Ötödik beszélgetés

A természettörvények kovarianciája

Fizikai törvény minden olyan tétel, amely szilárd, megtámadhatatlanul érvényes összefüggést mond ki mérhető fizikai mennyiségek között, amely lehetővé teszi, hogy egy fizikai mennyiséget kiszámítsunk, ha a többi mérés útján ismeretes.

Planck

SZERZŐ Fizikai mennyiségekről, az őket összekapcsoló törvényekről beszéltünk. A mi szempontunkból elsősorban az a lényeges, hogy minden műszaki diszciplína, valamennyi "szakterület" közös alapjait felismerjük. Eljutottunk az általános mérlegegyenletig, amely a műszaki folyamatokat leíró összefüggések alapegyenlete.

OLVASÓ És amelyről Magad állítottad, hogy "túlzottan általános".

SZERZŐ Annyit viszont beláttunk - és már ez sem kevés -, hogy a műszaki rendszerekben végbemenő folyamatok fizikai törvényei ilyen mérlegegyenletekkel írhatók le. Mielőtt a műszaki rendszerek részletesebb elemzésébe kezdenénk, meg kell vizsgálnunk: egyáltalán milyen mértékű általánosítás lehetséges a rendszerek leírásakor? Más szóval: minden egyes rendszert csak egyedileg jellemezhetünk vagy lehet az előbbinél konkrétabb, általános érvényű jellemzést is adni?

OLVASÓ Gondolom erre a kérdésre már akkor válaszoltunk, amikor a technikát definiáltuk. Igaz az, hogy a műszaki berendezések nem a természettörvényt, csak annak érvényesülési feltételeit változtathatják meg. Ebből az is következik, hogy leírásunk olyan, de csakis olyan mértékben lehet általános, amilyen mértékben a műszaki rendszerekben érvényesülő fizikai törvények általánosak.

SZERZŐ Kérdezek azonban valamit! Mit értünk fizikai törvényen?

OLVASÓ Nem ért váratlanul a kérdés! Mostani beszélgetésünk mottójához, a Max PLANCK tollából származó definícióhoz, gondolom, nincs mit hozzátennünk.

SZERZŐ Talán csak annyit, amit maga Planck tett hozzá: "Minden mérés egyedi, önmagában álló esemény, és mint ilyen, egészen sajátos körülményekhez, elsősorban meghatározott helyhez és időhöz, meghatározott mérőeszközhöz és megfigyelőhöz kötött."

OLVASÓ Mennyiben tartozik ez a fizikai törvény definíciójához?

SZERZŐ Visszakérdezek! Független-e a fizikai törvény az embertől?

OLVASÓ Természetesen független! A természettörvények objektívek, attól függetlenül léteznek, hogy az ember tudomást vesz-e róluk vagy sem.

SZERZŐ A fizikai törvény (helyesebben annak matematikai megfogalmazása) mégis mért értékek közötti kapcsolatot fejez ki. A mérés pedig függ a megfigyelőtől, a térben elfoglalt helytől és az időtől. Ezek mind szubjektív, az embertől függő tényezők.

OLVASÓ Első pillanatra valóban ellentmondásosnak tűnik, hogy a törvény objektív és a mérés szubjektív. Valami olyan kiútnak kell lenni, hogy akárhogyan is mérek, a mért értékek közötti kapcsolat formája a méréstől független.

SZERZŐ Jó úton jársz! Előbb azonban újra vissza kell térnünk a fizikai mennyiségek jellemzéséhez.

OLVASÓ Ismét az extenzív és intenzív jellegről akarsz beszélni?

SZERZŐ Nem, most más oldaláról vizsgáljuk a fizikai mennyiségeket. Az extenzív és intenzív jelleg a folyamatokban játszott szerepet, tehát egyfajta minőségi tulajdonságot tükröz. A mennyiségi, számszerű tulajdonságokról nem ad felvilágosítást. Márpedig a mérés mindig valamilyen számtérték meghatározását jelenti. Más szavakkal: a minőségi jellemzés - a fizikai változó neve - meghatároz egy halmazt. A mérés: megállapítja, hogy e halmaz melyik eleméről van szó. Ehhez az szükséges, hogy a halmaz minden elemét "leltári számmal" lássuk el.

OLVASÓ Ezt nem értem! Milyen analógia ez a "leltározás"?

SZERZŐ Nevezhetnénk azonosítási számnak vagy címnek is. A gépkocsi-halmazból egy gépkocsit csak akkor tudsz azonosítani, ha ismered mondjuk - a rendszámát (vagy a motor és az alvázszámot). Az emberek azonosításának egyik módja a személyazonossági igazolványszám. A házaké: a helyrajzi szám, s i. t. A számítógépek esetében pl. valamilyen adatot vagy programutasítást úgy tudunk "elérni", hogy megadjuk a címét: annak a rekesznek a sorszámát, amelyben található. Röviden: amikor egy halmaz egyik eleméről akarunk beszélni, ismertnek kell lenni a halmaz és a számegyenes közötti leképezési szabálynak. Ezt nevezzük számszerű jellemzésnek. Hogyan tudunk egy fizikai mennyiséget számszerűen jellemezni?

OLVASÓ Megadjuk mérőszámát és mértékegységét. A mértékegységek persze függnek az alapul választott egységrendszertől, s ezért a mérőszámok is mértékegységrendszer-függők. Pl. ha egy autó sebessége 80 km/h, a 80 a mérőszám, a km/h a mértékegység. Ugyanez a sebesség méter és szekundum mértékegységekkel: 22,22 m/s. A mérőszám itt 22,22 …

SZERZŐ Ez teljesen szabatos! Az egység megválasztása tehát igen fontos szempont minden fizikai mennyiség számszerű jellemzéséhez. Folytassuk tovább! Hogyan végezzük magát a mérést? Maradjunk most csak hosszúságmérésnél.

OLVASÓ Összehasonlítjuk az etalonhosszúsággal, amelyet egységnyinek veszünk, s megállapítjuk, hogy azt hányszor tartalmazza a mérendő hosszúság.

SZERZŐ Tegyük még hozzá: Valamely tárgy hosszúsága nem függ attól, hogy az egység méter, yard vagy fényév, de e hosszúságot kifejező számérték már függvénye az egységnek. Mikor nevezünk két hosszúságot egyenlőnek?

OLVASÓ Akkor, ha a megállapodás szerinti etalonhosszúságot mindkettő ugyanannyiszor tartalmazza! Ez annyira triviális, hogy nem tudom, miért kell ennyit beszélni róla?

SZERZŐ Annyira triviális? Minden esetben? Például a sebességek esetében is? Mikor egyenlő két tárgy sebessége egymással?

OLVASÓ Akkor, ha a sebesség nagysága és iránya is megegyezik.

SZERZŐ És mikor egyenlő két tárgy impulzusa egymással?

OLVASÓ Abban az esetben, ha tömegük és sebességük szorzata, valamint sebességük iránya megegyezik egymással.

SZERZŐ Ezek a definíciók már egy kicsit komplikáltabbak, mint a hosszúságra vonatkozók. De még egy kérdés: Mikor egyenlő két rendszer nyomása?

OLVASÓ Amikor a két rendszer nyomása … Ez így nem jó! Talán helyesebb, ha azt mondom: akkor, ha a két rendszeren belül a molekulák és a fal közötti impulzuscsere várható értéke megegyezik, ami függ a molekulák számától, tömegétől és sebességétől.

SZERZŐ Lám, ez a megfogalmazás már nagyon bonyolult! Ennek alapján kissé nehéz két rendszer nyomásának egyenlő voltát méréssel meghatározni. Úgy látszik az "egyenlőség" mégsem olyan triviális.

OLVASÓ Van azért egyszerűbb módja is a nyomásegyenlőség meghatározásának! A mechanikai kölcsönhatásnál, így a második beszélgetésünk óta többször ismételt dugattyús példa esetében a kölcsönhatásban levő két rendszer egyensúlyban van, ha a nyomások megegyeznek.

SZERZŐ Éppen ez a jellemző intenzív mennyiségek egyenlőségének definíciója: Két rendszer intenzív mennyiségének nagysága egyenlő, ha a megfelelő kölcsönhatás lehetősége ellenére a két rendszer egymással (vagy külön-külön mindkettő egy harmadik rendszerrel) egyensúlyban van.

OLVASÓ Ebből az is következik, hogy az "egyenlőség" nem függ az extenzív mennyiségek értékétől, hiszen az egyensúlyban levő rendszerek tömege, energiája, térfogata különböző lehet!


SZERZŐ
Pontosabban: egyenlőség esetén meghatározott kapcsolat van az egyes extenzív mennyiségek között. Az egyik rendszer extenzív állapothatározóit úgy változtatva, hogy közben állandóan egyensúlyban maradjon egy másik rendszerrel: a megfelelő jellemző intenzív mennyiség változatlan marad. Ily módon nyerhetjük az ún. ekvipotenciális felületeket (pl. izotermák, izobárok), amelyek az egyenlő nagyságú intenzív mennyiségek (pl. hőmérséklet, nyomás) "helyét" adják meg. Az egyszerűség kedvéért két változó, x1 és x2 függvényében végezve a vizsgálatot, az ábra szerinti görbesereget kapjuk. Ezen alapszik az intenzív mennyiségek mérése is. A mérőrendszert (mérőeszközt) a mért rendszerrel megfelelő kölcsönhatásba hozva, a két rendszer között kiegyenlítődési folyamat indul meg, amelynek eredményeként a mérőeszköz és a rendszer között egyensúly áll be, vagyis: a megfelelő intenzív mennyiségek számértéke egyenlővé válik a két rendszerben. A mérőeszköz valamilyen tulajdonsága alapján az intenzív mennyiségnek ez az egyensúlyi (tehát a mért rendszerre is vonatkozó) számértéke meghatározható. Mindebből egyszerűen következik a válasz a kérdésemre: Egy fizikai mennyiség két különböző értéke közül melyiket nevezzük nagyobbnak, ill. kisebbnek?

OLVASÓ Az extenzív tulajdonságok abból a rendszerből áramlanak a másik felé, amelyben az intenzív mennyiség értéke nagyobb. Amelyik rendszer veszít valamely extenzív mennyiségből, annak nagyobb a megfelelő intenzív mennyisége.

SZERZŐ Nem gondolod, hogy ez eléggé önkényes? Nyugodtan definiálhatjuk fordítva is, és akkor a kisebb felől a nagyobb felé folyna az áram!

OLVASÓ Lehet, hogy ez megállapodás dolga, de minden jellemző intenzív mennyiségre egyaránt érvényes.

SZERZŐ Éppen ezért vettük a nyomásnak a negatívját. De ugyanilyen rendszerezést jelentett volna az is, ha a nyomás pozitív marad, és az összes többi jellemző intenzív mennyiség, pl. a hőmérséklet, előjelét változtattuk volna 

ellenkezőjére. A lényeg: az ún. kisebb-nagyobb reláció egyértelmű eldöntése. Más szóval: Az előbbi ábra szerinti "izo"-felületeken ki kell jelölni a növekedés irányát. Az itteni ábra mindkét iránya egyformán "jó", de az egyiket – megállapodással - rögzíteni kell. E nélkül semmilyen fizikai mennyiséget sem tudunk számszerűen jellemezni.

OLVASÓ Ez az okfejtés egy kicsit erőltetettnek tűnik. Vannak érzéseink, tapasztalataink, amelyek eleve eldöntik a kisebb-nagyobb irányítottságát. Senki sem gondol pl. olyan hőmérsékletskálára, amely a jégtábla hőmérsékletére nagyobb számértéket ad, mint a forrásban levő vízére.

SZERZŐ Összetéveszted a tradíciót a tapasztalattal! Ma valóban nagyobb számértéket rendelünk a melegebb test hőmérsékletéhez, mint a hidegebbhez. De Celsius maga, 1741-ben a víz forráspontját nevezte nulla foknak és a fagyáspontot 100 foknak. Csak halála után (állítólag EKSTRÖM) fordítottak az irányításon, és alakult ki a ma használatos, általad "tapasztalatinak" nevezett Celsius-skála. De maradjunk mindjárt a hőmérsékletnél! Tudjuk már, hogy az egyenlőség definiálása, az egység és a kisebb-nagyobb reláció megválasztása szükséges a számszerű jellemzéshez. De vajon elegendő-e? Az eddigiek alapján pl. a Celsius és a Kelvin-skála között semmi különbség sincs.

OLVASÓ Valójában sincs, csak annyi, hogy a Celsius-skála kb. 273 egységgel el van tolva a Kelvin-skálához képest.

SZERZŐ Vagyis a Celsius-skála 0 pontja 273,12 K-nek, a Kelvin-skála 0 pontja -273,12 °C-nak felel meg. Ebből azt látjuk, hogy …

OLVASÓ … a fizikai mennyiség számszerű jellemzéséhez a zérus pont megválasztása is szükséges. Ez a nyomásra is vonatkozik, hisz az ata és az atm zéruspontjai is különbözők, bár egyébként teljesen ekvivalensek.

SZERZŐ Mindez igaz, de amikor a  ΔE=yΔx, összefüggést tárgyaltuk, hallgatólagosan már rögzítettük az intenzív mennyiségek zérus pontját. Csak egy szempont van még hátra! Van-e valami elvi akadálya annak hogy pl. ne Celsius-fokkal ill. ata-val, hanem a logaritmusukkal fejezzük ki a hőmérsékletet, ill. a nyomást? Ellentmondana ez bármelyik eddigi feltételünknek?

OLVASÓ Nem! Az egység ugyan megváltozna, de az egyenlőség, valamint a kisebb-nagyobb reláció nem. A mindennapi életben azért furcsa lenne ezekkel számolni.

SZERZŐ Más esetben pedig éppen ezt csináljuk: A kémiai potenciál helyett gyakran az aktivitást vagy a fugacitást vesszük, ami a kémiai potenciál logaritmikus függvénye. Az akusztikában a zajszint (bel) a hangnyomás-viszonyok logaritmusa. A szélerősség mérésére 1805-ben bevezetett Beaufort-skála függése a szélsebességtől sem nevezhető lineárisnak. Számos ilyen - teljesen jogos - skála lehetséges. A lényeg az, hogy egyértékű, monoton függvénykapcsolatokban legyenek az ugyanazon fizikai mennyiségre vonatkozó különböző skálák; meg kell adni tehát a skálatörvényt is. Ezeket a feltételeket először CARNAP fogalmazta meg. Összefoglalva: valamely fizikai mennyiség skálájának meghatározásához szükséges

1. az egység
2. az egyenlőség
3. a kisebb-nagyobb reláció
4. a zérus pont
5. a skálatörvény egyértelmű megválasztása.

OLVASÓ Ez világos és érthető, bár sok újat nem jelent. Külön-külön ismert feltételek; igaz viszont, hogy ezek ilyen megfogalmazásával még nem találkoztam.

SZERZŐ Nem részletezem ezt tovább, csak ismét emlékeztetlek, hogy a számszerű jellemzés: leltározás. A "leltári szám" valamilyen valós szám. Mivel a fizikai mennyiségek nagyságát mindig valamilyen valós számmal (vagy számokkal) jellemezzük, így a skálára vonatkozó feltételeknek ki kell elégíteniük a valós számok halmazára vonatkozó matematikai feltételeket. Ez azonban már nagyon messzire vezetne, ezért térjünk vissza a fizikai jelenségekhez. Tekints erre a rajzra!

OLVASÓ Ez a látkép ábrázolja a "fizikai jelenségedet"?

SZERZŐ Nézd meg jobban! Nem a látképen van a hangsúly!

OLVASÓ Látom, hogy különböző méretek is szerepelnek a rajzon. A vitorlás, a folyó, a gépkocsi és a repülőgép sebessége, a vitorla magassága, a ház melletti fa magassága. Na és?

SZERZŐ A kép egy időpillanatra vonatkozó állapotot rögzít. Valójában - mint minden jelenség esetében - térben és időben lejátszódó folyamatokról van szó. Az egyszerűség kedvéért most az időbeli változástól még eltekintünk. Hol van ennek a térnek a "zérus pontja"?

OLVASÓ Mit értesz a tér zérus pontján?

SZERZŐ Ahol a megfigyelő - vagyis aki a felírt számértékeket mérte - elhelyezkedik.

OLVASÓ Gondolom, bárhol lehet.

SZERZŐ És akárhol van, mindenhonnan ezeket a számértékeket fogja mérni?

OLVASÓ A ház, a fa vagy a vitorla magassága független a megfigyelő helyétől. De a sebességek mások lesznek a házból, a vitorlásról vagy a repülőgépről szemlélve.

SZERZŐ Tehát vannak olyan fizikai mennyiségek, amelyek számértéke független a megfigyelési helytől. Más szóval: invariánsak a zérus pont regválasztásával szemben. Más fizikai mennyiségek viszont függnek attól, hogy milyen helyről és helyzetből nézzük a jelenséget. Ragadjuk ki a képből a házat és a mellette levő fát. 

Nézhetem a házat az előbbi helyzetemtől pl. 10 m-re balra, akkor az előző "koordináta-rendszeremhez" képest a ház 10 m-rel jobbra helyezkedik el (a). A fejemet 30°-kal jobbra elforgatva, a ház látszólag 30°-kal balra fordult (b). Háttal fordulva a háznak és egy tükörből nézve, a tükörképet látom (c). Végül, ha a repülőgépről nézem, a ház 400 km/h sebességgel halad jobb felé (d). Ugyanez vonatkozik minden fizikai jelenség megfigyelésére. Minden esetben ki kell választani valamilyen koordinátarendszert, és ez a választás önkényes.

Az ábra valamennyi koordinátarendszere egyformán "jó": az elsőhöz képest eltolt, elforgatott, ill. tükrözött koordinátarendszerek egymással egyenértékűek.

OLVASÓ Mindegy lenne tehát, hogy melyiket választom, a fizikai mennyiségek megfigyelt nagysága változatlan? De hisz az előbb a sebesség …

SZERZŐ Ne vitatkozzunk azon, amit nem állítottam! A koordinátarendszerek egyenértékűek, tehát a fizikai jelenség leírása mindegyikben azonos alakú (erről majd kicsit később), a fizikai mennyiségek számértéke azonban korántsem változatlan.

OLVASÓ A fa magassága nem változott, bárhogyan is transzformáltuk a koordinátarendszert.

SZERZŐ A magasság - skaláris mennyiség. A skalár az egyetlen olyan mennyiség, amely minden koordináta-transzformációval szemben invariáns. Más a helyzet a sebesség esetében. Pl. a repülőgép (pillanatnyi) sebességét a v irányított egyenes-darabbal jelölve az ábra koordinátarendszerében az egyes tengelyekre vett vetületek rendre v1, v2, ill. v3.

OLVASÓ A koordinátarendszer eltolása esetén ezek a komponensek szemmel láthatóan változatlanok maradnak. De ezt nem mondhatod el minden vektorról! Az ábrán a sebességvektort, mint a repülőgép helyzetét (a két időpillanatban) jellemző r1 és r2 helyvektorok különbségét ábrázoltuk. Ezek a helyvektorok már megváltoznak, ha az origót eltoljuk.

SZERZŐ A helyvektor és a sebességvektor nem "ugyanolyan" vektorok! Pontosabban: az előbbit fizikai értelemben nem nevezzük vektornak.

OLVASÓ Nem vagyok valami túlzottan járatos a vektorszámításban és félek, hogy nehezen vagy egyáltalán nem értem meg azt, amit a vektoriális mennyiségekről akarsz mondani.

SZERZŐ Ne becsüld le önmagadat, és ne gondold, hogy feladatunk túl bonyolult! Az eddigiekből is kiderült, hogy sok mindent tudsz a vektorokról és csak kevés olyan dolgot, kell felelevenítenünk, ami a feladat megértéséhez szükséges.

OLVASÓ Jó, azt azért még tudom, hogy a vektor a számok rendezett csoportja és e számok a vektor komponensei. A vektor annyi dimenziójú, ahány komponense van. A vektort irányított egyenes-darabbal ábrázolhatjuk.

SZERZŐ Ez így még nem teljes! A vektort valóban irányított egyenes szakasszal lehet ábrázolni. A vektornak (a háromdimenziós térben) három komponense van, de ez még nem jelenti azt, hogy minden számhármas vektor! Fizikailag - az előbbi gondolatmenet alapján - a koordinátarendszer transzformációjával szembeni viselkedés dönti el, hogy vektorról van-e szó. Vektor az a háromkomponensű fizikai mennyiség, amelynek komponensei a koordinátarendszer

  • párhuzamos eltolásakor változatlanok maradnak (invariánsak),
  • elforgatáskor megváltoznak,

  • tükrözéskor (a tükrözési síkra merőleges komponensek) előjelet váltanak.

 

A vektorokkal végezhető egyes műveletekre elegendő csak összefoglalóan visszaemlékeznünk: Valamely w vektort egy c skalárral szorozva olyan v vektort kapunk, amelynek hossza az eredeti vektor hosszának c-szerese, de iránya változatlan:


vagyis a v vektor minden egyes komponense az eredetinek c-szerese, pl.:


Két vektor szorzata lehet skaláris, vektoriális és diadikus. Skaláris szorzat eredménye skalár. Pl. a v és w vektor skaláris szorzata:

Két egymásra merőleges ún. ortogonális vektor skaláris szorzata zérus. A vektor önmagával vett skaláris szorzata

a vektor hosszának négyzete.

OLVASÓ Ebből triviálisan következik, hogy a skalár szorzat valóban olyan eredményt ad, amely minden fajta koordináta-transzformációval szemben invariáns (tehát skalár számot ad), hiszen a vektor hosszára semmiféle koordinátaváltozás (forgatás, tükrözés, eltolás) sem lehet hatással.

SZERZŐ Persze van olyan koordináta-transzformáció, amely a vektor hosszát is megváltoztatja: pl. a sebességvektor hossza két olyan koordinátarendszerből nézve, amely egymáshoz képest egyenletes sebességgel mozog, más és más. Először GALILEI ismerte fel, hogy a természettörvények a koordinátarendszer egyenletes sebességű eltolása esetén is változatlanok maradnak. Ezt nevezzük relativitási elvnek. EINSTEIN az állandó fénysebesség tételéből kiindulva azt is észrevette, hogy az idő a négydimenziós (Minkowszki-féle) tér negyedik vektorkomponenseként viselkedik. (A többi komponens a háromdimenziós tér komponenseivel egyezik.) Ez a felismerés - a közhiedelemmel ellentétben - nem bonyolította, hanem éppen ellenkezőleg, egyszerűsítette a folyamatok leírását. A négydimenziós térben ugyanis a természettörvényeket leíró egyenletek alakja az egymáshoz képest gyorsuló mozgást végző koordinátarendszerekben is változatlan marad. Ezekkel a koordináta-transzformációkkal azonban beszélgetésünkben nem foglalkozunk.

OLVASÓ Akkor folytasd a vektorokkal kapcsolatos "emlékeztetést"!

SZERZŐ Szó lesz még a diadikus szorzatról is. Két vektor diadikus szorzatát

olyan négyzetesen elrendezett "táblázat" (mátrix) adja, amelyben az egyes elemek a vektorok egyes komponenseinek szorzatai. Mégpedig: soronként az első, oszloponként a második vektor azonos komponensei a szorzat tényezői. Könnyű megmondani, hogy egy ilyen fizikai mennyiség: a tenzor (pontosabban: másodrendű tenzor), hogyan viselkedik a koordinátarendszer transzformációjakor. Eltoláskor a vektorkomponensek változatlanok, tehát szorzatuk is változatlan. Következésképpen: a tenzor az eltolással szemben invariáns. Forgatás hatására a vektor komponensei általában megváltoznak, így a tenzor-komponensek is. Tükrözéskor a vektornak a tükrözési síkra merőleges komponense előjelet vált, így a tenzor mindazon elemei, amelyek ilyen komponenst tartalmaznak, előjelet váltanak. Legyen pl. az x2-x3 a tükrözési sík, ekkor a v1 és a w1 komponensek előjele változik meg, és így a tükrözött koordinátarendszerben az előbbi tenzor:

Tenzornak nevezzük azt a háromdimenziós térben kilenc adattal jellemezhető fizikai mennyiséget, amelynek komponensei a koordinátarendszer transzformációjával szemben úgy viselkednek, mint két vektor diadikus szorzatának komponensei. A tenzor-komponensek tehát a koordinátarendszer

OLVASÓ A főátlóban levő elemek minden tükrözéskor változatlanok maradnak?

SZERZŐ Ez egyszerűen felismerhető! Hiszen bármely sík szerint is tükrözünk, mindkét vektor ugyanazon irányú komponensei váltanak előjelet, s mivel a főátlóban levő elemek az azonos irányú komponensek szorzatai, a két előjelváltás kompenzálja egymást. A főátlóban levő elemekről azonban ennél többet is mondhatunk. Hasonlítsuk össze őket két vektor skaláris szorzatának tagjaival.

OLVASÓ Valóban, a v1w1+v2w2+v3w3 éppen a főátlóban levő elemek összege! Erről viszont tudjuk, hogy skalár, vagyis mindenféle koordináta-transzformációval szemben invariáns! Ezért szokták tehát a tenzor főátlójában levő elemek összegét a tenzor skalár invariánsának is nevezni!

SZERZŐ Idézzünk fel még egy fogalmat: a tenzor transzponáltját, vagyis azt a tenzort, amely az eredeti elemeit a főátlóra tükrözve tartalmazza. Pl. az előbbi tenzor transzponáltja:

Jelöljük az egyszerűség kedvéért a tenzort és transzponáltját T, ill. T+ betűvel. Triviális egyenlőség a következő:

Ha a T tenzor komponensei

, akkor a jobboldal első tagja:

Ez a T a tenzor szimmetrikus része, mivel az i-edik sor k-adik eleme egyenlő a k-adik sor i-edik elemével. A jobb oldal második tagja pedig, az antiszimmetrikus rész:

Ebben a tenzorban az i-edik sor k-adik eleme ellenkező előjelű értéke a k-adik sor i-edik elemének:

így az A tenzornak csak három független eleme van:

Ezt a három komponenst úgy tekintjük, mint egy vektor három komponensét.

OLVASÓ Van ennek valami értelme? Ténylegesen vektor ez a számhármas?

SZERZŐ E komponensek minden koordináta-transzformációval szemben úgy viselkednek, mint a vektor megfelelő komponensei, egyedül a tükrözés során ellentétes az előjelváltás. Pl. az x2-x3 síkra tükrözéskor az első komponens marad változatlan, a második és harmadik komponens vált előjelet. Ez egyszerűen belátható! írjuk az aik helyére a megfelelő tik-kat, ill. viwk szorzatokat, pl.

Ebben egyetlen olyan vektorkomponens sem szerepel, amely előjelet vált. Ezzel szemben pl.

komponensben a w1 és v1 is előjelet vált, így

Az olyan vektorokat, amelyeknek komponensei két vektor diadikus szorzata antiszimmetrikus részének elemeihez hasonlóan transzformálódnak: pszeudovektoroknak nevezzük Két vektor vektoriális szorzata is pszeudovektor:

Geometriailag a vektori szorzat a két vektor által "kifeszített" paralelogramma "irányított" területét adja. Az előbbi műveleti szabályok az inhomogenitás mértékeként bevezetett és a későbbiekben sűrűn előforduló

nablavektorra is vonatkoznak. Skalárral szorozva kapjuk a gradienst:

Vektorral skalárisan szorozva, a vektor divergenciája az eredmény:

Vektorral vett diadikus szorzata (ill. ennek transzponáltja) a derivált (vagy gradiens) tenzor:

Vektorral vett vektori szorzat a roláció:

A további taglalás helyett foglaljuk össze táblázatban a skaláris, vektoriális és tenzoriális fizikai mennyiségek koordináta-transzformációval szembeni tulajdonságait. Még csak annyit, hogy (a háromdimenziós térre vonatkoztatva) az egyes fizikai mennyiségek jellemzéséhez szükséges adatok számát 3 hatványaiként fejezhetjük ki. Így a tenzort 32=9, a vektort 31=3, a skalárt 30=1 adat jellemzi. Ebben az értelemben beszélhetünk általában tenzoriális rangról; 0 rangú tenzornak tekintve a skalárt, 1 rangúnak a vektort és 2 rangúnak a kilenc adattal jellemzett tenzort.

A fizikában magasabb rangú tenzorok is ismeretesek, amelyek pl. 33 = 27, vagy 34=81 adattal jellemezhetők. (A relativisztikus fizikában, a négydimenziós tér-időben megfelelően 1, 4, ill. 16 adat szükséges a skalár, a vektor, ill. a - másodrendű - tenzor megadásához). A fizikában használt mennyiségek öt típusával kapcsolatban írja Fényes: "A megkülönböztetésre a koordinátarendszerek három jellegzetes transzformációjával szembeni viselkedésük adott alapot." Ez a megkülönböztetés "nem formai játék, hiszen egy-egy fizikai mennyiség mindig bizonyos koordinátarendszerhez (ami a materiális környezet geometriai reprezentánsa) viszonyított számadat, és fontos tudnunk, hogy az adatban és fellépő vállazásaiban milyen módon tükröződik a természet valamilyen objektív tulajdonsága". A vonatkoztatás esetlegességeitől (önkényességétől!) "független természeti törvények nyilván invarianciatulajdonságokként fogalmazhatók meg, míg a transzformálódó vonások csupán a vonatkoztatás esetlegességét tükrözik".

OLVASÓ Nyilván nemcsak skaláris, hanem vektoriális extenzív mennyiségek is vannak. Azt már látom, hogy a skaláris extenzívekre vonatkozó mérlegegyenletek a koordináta-transzformációk során nem változnak, hiszen a skalár minden transzformációval szemben invariáns. De mi a helyzet a vektorokra vonatkozó mérleggel? Az talán függ a vonatkoztatási rendszer megválasztásától?

SZERZŐ Ha egy egyenlet minden tagja azonos módon transzformálódik, akkor az egyenlet alakja maga változatlan marad. Az olyan egyenlet, amely objektív tulajdonságokat tükröz, nem tartalmazhat különböző tenzoriális rangú tagokat. Emiatt van nagy jelentősége (a közismertebb dimenzionális homogenitás mellett), az egyenlet tenzoriális homogenitásának is. Nem lehet az egyenlet egyik tagja skalár, másik tagja pedig vektor vagy (másodrendű) tenzor komponense, hiszen ez esetben - bizonyos transzformáció esetén - az egyik tag pl. előjelet váltana, a másik változatlan maradna és az egyenlet alakja megváltozna. Tételként szögezhetjük le: az az összefüggés, amely koordináta-transzformáció során változik, nem lehet természettörvény. És megfordítva: minden olyan egyenlet, amely természettörvényt fejez ki, változatlan marad, bármilyen koordináta-transzformációt is alkalmazunk. Másként megfogalmazva: a természettörvényeket leíró egyenletek kovariánsak. Fizikailag ez a természettörvények objektív jellegének következménye. Mindez nyilvánvalóan a vektoriális extenzív mennyiségek mérlegegyenleteire is vonatkozik. A részletesebb tárgyalást azonban hagyjuk későbbre.

OLVASÓ Van valami köze mindennek a természettörvények szimmetriatulajdonságaihoz? A magyarul is megjelent FEYNMANN könyvben olvastam erről. A 4. kötet 52.1. és 2. fejezeteiben írja a következőket: "Hogyan értsük azt, hogy egy fizikai törvény szimmetrikus? A szimmetria meghatározása alapvető probléma.Említi WEYL megfogalmazását, amelynek a lényege az, hogy "akkor szimmetrikus valami, ha meghatározott műveletnek alávetve, változást nem tapasztalunk". Avval a kérdéssel foglalkozik, hogy "milyen hatást gyakorolhatunk egy fizikai jelenségre úgy, hogy a kísérlet során létrejött fizikai állapot ne változzon". Az első, legegyszerűbb művelet, ahogy FEYNMANN írja: "a fizikai jelenségek térbeli eltolása (transzláció). Ha a tér egy bizonyos helyén kísérletet végzünk és azután a tér egy másik helyén másik kísérleti berendezést építünk fel (vagy az eredetit oda eltoljuk), akkor ami az egyik berendezésben egy bizonyos időrendben lejátszódott, a másikban ugyanúgy megismétlődik, természetesen csak ugyanazon - az előzőre vonatkozó összes megszorítás fegyelembevételével létrehozott - körülmények esetén. Más szóval át kell helyezni a berendezés működésére vonatkozó minden feltételt is". Az időbeli eltolással kapcsolatos szimmetriát a következőkkel magyarázza: "ha építünk egy mérőberendezést, s azt egy bizonyos időben megindítjuk, s azután egy ugyanolyan berendezést később ugyanolyan körülmények között indítunk meg, a két berendezés… teljesen egyformán … fog működni. Ismét feltételezzük persze, hogy a környezet összes lényeges tulajdonságai is időben megfelelően változnak". A forgatásról szólva azt mondja: "Ha egy mérőberendezést egy bizonyos szöggel elforgatunk, az éppen úgy működik majd, mint a forgatás előtt, feltételezve, hogy az összes lényeges környezeti feltételeket vele együtt forgattuk el."

SZERZŐ Valóban, a feynmanni szöveg és a fizikai törvények kovarianciája között első pillanatban nehéz felismerni az összefüggést, így kérdésed mindenképpen jogos. No de ez esetben a fizika által már régen lezárt kérdésekről van szó, bár az idézett megfogalmazás túlkomplikálja a dolgot. Kezdjük mindjárt az elején! Mint idézted, azzal foglalkozik, hogy "milyen hatást gyakorolhatunk egy fizikai jelenségre úgy, hogy a kísérlet során létrejött fizikai állapot ne változzon". Véleményed szerint a koordinátarendszer változtatása magára a fizikai jelenségre hat?

OLVASÓ Nehezen tudom elképzelni, hogy hogyan! Tudomásom szerint - és az eddig megbeszéltek is ezt igazolják - a koordinátarendszer megválasztása csak a jelenség matematikai leírásának formáját érintheti. De FEYNMANN nem is erről beszél! Hiszen a továbbiakban a kísérleti berendezéssel végez műveleteket, térbeli és időbeli eltolást, ill. forgatást, és ennek hatásáról beszél.

SZERZŐ Tehát a koordinátarendszerről nincs szó. Nézzük akkor az általad idézett utolsó mondatot: "Ha egy mérőberendezést … elforgatunk, az éppen úgy működik majd, mint a forgatás előtt, feltételezve, hogy az összes lényeges környezeti feltételeket vele együtt forgattuk el." Mit értünk lényeges feltételeken?

OLVASÓ Mindazt, ami a berendezés működését befolyásolja.


SZERZŐ Ha pl. egy ingáról van szó, és a tengelyét a függőleges síkban akarom elforgatni, mit kell vele együtt elforgatnom?

OLVASÓ Az inga működésére ható lényeges környezeti feltétel pl. a Föld nehézségi erőtere. Eszerint a Földet is el kellene forgatni a függőleges sík körül?!

SZERZŐ Nem én mondtam!

OLVASÓ De hisz ez lehetetlen!

SZERZŐ Gondolati kísérletként elképzelhető, de akkor mihez képest forgattuk el az ingát? Mi az a "függőleges sík", amiben a forgatás történt. Van valami kitüntetett iránya a világegyetemnek, amely pl. a függőleges sík abszolút helyzetét meghatározza?

OLVASÓ Ilyen nyilván nincs!

SZERZŐ Ugyanígy végiggondolhatnánk azt is, hogy mi az általad idézett szövegben a "minden feltétellel együtt" térben áthelyezett berendezés. Mihez képest helyeződik át a környezet? De ne időzzünk tovább! A WEYL-féle meghatározás szerint "szimmetrikus valami, ha meghatározott műveletnek alávetve, változást nem tapasztalunk". A természettörvények matematikai alakja rendelkezik ezzel a szimmetriával: a koordinátarendszer transzformációjának következtében nem tapasztalunk változást. Nem a jelenséget transzformáljuk, hanem a koordinátarendszert!

OLVASÓ Eszerint a természettörvények szimmetria-tulajdonságai lényegében a kovarianciát jelentik, vagyis azt fejezik ki, hogy a természettörvény objektív, a koordinátarendszer megválasztása viszont szubjektív, így ettől a törvények matematikai alakja nem függhet!

SZERZŐ Úgy gondolom, ideje már e beszélgetésünket befejezni. Összefoglalásként talán érdemes még egyszer áttekinteni a fizikai változók csoportosítását az ábrán.

A fizikai mennyiségek skalár, vektor vagy tenzor jellege attól függ, hogy hogyan viselkednek a koordináta-transzformációval szemben. Egyes koordináta-transzformációk során változatlanul maradó tulajdonságokról azt mondjuk, hogy ezek az adott koordináta-transzformációval szemben invariánsak. A fizikai egyenletekben szereplő változók (jellegük szerint) egyes koordináta-transzformációk során megváltoznak vagy invariánsak maradnak. Az egyenlet objektív voltának viszont feltétele, hogy bármely koordináta-transzfomációt is alkalmazunk, alakja változatlan maradjon! A természettörvényeket leíró egyenleteknek ezt a tulajdonságát kovarianciának nevezzük.

És ez után már ideje, hogy e leíró egyenletekkel közelebbről is megismerkedjünk!


Vissza a tartalomjegyzékhez Következő beszélgetés



Megjegyzés



A vektoriális szorzatot gyakran ×-szel jelölik:  .




A SKALÁRIS, VEKTORIÁLIS ÉS TENZORIÁLIS MENNYISÉGEK KOORDINÁTA-TRANSZFORMÁCIÓVAL SZEMBENI
TULAJDONSÁGAI

A mennyiség jellege

Eltolás

Elforgatás

Tükrözés

Példa

Skalár

invariáns

invariáns

invariáns

tömeg, hőmérséklet

Vektor

invariáns

Komponensek változnak

egy komponens előjelet vált

sebesség, impulzus, tömegáram

Tenzor

invariáns

Komponensek változnak

az antiszimmetrikus rész 4 komponense előjelet vált

impulzusáram

Pszeudovektor

invariáns

komponensek változnak

két komponse előjelet vált

a sebesség rotációja, szögsebesség


Vissza a tartalomjegyzékhez Következő fejezet