát, amelyet képviselnek." De azt is hozzáteszi, hogy "a probléma második része annak megértése, hogyan szerveződnek ezek az elemek egésszé, és az egész együttes működése hogyan írható le ezen elemek segítségével". Nem idézetekkel akarlak meggyőzni, de fogadj el annyit, hogy van "műszaki értelme" az egyszerűsített folyamat elemzésének is.

OLVASÓ Ez természetes! De nem szeretném, ha beszélgetésünket a felhozott példák "papírszagúvá" tennék, és eltávolodnánk a gyakorlati élettől!

SZERZŐ Megint a gyakorlatot említed, mintha legalábbis eddig a "cserebogarak hallhatatlanságáról" beszélgettünk volna! Ne haragudj, de erre legfrappánsabban FURNAS-nak, az USA egyik legnagyobb ipari kutató intézete vezetőjének szavaival válaszolhatok. Ő, aki igazán nem minősíthető elefántcsonttoronyba zárkózott tudósnak, írja a következőket: "Az ipari kutatás egyes vezetői gyakran büszkélkednek azzal, hogy gyakorlati emberek. Meg kell azonban jegyezni, hogy a gyakorlat nem választható el a tudományos felkészültségtől, … hiszen az új problémák megoldása nem mindig kézenfekvő, ellenkező esetben azokat valaki már megoldotta volna."

OLVASÓ Vitathatatlanul igaza van FURNAS-nak! De Te miért vagy szinte allergiás a "gyakorlat" szóra?

SZERZŐ Mert nem értem, miért kell annyit hangoztatni a gyakorlat szót! Magam is gyakorlati ember vagyok, nem is vállalkoznék arra, hogy valamelyik ún. alaptudomány fejlesztésében vegyek reszt. Nem hiszem azonban, hogy azzal szolgáljuk a gyakorlatot, hogy állandóan hangoztatjuk ezt a szót. Próbáljunk meg kevesebbet beszélni, és többet tenni a gyakorlatért. Ez viszont megfelelő elméleti és kísérleti képzettség nélkül nem megy!

OLVASÓ Véleményem szerint más jellegű képzettséggel kell rendelkeznie egy elméleti tudósnak és mással egy gyakorlati szakembernek.

SZERZŐ Ez igaz, de nem attól válik valaki "gyakorlati emberré", hogy nem ért az elmélethez és mindent az ún. műszaki érzéke alapján akar megoldani. A tudatlanságot, képzetlenséget "gyakorlati" álarc mögé rejteni, enyhén szólva félrevezetés. Őszinte legyek? Ezt csak a mérnöki szakmában lehet megcsinálni. A sakkmester "gyakorlata" a sakkozás. Elképzelhető olyan sakkmester, aki pl. a megnyitáselmélettel nem foglalkozik, méghozzá nagyon intenzíven? Milyen jogász az, aki nem ismeri a legújabb törvényeket? Lehet-e karmester abból, aki zeneelmélettel nem foglalkozik?

OLVASÓ Nem nagyon találók ezek a példák, hiszen a mérnöknek elsősorban termelési problémákat kell megoldania!

SZERZŐ Azt azonban tudod, hogy a termelésben érvényesülő törvényszerűségeket is az alaptudományok tárják fel. Tisztánlátásunkat, munkánk eredményességét és hatásosságát akadályozza, ha nem ismerjük őket. Éppen ezért az alaptudományok ismerete nélkülözhetetlen a kellő színvonalon végzett, tehát hatásos, gazdaságos és eredményes gyakorlati műszaki tevékenységben.

OLVASÓ Nem lehetne ezt az "ismerkedést" csak arra korlátozni, ami közvetlenül szükséges a mindennapi munkához?

SZERZŐ Hogyan választanád ki azokat a részeket, amelyek szerinted szükségesek, ha nem ismered az egészet? És ha - valamilyen csodás sugallatra - képes lennél ezeket kiválasztani, hogyan értenéd meg a kiragadott részeket, a többi (az előzmények, a levezetések) nélkül. Engedj meg ezzel kapcsolatban még egy hasonlatot. Nyilván tanultál nyelveket. Mond, mit tanultál először: Nyelvtant vagy társalgási zsebkönyvet?

OLVASÓ Tulajdonképpen mind a kettőt. A társalgási zsebkönyvekben egészen jó kifejezéseket lehet találni speciális helyzetekre: utazással, vásárlással vagy művelődéssel összefüggő beszélgetésekre.

SZERZŐ És mit gondolsz, mire mennél azzal, ha a nyelvtan és a szavak ismerete nélkül betéve megtanulnál egy ilyen zsebkönyvet?

OLVASÓ Azt hiszem semmire! Egyrészt nem megfelelő helyzetekben mondanék olyasmit, ami nem illik oda, és ezzel nevetségessé válnék, másrészt, ha valamelyik válasz nem szó szerint ugyanolyan lenne, mint a könyvben, már nem érteném meg. De nagyon elvont ez a kérdés. aligha akad olyan ember, aki csak a társalgási zsebkönyvet tanulná meg.

SZERZŐ Nem veszed észre, hogy viszont a műszaki ismeretek elsajátítása során elég sokan vannak, akik éppen ezt - az általad is elítélt - módszert követik? Megtanulnak összefüggéseket, amelyek csak valamely speciális helyzetre érvényesek. Kézikönyvekben és szakcikkekben búvárkodva keresik aktuális feladatuk megoldását. Mindezt anélkül, hogy a "nyelvtant" ismernék. Ne értsük félre egymást: összefüggések, képletek ismerete előnyös lehet, kézikönyvek és szakcikkek tanulmányozására szükség van. De! Nagyon ritka az olyan "szerencse", hogy pontosan a mi feladatunk megoldását tartalmazó cikkel találkoznunk. (Elegendő egy "kis eltérés" és ha észrevesszük: a cikk használhatatlan, ha viszont nem vesszük észre: "megoldásunk" használhatatlan!) A műszaki tudomány nem képletek gyűjteménye, ahogy a zene sem azonos a hangjegyek sokaságával. Rend, "törvény" nélkül a hangok sorozata nem zene, a szavak sorozata nem nyelv. A nyelvben a rend, a törvény: a nyelvtan. A műszaki tudományokban is szükség van rendre, amelyekből a képletek, a szabályok tudományos ismeretté válnak. Amikor valamilyen elmélet - mégpedig a mindennapos műszaki gyakorlatot közvetlenül irányító és segítő elmélet - megismerését tűzzük ki célul, akkor tartanunk kell magunkat az elmélet rendszeréhez, követnünk kell az általa megszabott logikai sorrendet. Mint minden gondolkodásra, a műszakira is érvényesek a megismerés dialektikájának törvényei.

OLVASÓ Csak nem akarsz még filozófiával is foglalkozni?

SZERZŐ Akár akarok, akár nem, foglalkozni kell. Aki gondolkodik, az filozofál. Ha nem ismeri a filozófia törvényeit, könnyen lehet, hogy helytelenül, illogikusan gondolkodik. ENGELS írja, hogy egyesek "azt hiszik, hogy felszabadították magukat a filozófiától, ha nem veszik tudomásul vagy becsmérlik. Mivel azonban gondolkodás nélkül nem jutunk előre és a gondolkodáshoz a gondolkodás kategóriáira van szükség… ezért ők is épp úgy szolgái a filozófiának, csak éppen hogy sajnálatosképpen a legrosszabb filozófusok legsilányabb vulgarizált maradványainak szolgái". Visszatérve beszélgetésünk alapkérdéséhez: mennyire engedhető meg, hogy egyszerű jelenségekkel foglalkozzunk, mikor minden reális rendszer összetett? Nagyon gyakori hiba - főként kezdő mérnökök esnek bele - hogy valamely jelenség, berendezés vizsgálatakor "mindent" regisztrálni akarnak, mindent le akarnak írni, meg akarnak ismerni, a legkisebb részletet sem hagyva ki. Teljesen általános elvként leszögezhetjük, hogy ez nem lehetséges, de nem is szükséges. A vizsgálatok során csak arra kell törekedni (ez is éppen elég nagy feladat!), hogy a folyamatra vonatkozó lényeges, meghatározó jellemzőket, törvényeket ismerjük meg.

OLVASÓ De nem jobb, ha ennek érdekében minél többet és többfélét mérünk? És csak az után döntjük el, hogy mi volt a lényeges és mi nem?

SZERZŐ A sok mérés feltétlenül előnyös - ha van rá mód - de még ez sem ér sokat, ha előzetes elméleti megfontolások nélkül végezzük. "A semmiféle elmélettel sem értelmezhető megfigyelések teljesen haszontalanok" - írja SELYE. Az elméleti megfontolás a közvetlen szemléletből kiválogatja a lényeges részt, a többitől elvonatkoztat (absztrahál). "Az eleven szemlélettől az absztrakt gondolkodáshoz és ettől a gyakorlathoz - ez az igazság megismerésének, az objektív realitás megismerésének dialektikus útja" (LENIN). Elhanyagolás, absztrakció nélkül megfelelő magyarázóelmélet nem képzelhető el.

OLVASÓ És nem eshetünk abba a hibába, hogy épp a lényeget hanyagoljuk el?

SZERZŐ Mindaz, amiről eddig szó volt, ahhoz is segítséget nyújt, hogy ne kövessünk el ilyen hibát. A legbonyolultabb technikai rendszerek működése is "elemi kiegyenlítődési folyamatok összessége". E kiegyenlítődési folyamatok felismeréséhez elegendő viszonylag rövid ideig tanulmányozni a szakterületet. Ennek alapján már mindazon fizikai változók, jellemző extenzív és intenzív mennyiségek is megismerhetők, amelyek a folyamat szempontjából lényegesek. Az összetett rendszer részfolyamatait az egyes extenzív mennyiségek áramlása jelenti. Dinamikai törvényeik már ismeretesek: ezek a mérlegegyenletek. Az egyenletben szereplő vezetési tényezők (sokszor még a forrássűrűségek is) számszerű értékeire a szakirodalomban találhatunk anyagot.

OLVASÓ És ha vannak ilyen számadatok, mi a biztosítéka annak, hogy akkor is használhatók, ha ezek - az általad részfolyamatoknak nevezett - elemek együttesen, egymás mellett és egymással is kölcsönhatásban mennek végbe?

SZERZŐ A részfolyamatok összege még valóban nem jelenti az együttes folyamatot, de mindenesetre tájékoztat a várható viszonyokról. Vizsgálata nem helyettesíti, hanem csak megelőzi az összetett rendszer vizsgálatát. Van azonban az elemekre bontásnak egy másik módja is, amelyet az előbbivel együtt kell alkalmazni, s ez a rendszer részrendszerekre bontása.

OLVASÓ Megint egy új fogalommal hozakodsz elő! Mit értesz részrendszeren?

SZERZŐ Arról már beszélgettünk, hogy a rendszer viselkedése szempontjából rendkívül fontos szerepük van a szigetelőknek. A szigetelők bizonyos extenzív mennyiségek áramlását megakadályozzák, ill. - anyagi tulajdonságaiktól függően - korlátozzák. Jellemző rájuk, hogy meghatározott intenzív mennyiségekhez tartozó vezetési tényezők értéke igen kicsi (ellenállásuk igen nagy). Ebből következik, hogy "abszolút szigetelő" nem létezik: az intenzív mennyiségek gradiensének egy adott értéke felett a "szigetelőn" áthaladó extenzív áram már jelentőssé válik. A rendszert környezetétől szigetelők választják el. Együttesüket a rendszer külső peremének nevezzük. Vizsgálataink csak e peremen belüli részt érintik. Erre a belső részre vonatkozóan írjuk fel a mérlegegyenleteket. A perem jellegének ismerete nélkül azonban semmit sem tudunk mondani a rendszer és a környezete közötti kölcsönhatásról. (A mérlegegyenletek csak az egyértelműségi feltételekkel együtt képezik a rendszer matematikai modelljét.) Szigetelők azonban nemcsak a rendszer és környezete között, de a rendszeren belül is vannak. Ezek a belső szigetelők a rendszert jól elhatárolható részekre bontják fel, és a rendszer belső peremét alkotják. Egy-egy ilyen belső peremmel elválasztott részt nevezünk részrendszernek.

OLVASÓ A részrendszerek tehát egyszerűen az egész rendszer falakkal geometriailag körülhatárolt részei?

SZERZŐ Nem mindig kell tényleges falakra gondolni! A lényeg az, hogy olyan felületről van szó, amely bizonyos extenzív tulajdonságok áramlását megakadályozza, ill. korlátozza. Így belső perem lehet olyan fiktív (elképzelt) felület is, amely pl. a kémiai reakciók határát jelzi egy rendszeren belül. Egy tűztérben a láng vége utáni keresztmetszet elválasztja a kémiai reakciót tartalmazó részrendszert attól, amelyben már nincs reakció. A részrendszerekre bontással lehetővé válik, hogy az egyes (az összetettnél lényegesen egyszerűbb) részeket elkülönítve vizsgáljuk, és a részeredményeket viszonylag egyszerűen illesszük. ("Szemléletesen" azt mondhatjuk, hogy ami két részrendszer határán az egyik rendszer vizsgálatának eredménye, az lesz a másik vizsgálatának feltétele.)

OLVASÓ Ez így túl absztraktnak tűnik, de a lényeget azt hiszem értem! Arról van szó, hogy nem szabad egyszerre sokat markolni, mert akkor keveset fogunk.

SZERZŐ Ez minden megismerési folyamatra, kísérleti és az elmélkedő tevékenységre egyaránt aranyszabály. Idézzük GALILEI szavait: "Ha olyan embernek, aki még sohasem látott lépcsőt, egy tornyot mutatnának és megkérdeznék, fel tudna-e jutni annak tetejére, azt hiszem feltétlenül nem-mel felelne, mert nem tudná elképzelni, hogy a célt másképp, mint repülve, elérhetné. De mutassunk neki egy követ, amely egy fél lábnál nem magasabb, és kérdezzük meg, hogy fel tudna-e hágni rá, bizonyosan igennel felelne. Sőt azt, hogy nemcsak egyszer, de akár tízszer, hússzor vagy százszor is könnyűszerrel fel tud reá lépni. Ha tehát ezután egy lépesőt mutatnánk neki, melynek segítségével - saját bevallása szerint kényelmesen elérné az előbbi magasságot, mely még az imént elérhetetlennek látszott előtte, akkor ő maga is nevetne és elismerné meggondolatlanságát."

OLVASÓ "Megadom magam." Folytasd az egyszerűsített jelenségek "speciális törvényszerűségeit" és az általános mérlegegyenlet közötti kapcsolat vizsgálatát.

SZERZŐ Elsőként tekintsünk egy tiszta termikus kölcsönhatást, amelynek során energiaáram csak a hőmérsékletkülönbség hatására lép fel, (az entrópián kívül) más extenzív mennyiség nem áramlik, és a folyamat forrásmentes.

OLVASÓ Ilyen kölcsönhatás van pl. egy kívülről termikusan szigetelt rúdban, amelynek két vége különböző hőmérsékletű.

SZERZŐ A műszaki életben nagyon sok ilyen jellegű kölcsönhatással találkozunk, ezeket hővezetésnek nevezik. Az alapegyenlet levezetése nagyon egyszerű. A gondolatmenet a következő: A tiszta hővezetés esetében csak termikus kölcsönhatás van, tehát az áramló extenzív mennyiség a belső energia. Az ehhez tartozó intenzív mennyiség a hőmérséklet. Ezt a 3. beszélgetés táblázatából rögtön megállapíthatjuk. Feltételezzük, hogy az összes többi intenzív mennyiség homogén eloszlású, vagyis - a hőmérsékleten kívül - valamennyi gradiense zérus. Akkor az általános mérlegegyenletbe az e energiasűrűséget és a T hőmérsékletet behelyettesítve, a

összefüggést kapjuk. Let az a vezetési tényező, amely megmutatja, hogy egységnyi hőmérséklet-különbség hatására milyen nagy a belső energia árama.

OLVASÓ Ez tehát az ún. hővezetési tényező, a λ.

SZERZŐ Pontosabban annak negatívja: Let=- λ. A továbbiakban vegyük figyelembe, hogy a belső energia sűrűsége függ a hőmérséklettől és a tömegsűrűségtől:

tehát az idő szerinti differenciált, a láncszabály alkalmazásával, a következő formában adhatjuk meg:

Ha a tömegsűrűség a vizsgált időtartamon belül nem változik

a jobb oldal második tagja zérus. A belső energia sűrűségének hőmérséklet szerinti deriváltja a fajhő és a tömegsűrűség szorzata:

A mérlegegyenlet első tagja tehát:

Az egyenlet minden tagját cvρ-val osztva:

Ez a hővezetés általános differenciálegyenlete, a Fourier-egyenlet. (A λ/cvρ törtet rövidítve a betűvel jelölik, és a neve: hőmérséklet-vezetési tényező.) Az egyenlet egyszerűbb alakra hozható, ha feltételezhetjük, hogy a hőmérséklet-vezetési tényező állandó érték (nem függ a helytől). Ekkor a a "div" jel elé kihozható:

A div grad operáció rövidített jelölése a Laplace-operátor, jelképesen:

Nem hiszem, hogy ez a jelképes rövidítés problémát okoz, hiszen a nabla operátort már ismerjük. A Laplace-operátor a nabla négyzeteként is írható:

(A nabla elsőfokú, a Laplace-operátor pedig másodfokú differenciáloperátor.) Segítségével a Fourier-egyenlet egyszerű alakban írható fel:

OLVASÓ Ez mindenesetre jó volt arra, hogy a mérlegegyenletek és a közismert Fourier-egyenlet kapcsolatát "elhiggyük".

SZERZŐ No, azért ennél többről van szó! Ezen az úton jutva el a Fourier-egyenlethez - és nem egyszerűen memorizálással - az is világos lesz számunkra, hogy mikor használhatjuk. Csak abban az esetben, ha a levezetés során tett feltételek a tényleges jelenségre is teljesülnek. Így tehát, ha

Ha ezek a feltételek nem teljesülnek, más alakú összefüggést kell keresnünk.

OLVASÓ Ezekről nyilván később még szó lesz! Most szükségünk lenne a megfelelő egyértelműségi feltételek ismeretére is, amelyek azonban csak akkor adhatók meg, ha nem általában a jelenségtípusról, hanem egy konkrét berendezésről beszélünk. Nem tudnánk mégis valamit mondani erről?

SZERZŐ Példaképpen felírhatunk egyféle peremfeltételt, az ún. Biot feltételt. Fizikai tartalma: a rendszerből a peremre érkező és a peremről a környezetbe távozó energia-áramsűrűség megegyezik egymással. (Érthető: a peremen magán nincs "energiatorlódás".) A konduktív áramokról tudjuk, hogy a jellemző intenzív mennyiség különbségével, ill. gradiensével arányosak, így a peremre érkező energia-áramsűrűség:

A peremről a környezetbe távozó energiaáram a perem és a környezet hőmérséklet-különbségével lesz arányos, az arányossági tényező az α
hőátadási tényező:

A két áramsűrűség egyezése folytán

Ez az említett Biot-feltétel. Az α hőátadási tényező a perem anyagától, valamint a perem és a környezet közötti kölcsönhatás formájától függ, vagyis szintén vezetési tényező, a szigetelést jellemzi. Mennél kisebb a számértéke, annál nagyobb a perem ellenállása a környezettel való termikus kölcsönhatással szemben.

OLVASÓ Ezek szerint a tökéletes termikus szigetelést α=0 jelenti.

SZERZŐ Helyesebben jelentené, hiszen tökéletes szigetelés csak elméletben létezik! A gyakorlatban minden szigetelő vezetőképessége véges. Ez az oka annak, hogy az intenzív mennyiségek igen nagy gradiense esetén jelentős lehet a szigetelőn átáramló extenzív áram. Elektromos szigetelők pl. meghatározott feszültségkülönbség hatására "átütnek", az elektromos töltés árama olyan jelentőssé válik, hogy a szigetelő anyagi tulajdonságait megváltoztatja: a szigetelőből vezető lesz. Mielőtt azonban más kölcsönhatásokkal kezdenénk foglalkozni, tekintsük át röviden mit is csináltunk a levezetés során!

OLVASÓ A lépések a következők voltak:

1. Megállapítottuk, hogy tiszta termikus kölcsönhatásról van szó.
2. Ennek alapján "kikerestük" a jellemző extenzív és intenzív mennyiségeket és behelyettesítettük őket az általános mérlegegyenletbe.
3. A belső energia sűrűségének idő szerinti differenciálját láncdifferenciálással átalakítottuk a hőmérséklet idő szerinti differenciáljává. Ekkor került helyére az a hőmérséklet-vezetési tényező.
Így kaptuk meg a Fourier-egyenletet.

SZERZŐ Ezt a három lépést követjük minden további esetben. Ez teszi majd lehetővé, hogy az egyes konkrét esetekben ne csak a folyamatot leíró ismert egyenlethez jussunk el, hanem azt is rögzítsük, hogy milyen feltételek mellett érvényes - tehát használható - az egyenlet. Vegyük mindjárt az ún. tiszta diffúziót. Ennek ismert alapegyenlete a Fick-egyenlet. Ismét bizonyos feltételezésekkel élve jutunk el az általános formától a Fick-egyenletig. Kövessük lépésenként a feltételezéseket. A tiszta diffúzió esetében csak kémiai anyagi kölcsönhatás van, tehát az egyetlen áramló extenzív tulajdonság a tömeg. Az ehhez tartozó intenzív mennyiség - ismét a táblázatból - a kémiai potenciál. Fel tételezzük, hogy az összes többi intenzív mennyiség homogén eloszlású, és tömegforrás nincs. Az általános mérlegegyenletbe tehát a tömegsűrűséget és a kémiai potenciált kell behelyettesítenünk:

Itt Lρμ az a vezetési tényező, amely megmutatja, hogy a kémiai potenciál egységnyi különbségének hatására mekkora a tömeg árama.

OLVASÓ Ez az ún. diffúziós tényező?

SZERZŐ Ez is diffúziós tényező, de a technikában nem ezt használjuk. Vegyük figyelembe, hogy a kémiai potenciál a hőmérséklet és a sűrűség függvénye:

A differenciálás láncszabályát a grad μ-re alkalmazva:

Homogén hőmérséklet-eloszlás esetében a jobb oldal első tagja zérus: grad T=0, tehát a tömeg-áramsűrűség:

A technikában használt diffúziós tényező a grad ρ előtti kifejezés negatív értéke:

Behelyettesítve:

Ha a diffúziós tényező értéke állandó, vagyis nem függ a helytől, akkor D a div jel elé kihozható:

A levezetett összefüggés már azonos az ismert Fick-egyenlettel.

OLVASÓ Ez is gyorsan ment. És ebben az esetben sem az általános forma és a Fick-egyenlet közötti formális kapcsolat volt a lényeges, hanem a levezetés során tett feltételezések. A Fick-egyenlet tehát csak olyan diffúziós jelenség leírására alkalmas, amelyre a következők érvényesek:

Teljesen analóg a hővezetési problémával.

SZERZŐ Annyira, hogy a hővezetés és a diffúzió jelenségét egymáshoz hasonló jelenségeknek nevezzük, ha a peremfeltételek megfogalmazása is hasonlít a két jelenség esetében. Az ún. Nusselt-feltétel fizikailag azt fejezi ki, hogy a rendszerből a peremre érkező és a peremről a környezetbe távozó tömeg-áramsűrűség megegyezik egymással. (Érthetően itt is az a helyzet, hogy a peremen nem lehet tömegtorlódás.) A hővezetésre felírt Biot-feltételhez hasonlóan:

ahol k a tömegátadási tényező, amely függ a perem anyagától, valamint a perem és a környezet közötti kölcsönhatás formájától, tehát a szigetelés jellemzője.

OLVASÓ Most már kedvem támadt arra, hogy különböző egyszerű jelenségek alapegyenleteit levezessük az általános mérlegegyenletből!

SZERZŐ Legyen egy olyan jelenség is, amely aztán igazán eltér az előbbiektől: a közúti közlekedés. TURÁNYI professzor cikkéből idézünk: "A közúti közlekedési folyamat a közlekedési területeken, útvonalakon, hosszabb-rövidebb folyamatokból, mint elemekből összetevődő bonyolult… inhomogén áramlási jelenség. ... A közlekedési áramlatok leírására a következő jellemzőket használják:

Az áramlat nagysága: N = Q/T
jármű/h,
ahol Q a T idő alatt egy dx útszakaszon áthaladó járművek mennyisége. Az áramlat sűrűsége:

ahol  azon dt időtartamok összege, amely alatt egy-egy jármű befutja a dx útszakaszt. Az átlagos útszakaszi áramlási sebesség:

Vagyis: az egyes járművek dx útszakaszon mért átlagos sebességeinek súlyozott átlaga." Anélkül, hogy belemerülnénk a folyamat elemzésébe - ez olyan speciális feladat lenne, ami ismereteimet és felkészültségemet messze meghaladná - kíséreljük meg az alapegyenletet felírni.

OLVASÓ Érdekes feladat! Egy teljesen ismeretlen szakterülethez nem sok bátorságom van hozzányúlni! De nézzük csak! Az általános mérlegegyenletben szereplő mennyiségek: a jellemző extenzív mennyiség sűrűsége, a jellemző intenzív mennyiségek, az áramlási sebesség és a forrás, A gépkocsik száma nyilván extenzív mennyiség. Ezek szerint az egységnyi úthosszra jutó járművek száma, vagyis az s a megfelelő extenzív mennyiség sűrűsége. Az áramsűrűség konduktív része itt nem jön számításba, hiszen "gépkocsi-diffúziót" nehéz lenne elképzelni. A konvektív rész a sűrűség és az áramlási sebesség szorzata. Forrásmentes esetben az egyenlet valahogy így nézhet ki:

ill., mivel egydimenziós esetről van szó, a div helyett elegendő csak az x szerinti parciális deriváltat írni:

SZERZŐ Vegyük azt is figyelembe, hogy sv szorzat egyenlő az áramlat N nagyságával és írjuk fel az. idézet cikkből az - ún. Lighthill-Witham - egyenletet:

Szemmel látható a megegyezés! Még csak annyit tennék hozzá, hogy forrástagok jönnek számításba, ha ún. csatlakozó- vagy elágazó áramlatok is vannak. Ilyen esetben a csatlakozásokon keresztül a vizsgált útszakaszba időegység alatt belépő gépkocsik száma jelenti a forrást. De ha már itt tartunk, térjünk vissza a tömegtranszporthoz, azt az esetet vizsgálva, amelyben a konduktív áram hanyagolható el a konvektívhez képest. Milyen egyenlet írja le ezt a jelenséget?

OLVASÓ Ez igazán egyszerű! Az általános mérlegegyenletben az extenzív mennyiség sörűségének helyére mindenütt a ρ tömegsűrűséget írjuk, a konduktív tag zérusnak vehető, tehát:

Közvetlenül a tömegkontinuitás Reynolds-egyenletét kaptuk.

SZERZŐ Ez igaz, de ezzel még korántsem végeztünk. Minden olyan esetben, amikor a konvektív árammal is számolni kell, még két extenzív tulajdonságot, az impulzust és a kinetikai energiát is be kell kapcsolnunk a vizsgálatba. Konvektív áramok esetén tehát sohasem beszélhetünk arról, hogy "egyetlen extenzív mennyiség" áramlik.

OLVASÓ Ezek szerint további mérlegegyenleteket is fel kell írnunk, az impulzusra és a kinetikai energiára. Az eddigiek alapján ez már nem okoz problémát, csak annyit mondj meg: milyen jellemző intenzív mennyiségeket kell figyelembe venni és van-e forrás? A többi szinte magától értetődik.

SZERZŐ Sajnos, ez nem olyan egyszerű! Van ugyanis egy lényeges különbség az eddig tárgyalt extenzív mennyiségek és az impulzus között, ami némileg bonyolítja a levezetést: a tömeg, energia, térfogat, a járművek száma skalár mennyiségek, az impulzus azonban vektor. Legyen ez a téma következő beszélgetésünk tárgya, és most befejezésül emeljük ki a levezetések leglényegesebb tanulságát: A mérlegegyenlet mindig általánosabb érvényű, mint az ún. "speciális törvény", ezért a mérlegegyenletből kiindulva mindig meg tudjuk mondani, hogy a levezetett összefüggés milyen feltételek mellett érvényes.
A műszaki életben leggyakrabban előforduló összefüggések mindig valamilyen elhanyagolás eredményeként adódnak. Alapvető hibákat kerülhetünk el, ha ismerjük ezeket az elhanyagolásokat, és becsülni tudjuk hatásukat. Lesz még lehetőségünk arra, hogy ezt bonyolultabb esetekben is megfigyeljük.


Vissza a tartalomjegyzékhez Következő beszélgetés