Hetedik beszélgetés

Az egyértelműségi feltételek

Az ember a természettől függ, de a természet is függ tőle. A természet alkotta őt, ő pedig átalakítja a természetet.
ANATOLE FRANCE
OLVASÓ Még mindig nem végeztünk a matematikai modell általános megfogalmazásával? Állításod szerint a mérlegegyenlet minden tagjáról mindazt megbeszéltük, amit csak lehetett.

SZERZŐ Valóban nincs mit hozzátennünk a mérlegegyenletről elmondottakhoz. A műszaki rendszereken belül végbemenő folyamatok általános kerettörvényét lényegében megismertük. Ennyiből állna a matematikai modell?

OLVASÓ Talán inkább én kérdezek! Mi az, amire még szükségünk van?

SZERZŐ Műszaki rendszerekkel akarunk foglalkozni. A rendszerek vizsgálatának feladata megállapítani a rendszer viselkedését, vagyis az input és az output (vagy, ha így jobban tetszik a bemenet és a kimenet, a hatás és a reakció) közötti kapcsolatot, valamint azt az állapotváltozást, amely ennek során a rendszerben végbemegy.

OLVASÓ Amennyire az eddigieket megértettem: e folyamatokat a természettörvények szabják meg és ezek általános megfogalmazását (ill., ahogy Te mondtad: kerettörvényét) adják a mérlegegyenletek.

SZERZŐ Mi a szerepe itt a technikának?

OLVASÓ Elölről akarod kezdeni? Tisztáztuk már, hogy a technika nem a természettörvényeket változtatja, csak azok érvényesülési körülményeit.

SZERZŐ És ezt hol veszik figyelembe a mérlegegyenletek?

OLVASÓ Gondolom a vezetési tényezők, a szigetelések éppen ezt a hatást fejezik ki.

SZERZŐ Menjünk csak szép sorjában! Közömbös-e a rendszer viselkedése szempontjából annak geometriai alakja?

OLVASÓ Mondom, hogy újra akarod kezdeni! Már beszélgetéseink elején leszögeztük, hogy "mindenekelőtt el kell különíteni azt a térrészt, amelyen belüli változásokat akarjuk vizsgálni".

SZERZŐ Más szavakkal: rögzíteni kell az ún. értelmezési tartományt, amely megadja, hogy az egyenletekben szereplő változók (beleértve a geometriai változókat is) milyen intervallumon belüli értékeket vehetnek fel; milyen intervallumon belül érvényes az adott differenciálegyenlet.

OLVASÓ Erről is volt már szó! Természetes, hogy szükség van a vizsgált rendszer "peremének" megadására, vagyis annak a geometriai formának a leírására (leggyakrabban rajzára), amely körülhatárolja a rendszert környezetétől.

SZERZŐ A továbbiakat is ismétlésnek fogod venni! A perem megadása azt jelenti, hogy a rendszert a környezettől függetlenül vizsgálhatjuk?

OLVASÓ Természetesen figyelembe kell venni a környezeti hatásokat, hisz magad mondtad, hogy tökéletes szigetelés nem létezik.

SZERZŐ Más szavakkal: meg kell adni a peremfeltételeket, amelyek jellemzik a rendszer és a környezet közötti kölcsönhatást. Ez a tulajdonképpeni input.

OLVASÓ Valami hiányzik ebből a megfogalmazásból! Egy gépet érhetnek külső - mondhatnám objektív - hatások és olyanok, amelyeket a gépkezelő állít be. Melyik ezek közül az input?

SZERZŐ Mindkettő. A rendszer szempontjából közömbös, hogy spontán létrejövő vagy tudatosan előállított hatásról van-e szó.

OLVASÓ Lehet, hogy a rendszer szempontjából közömbös, de a rendszert "használó" ember szempontjából már nem!

SZERZŐ Vitathatatlanul igazad van, hiszen éppen ezek a "szubjektív" hatások azok, amelyekkel a rendszer viselkedését irányítani tudjuk. Később még szó lesz arról, hogy a műszaki életben gyakori az olyan feladat, amelynek megoldása során a rendszer előírt viselkedésének biztosításához szükséges inputot kell meghatározni. Ez nyilván csak olyan hatásokra vonatkozhat, amelyeket irányítani tudunk. Szokás ezeket üzemviteli előírásoknak is nevezni.

OLVASÓ Így már rendben van: A rendszer viselkedése e természettörvények alapján attól függően alakul ki, hogy milyen a berendezés geometriai kialakítása, milyenek a rendszer szigetelései, ill. hogy a rendszer felületén (peremén) hogyan avatkozunk be a folyamatba, az egyes változóknak milyen peremértéket biztosítunk.

SZERZŐ Még azt se feledjük, hogy a rendszernek mindig van állapota.

OLVASÓ Mintha eddig nem beszéltünk volna erről éppen eleget… Természetes, hogy a rendszer viselkedésébe beleértjük állapotának változását is.

SZERZŐ Nem kell feltétlenül állapotváltozásról beszélnünk. Pontosabban: meg kell különböztetnünk egymástól az instacioner (más szóval: tranziens) és a stacioner folyamatokat, vagyis azokat, amelyek során a rendszer állapota is változik, ill., amelyek során az állapot változatlan marad.

OLVASÓ Erre a mérlegegyenletek első tagja, az extenzív mennyiség (ill. a sűrűség) idő szerinti deriváltja ad választ: stacioner folyamat esetén ez a tag zérus, instacioner esetben zérustól különbözik.

SZERZŐ Ilyenkor azonban azt is tudnunk kell, hogy a vizsgálat kezdetekor milyen állapotban van a rendszer.

OLVASÓ Miért tartozik ez a matematikai modellhez?

SZERZŐ Gondolj csak egy egyszerű hiszterézisgörbére: az állapotváltozás útja és sebessége attól is függ, hogy honnan "indítjuk" a folyamatot. Egy gépkocsi esetében pl. azonos gázadás mellett elérhető gyorsulás függ attól is, hogy a gázadás pillanatában milyen fordulaton volt a motor. Ezernyi hasonló példát hozhatnánk annak szemléltetésére, hogy - az instacioner folyamatok matematikai modelljéhez - az ún. kezdeti feltételeket is meg kell adnunk.

OLVASÓ Ha jól értem, a matematikai modellhez tartoznak a mérlegegyenleteken kívül az értelmezési tartomány, a peremfeltételek és a kezdeti feltételek?

SZERZŐ És még valami! Vegyünk egy egyszerű példát: csővezetéken belüli áramlást. Tegyük fel, hogy már ismerjük a jellemző extenzív mennyiségeket, felírtuk a megfelelő mérlegegyenleteket. Ismerjük a csővezeték geometriai méreteit, a kezdeti és peremfeltételeket. Nem gondolod, hogy még hiányzik "valami"?

OLVASÓ Tulajdonképpen ezekkel már mindent megmondtunk. Ezekből már meghatározhatjuk a csővezetéken belüli áramlási viszonyokat…

SZERZŐ …amelyek függetlenek lesznek attól, hogy levegő vagy víz vagy esetleg higany áramlik a csőben!?

OLVASÓ Ezt nem mondtam! Az anyagi tulajdonságok lényegesen befolyásolják a viszonyokat. Ezt azonban úgyis figyelembe vesszük.

SZERZŐ Hol? A matematikai modell melyik részében?

OLVASÓ Hát …, tulajdonképpen … a vezetési tényezők például anyagjellemzők is.

SZERZŐ Az anyagnak egyéb jellemzői is vannak és e jellemzők között kapcsolatok léteznek. Csak a legegyszerűbbet: az ideális gáz nyomása, hőmérséklete és térfogata között szoros összefüggés van. Valódi gázok esetén ez a kapcsolat a gáz anyagi tulajdonságaitól függ. Az ilyen típusú, ún. állapotegyenletek jellemzik a rendszer munkaközegének fizikai tulajdonságait. (A vízben mozgó testek mozgástörvényei azonosak, de maga a mozgás már a test tulajdonságaitól függ!)

Összefoglalva, a matematikai modellhez a mérlegegyenleteken kívül hozzátartoznak:
1. Az értelmezési tartomány,
amely megadja, hogy az egyenletben szereplő változók (a geometriai változókat is beleértve) milyen intervallumon belüli értékeket vehetnek fel. A geometriai változókra nézve ez egyet jelent a vizsgált rendszer peremének megadásával, vagyis azon geometriai forma leírásával (esetleg rajzával), amely elhatárolja a vizsgált berendezést környezetétől.
2. A peremfeltételek,
amelyek jellemzik a rendszernek a környezetével való kölcsönhatását. Meg kell mondanunk, hogy a vizsgált időtartamon belül a teljes peremen, milyen kölcsönhatások lépnek fel a rendszer és környezete között.
3. A kezdeti feltételek,
amelyek jellemzik az egész rendszeren belül a vizsgálat kezdeteként választott t0 időpontban a rendszer állapotát. Nyilván olyan esetekben, amikor stacioner (időben állandó) folyamatot vizsgálunk, ez a feltétel elesik.
4. Végül az állapotegyenletek
ismerete szükséges, mivel ezek jellemzik a rendszer "munkaközegének'' fizikai tulajdonságait.

OLVASÓ Ez mind olyan jellemző, amely csak egy konkrét feladat esetében fogalmazható meg pontosan.

SZERZŐ Éppen ezért nevezzük egyértelműségi feltételeknek. Matematikailag a differenciálegyenlet-rendszer egyértelmű megoldásának, műszakilag egy adott berendezés egyértelmű leírásának a feltételei.

OLVASÓ Egy pillanat! Most már értem, hogy milyen elemekből áll a matematikai modell. De mit jelentsen az, hogy ezek "az adott berendezés egyértelmű leírásának feltételei". Számomra egy műszaki berendezés egyértelmű leírása valami egészen mást jelent: a műszaki rajzot, a folyamatábrát, az üzemeltetési előírást. a termékkihozatalt, vagy - általánosságban én is fogalmazhatok - a "viselkedést".

SZERZŐ. Amit elmondtál, az maga a leírás, mi pedig az egyértelmű leírás feltételeiről beszéltünk. Te már úgy veszed, hogy az adott műszaki rendszert, annak minden - lényeges - tulajdonságát ismerjük.

OLVASÓ Igazad van: Elfelejtettem, hogy még a feladat a megfogalmazásánál tartunk, s nem a megoldásnál!

SZERZŐ Valamely műszaki feladat akkor tekinthető megoldottnak, ha ismerjük a mérlegegyenlet-rendszer megoldását, az adott egyértelműségi feltételek mellett. A megoldás: a rendszer (berendezés) viselkedésének, az input, az output és az állapot kapcsolatának leírása. (Milyen módszerekkel juthatunk a megoldásra - ez későbbi beszélgetésünk tárgya lesz.)

OLVASÓ Így most azt a lényeges következtetést vonhatjuk le, hogy valamely műszaki rendszer matematikai leírására egyszerű, szinte sematikus eszközeink vannak.

SZERZŐ Alapos hibát követnénk el, ha sematizálnánk a matematikai modell megalkotását. A vázolt szemléletmód gyakorlati alkalmazása során egy sor nehézséggel találkozhatunk: Szó volt már arról, hogy a rendszer részei rendszerek is lehetnek. Az alrendszerek a legkülönbözőbb kapcsolatban lehetnek egymással. Az összetett rendszerek ún. csatolásos és visszacsatolásos alrendszerek bonyolult hálói. Gyakran még azt sem tudjuk megmondani, hogy mely alrendszerek között van kapcsolat.

OLVASÓ Ezt tudom. Nem is erre gondoltam az előbb. A mérlegegyenletek és az egyértelműségi feltételek azonban olyan keretet jelentenek, amelyet az adott konkrét esetekben csak "ki kell tölteni".

SZERZŐ Ez sem ilyen egyszerű. A forrássűrűség és a vezetési tényezők bonyolultságáról már szó volt. Ami a peremfeltételeket illeti, nem kevésbé bonyolultak lehetnek. A valóságban a peremen olyan véletlenszerű (sztochasztikus) hatások is érhetik a rendszert, amelyeket nem ismerünk, ill., amelyeknek időszerinti változását elvileg lehetetlen meghatározni (pl. meteorológiai hatások). A peremfeltételek ezen részét zavaró hatásoknak nevezzük. Sztochasztikus (zavaró) hatások esetében az inputnak csak valószínűségi jellemzőit lehet meghatározni. Mindezek miatt valamely rendszer matematikai modelljének megfogalmazása igen nagy körültekintést kíván.

OLVASÓ Mikor már minden egyszerűnek és világosnak tűnik, akkor kevered bele a bonyolultat. Mi szükség volt mindarra, amit eddig megbeszéltünk, ha ennyi nehézség áll a matematikai leírás útjában?

SZERZŐ A felsorolt nehézségek természetesen nem az ismertetett szemléletmód következményei. Ellenkezőleg: éppen ezek a nehézségek igazolják annak szükségességét, hogy a rendszerszemlélet alapján, a mérlegegyenletekből kiindulva fogalmazzuk meg feladatainkat. És most már én mondom: elég volt az általánosságból. "Térjünk vissza a Földre." Foglalkozzunk néhány olyan műszaki folyamattal, amelynek leírásánál felhasználhatjuk és konkretizálhatjuk az eddigieket.


Vissza a tartalomjegyzékhez Következő beszélgetés