Negyedik beszélgetés

A mérlegegyenletek

Fejezzük ki magunkat a matematika nyelvén. Tanácsunk tulajdonképpen nem jelent többet, mintha azt mondanánk: Próbáljunk világosan fogalmazni.
PÓLYA GYÖRGY

SZERZŐ Eddigi beszélgetéseink alapján már megfogalmazhatjuk a műszaki rendszerek vizsgálatának - általános érvényű - kezdő lépését: Mindenekelőtt azt kell tisztázni, hogy az adott műszaki feladat megoldásakor milyen kölcsönhatásokat kell figyelembe venni. Ennek ismeretében azonnal megmondhatjuk, melyek a megfelelő extenzív és jellemző intenzív mennyiségek, milyen tagokból tevődik össze a folyamat során létrejövő energiaváltozás.

OLVASÓ Ez valóban lényeges, de azt hiszem, még nagyon keveset mond! Annyi előnnyel mindenesetre jár, hogy előre megállapítható mi az a "valami" (ill. "valamik"), aminek változásával foglalkoznunk kell. A műszaki ember számára azonban az is nagyon fontos, hogy ismerje a változás sebességét és irányát.

SZERZŐ Úgy is mondhatnánk, hogy ismernünk kell az extenzív mennyiségek mérlegegyenleteit.

OLVASÓ Olyan mérlegegyenletekre gondolsz, mint amilyeneket az országokkal kapcsolatban írtunk fel, második beszélgetésünk alkalmával?

SZERZŐ Formailag pontosan olyanokról lesz szó, csak most az x betű (amelynek változási sebességét nézzük), nem a lakosság számát, a gépkocsi, pénz (vagy pálinka) mennyiségét jelenti, hanem a műszaki folyamat során változó extenzív mennyiséget. Annyi ilyen mérlegegyenletre lesz szükségünk, ahány fajta kölcsönhatásban vesz részt a vizsgált rendszer, vagyis ahány jellemző extenzív mennyiség szerepel feladatunkban.

OLVASÓ Ezek szerint a körülhatárolt térrészen, vagyis az általunk vizsgált rendszeren belül az egyes extenzívek változási sebessége a "határokon" átmenő árammal lesz egyenlő:

SZERZŐ A mérlegegyenletben szerepelt még egy tag, a Q, vagyis a forrás.

OLVASÓ Erre most, úgy gondolom, nincs szükség. Hiszen - egy kivételével - csak megmaradó extenzívekről beszéltünk. Megmaradó tulajdonságoknak pedig nem lehet forrásuk, nem teremthetők és nem semmisíthetők meg.

SZERZŐ Ebben igazad van, de gondolj a következő példára: Hidrogén és klórgáz van egymástól porózus fallal elválasztva. (A második beszélgetés "rendszer-ábrája" olyan egyszerű volt, hogy nem érdemes újra lerajzolni). Az 1 rendszer legyen a klór, a 2 rendszer a hidrogén gáz. Vizsgáljuk az egész térrészt, vagyis mindkét rendszert együtt. Mit kell figyelembe venni?

OLVASÓ Két extenzív mennyiséget, a tömeget és az energiát. A feladat ugyanis - ahogy mondtad - a kémiai anyagok kölcsönhatása. A két rendszer kívülről teljesen szigetelt, így környezetével kölcsönhatás (a falakon keresztül áram) nincs. Ennek következtében az össztömeg és összenergia változása zérus.

SZERZŐ Jól mondtad, az össztömeg és az összenergia valóban nem változik. De igaz ez az egyes gázfajták tömegére is?

OLVASÓ Nyilván nem! A hidrogén és a klór gáz egymással érintkezve sósavat alkot. A gázok keveredése függvényében a hidrogén és a klór mennyisége csökkenni, a sósav mennyisége növekedni fog.

SZERZŐ Tehát az egyes komponensekre nézve mégiscsak lehetséges forrásról beszélni! Ez persze nem változtat azon, hogy - a környezetétől teljesen szigetelt rendszeren belül - az össztömeg nem változik: ami az egyik komponensre nézve forrás, az a másikra nézve "nyelő" (negatív forrás). Az energia esetében ugyanez a helyzet: csak az összenergia mennyisége marad meg. A kémiai reakció (pl. a hidrogén és klór egyesülése) során a molekulák kémiai kötési energiájának egy része felszabadul és növeli a rendszer belső energiáját. (Ennek hatására a rendszer tágul és/vagy hőmérséklete megnő. Erről még a kémiai reakciókkal kapcsolatban bővebben is fogunk beszélni. Itt csak annyit, hogy a különböző energiafajták egymásba átalakulhatnak.) Az egyes energiafajtáknak tehát - a többi rovására - forrásuk van. Ez persze nem változtat azon, hogy az összenergia változatlan marad.

OLVASÓ Ez teljesen világos, de akkor a mérlegegyenleteket is ennek figyelembevételével kell felírni: nem az egyes extenzív mennyiségekre, hanem komponenseikre.

SZERZŐ Álljunk meg! Az extenzívek komponensei talán nem extenzívek?

OLVASÓ Mindenesetre nem megmaradó tulajdonságok!

SZERZŐ Ez viszont nem is feltétele az extenzív jellegnek!

OLVASÓ Az igaz, de akkor hogyan állunk azzal, hogy minden kölcsönhatáshoz tartozik egy-egy jellemző extenzív-intenzív mennyiségpár?! Megváltozik az energiára felírt összefüggésünk pl. a kémiai-anyagi kölcsönhatás esetén?

SZERZŐ Amiről a korábbiakban beszéltünk, az (abban a formában) csak egykomponensű rendszerekre vonatkozott. Ha több komponens is van, akkor a kémiai anyagi kölcsönhatást komponensenként kell figyelembe venni. Minden egyes ilyen "komponens-kölcsönhatáshoz" tartozik egy-egy jellemző extenzív-intenzív mennyiségpár. A folyamatban részt vevő összes komponensek száma p-vel jelölve a μm, ill. a μΔm szorzatok helyett mindenόtt

szorzatokat kell írnunk. Az energia kifejezése tehát:

ahol μi és mi a j-edik komponens kémiai potenciálja, ill. tömege.

OLVASÓ Ezt eddig nem mondtad! Így már világos, hogy forrást is lehet és kell figyelembe venni. Az egyes extenzívekre a komponenseket is számításba véve már nem probléma felírni a mérlegegyenletet:

SZERZŐ Talán nem lesz egészen felesleges még egyszer emlékezetbe idézni, hogy mit is jelent ez az egyenlet.

Szemléletesen: a raktárkészlet megváltozása a termelt és az elszállított árumennyiség különbségével egyenlő. Képzeljünk el egy tetszés szerinti térrészt. Jelölje a határoló felületet F, a felület által közbezárt térfogatot V. A felület szigetelőhatásától most eltekintünk, úgy vesszük, hogy rajta keresztül mindenféle áram lehetséges. A V térfogatú rendszer állapotát n számú extenzív mennyiség egyértelműen jellemzi. Jelöljük az egyes extenzív mennyiségeket xi betűvel, ahol i=1, 2, … n, az egyes extenzív mennyiségekre vonatkozó index. Így pl. x1=E az energia; x2=ma, x3=mb, vagyis az a és a b kémiai komponens tömege, s i. t. ; xn= V a rendszer térfogata. Válasszunk ki egy tetszés szerinti extenzív mennyiséget az n számúból. Ennek értéke csak annak következtében változhat, hogy a rendszeren belül forrása, ill. a rendszer felületén keresztül árama van. A mérlegegyenlet tehát - bármely extenzív mennyiségre - a következő alakú lesz:

 

Ez az egyenlet az egész V térfogatra (az egész rendszerre) összegében adja meg a mérleget. Szokás integrális mérlegegyenletnek is nevezni.

OLVASÓ Eljutottunk végre ahhoz az alapösszefüggéshez, amelyből leszármaztathatók a műszaki folyamatokat matematikailag leíró egyenletek?

SZERZŐ Gyakran elegendő az integrális mérlegegyenlettel dolgozni. Amikor pl. csak azt vizsgáljuk, hogy rendszerünk (egészében) hogyan viselkedik, milyen a rendszert ért külső hatások és a rendszer reakciójának időbeli kapcsolata és nem kell a rendszer belső állapotváltozásának helyfüggését ismernünk, az integrális mérlegegyenleteket használjuk. Úgyis mondjuk, hogy ilyenkor a rendszert pontszerűnek (kiterjedés nélkülinek) fogjuk fel.

OLVASÓ Talán naivnak tűnik a kérdésem: hogy lehet egy műszaki rendszert "pontszerűnek" felfogni? Tudnál valami példát is mondani?

SZERZŐ Amennyit csak akarsz! De egyetlen példa is elegendő, hogy megértsd: nem a rendszer pontszerű, csak annak matematikai leírása. Gyakori feladat: valamely helyiségen belüli klímaviszonyok meghatározása. (Részletesebben erről a tizennegyedik beszélgetésben lesz szó.) Nem mindig szükséges ismernünk pl. a belső hőmérsékletelosztást; van amikor csak a helyiség átlaghőmérséklete érdekel bennünket.

OLVASÓ Világos! Nem a helyiség térfogatát hanyagoljuk el, csak a térfogaton belüli változásokat. Feladatunk lehet azonban az is, hogy az egyes fizikai változók térbeli eloszlását határozzuk meg. A helyiség példánál maradva: nem mindegy, hogy pl. 25 °C átlaghőmérséklet úgy alakul ki, hogy a munkahely környékén 40 °C, más helyeken 10 °C van.

SZERZŐ Amikor a rendszeren belüli (térbeli) állapotváltozást, a fizikai változók idő és hely szerinti értékeit is vizsgáljuk, szükségünk van a rendszer differenciálegyenletére. Felírásához többféle út közül választhatunk

OLVASÓ Tapasztalataim szerint mindkét út eléggé hosszadalmas! A mindennapos műszaki gyakorlatban ritkán jut idő ilyen tevékenységre.

SZERZŐ Ráadásul: az előbbi nem mindig vezet eredményre (elsősorban olyan feladatok esetén, amelyeket mások még nem oldottak meg), ill. súlyos hibák forrása lehet (ha olyan egyenletet akarunk használni, amelyre vonatkozó feltételeket vizsgált rendszerünk nem elégíti ki). A második út viszont olyan magas színvonalú fizikai és matematikai képzettséget igényel, amellyel nem minden mérnök rendelkezik. Ezt az utat követve úgy tűnhet: minden feladatot elölről kell kezdeni; a különböző rendszerek lényegileg különbözők. Itt is helyesebb tehát olyan általános kerettörvénnyel megismerkedni, amelyből valamennyi műszaki rendszer speciális összefüggései egyszerűen levezethetők és - ennek során - az egyenletek érvényességi köre is egyértelműen meghatározható. Ilyen kerettörvény az ún. differenciális mérlegegyenlet, amely az i-edik extenzív mennyiségének, forrásának és áramának "pontra vonatkoztatott" (lokális) értékeit tartalmazza. Ezt viszonylag egyszerűen kapjuk az előbbi egyenletből. Ehhez mindenekelőtt szükségünk van a sűrűség fogalmára. Említettük már, hogy képezhető bármely két extenzív mennyiség hányadosa (amely intenzív - de nem jellemző intenzív - mennyiség). Pl. valamely extenzív mennyiség osztva a tömeggel az ún. fajlagos értéket adja: v= V/m a fajtérfogat; e=E/m a fajlagos energia, s i. t. Az extenzív mennyiségeket a térfogattal osztva a (térfogati) sűrűségeket kapjuk: ρm=m/V a tömegsűrűség; ρe=E/V az energiasűrűség, s i. t. Általában ρi=xi/V az i-edik extenzív mennyiség sűrűsége. Homogén sűrűségeloszlásról akkor beszélhetünk, ha a rendszer minden pontjában azonosak a sűrűségértékek. Ilyenkor az egész rendszerben levő valamely i-edik extenzív mennyiségét úgy kapjuk, hogy a sűrűséget megszorozzuk a térfogattal:

OLVASÓ Ez igen erős megkötés. Homogén sűrűségelosztású rendszerekkel csak igen ritkán foglalkozunk. És ha igen, akkor maradhatunk az integrális mérlegegyenletnél.

SZERZŐ Valóban: a gyakorlatban leginkább inhomogén rendszerekkel van dolgunk, ahol a sűrűségértékek a különböző pontokban nem azonosak. Ebben az esetben is használhatjuk az integrális mérleget, ha az előbb említett - pontszerű modell elegendő a folyamat leírásához. Gondolj csak vissza az országokkal kapcsolatos példára: a népsűrűséget (a lakosság és a terület viszonyszámát) az egész országra vonatkoztattuk. Egy országon belül talán homogén eloszlású a népsűrűség?

OLVASÓ Természetesen nem, hiszen vannak lakatlan, sűrűn vagy ritkán lakott területek. A népsűrűség területenként változik.

SZERZŐ Hogyan számítanád ki az ország lakosainak számát, ha csak az egyes területek népsűrűségét ismernéd?

OLVASÓ Az összlakosság az egyes területek lakosságának összege. A népsűrűség és a terület szorzata a területen élő lakosok számát adja. Ezeket kell összegezni minden területre.

SZERZŐ Azonos a "számítás menete" az inhomogén sűrűségelosztású rendszerek extenzív mennyiségeinek esetében is. Az egész rendszerben levő extenzív mennyiségét úgy számítjuk ki, hogy a V térfogat olyan kis ΔVj elemeit vesszük, amelyeken belül a sűrűség homogénnek tekinthető. Ezen térfogatokat szorozzuk a hozzájuk tartozó sűrűségértékkel, és utána minden ilyen szorzatot összegezünk:

Amikor ezek a kis térfogatok "pontszerűek", vagyis a sűrűség pontról pontra változik, akkor az összegezés helyett (térfogati) integrálás szükséges:

Ugyanilyen módon fejezhető ki a V térfogaton belüli összforrás a q, forrássűrűséggel:

OLVASÓ Ezzel az integrális mérlegegyenlet két tagját már meg tudjuk adni sűrűségértékeikkel. De mi van a harmadik taggal, az árammal? Hiszen azt nem térfogatra, hanem felületre vonatkoztattuk! Nehezen tudnám értelmezni az 1 m2-re jutó kivándorlók számát!

SZERZŐ Akkor induljunk ki onnan, ami még könnyen értelmezhető: a felületi áramból. A felület egészén kilépő (eredő) áramot jelöltük li-vel Ezt az áramot a felülettel elosztva megadható a


hányados, az ún. felületi áramsűrűség. Az ábrán látható F felületen a felületi áramsűrűséget egyenletesnek (homogénnek) mondjuk, ha bármely kis ΔFk felületelemet kiválasztva, a rajta keresztülhaladó (Ii)k áram és a felületelem hányadosa

állandó érték. Az összáram ilyenkor az áramsűrűség és az összfelület szorzata:

OLVASÓ Ez megfelel annak, hogy a határ minden pontján azonos a kivándorlók száma! Egyre kevésbé értem.

SZERZŐ Nem kell a határ pontjairól beszélni, elegendő határállomásokat említeni. Tegyük fel, hogy a határállomások egyenlő távolságra vannak egymástól. Homogén a lakosságáram akkor, amikor valamennyi határállomáson ugyanakkora a ki- és beutazók különbsége.

OLVASÓ Ilyen nincs! Nem egyenlő a határállomások távolsága és az egyes állomásokon ki-be utazók száma sem.

SZERZŐ A helyi áramsűrűség tehát függ a helytől. Más szavakkal: az áramsűrűség eloszlása inhomogén. Inhomogén eloszlás esetében - a térfogati sűrűségekről mondottakhoz hasonlóan - olyan kis ΔFk felületelemeket kell vennünk, amelyekre az áramsűrűség már homogénnek tekinthető. E felületelemeket szorozzuk a hozzájuk tartozó áramsűrűségekkel és minden ilyen szorzatot összegezünk:

Amikor ezek a kis felületelemek pontszerűek, vagyis az áramsűrűség pontról pontra változik, az összegezés helyett felületi integrálás szükséges:

ahol az integrálás a V térfogatot magába foglaló egész (zárt) F felületre értendő.

OLVASÓ Az áramsűrűségeknek tehát csak a felületi integrálját tudjuk behelyettesíteni az egyenletbe? Célszerű lenne itt is térfogati sűrűséggel számolni. Ismét megkérdezem: értelmezhető egyáltalán fizikailag a felületi áram térfogati sűrűsége?

SZERZŐ Igen! Arról van lényegében szó, hogy a zárt felületre vonatkozó áramot e felület által közbezárt térfogatra vonatkoztatjuk: vagyis képezünk egy I/V jellegű mennyiséget. Ezt nevezzük térfogati áramsűrűségnek. Ahogy az előbb mondtad: ez a ki- és bevándorlók különbségének 1 m2-re jutó száma.

OLVASÓ Van ennek valami értelme?

SZERZŐ Mindenesetre tájékoztat arról, hogy milyen mértékű valamely területről a kiáramlás. MAXWELL - aki még a beáramlást tekintette pozitívnak -, az egy irányba haladás, összetartás mértékének tekintette a térfogatelemre vonatkoztatott felületi áramot és latin szóval konvergenciának nevezte.

OLVASÓ Ez tehát olyan fiktív "sűrűség", amely feltétlenül homogén eloszlású?!

SZERZŐ Miért lenne az?

OLVASÓ Az egész felületen kilépő áramot kell elosztani az össztérfogattal! Hogyan kaphatnánk különböző térfogatelemekre különböző értéket?

SZERZŐ Ismét kis térfogatelemeket kell vennünk. Minden ilyen kis elemet határoló felületen kilépő áramokat osztjuk a térfogatelemmel. E térfogatelemekre kiszámított "térfogati áramsűrűség" már nem lesz feltétlenül homogén eloszlású.

OLVASÓ Ez tehát a maxwelli "konvergencia".

SZERZŐ Mint említettem Maxwell a befelé áramlást tekintette pozitívnak. Az áram és az áramsűrűség is vektor. Értékét mi akkor vesszük pozitívnak, ha "kifelé mutat" (vagyis kiáramlást jelöl), ezért a konvergencia ellentettjét, a divergencia elnevezést használjuk. Pontosabban: amikor az említett térfogatelemek pontszerűek, akkor az erre vonatkoztatott térfogati áramsűrűséget (a felületi) áramsűrűség divergenciájának hívják. Természetesen a felületi áramsűrűségnek az egész térfogatot határoló felületre vett integrálja egyenlő kell, hogy legyen a térfogati áramsűrűség egész térfogatra vett integráljával, mivel mindkettőnek az I összáramot kell adnia:

ahol ji az i-edik extenzív mennyiség felületi áramsűrűsége.

OLVASÓ Egy pillanatra megint félbeszakítlak! Megszoktam, hogy "dimenziókban" számoljak. Annyi fogalomról volt szó, jó lenne őket dimenzionálisan is rendezni. Az extenzív mennyiség dimenziója nyilván függ attól, hogy melyikről van szó. Legyen pl. a tömeg. Akkor az eddig tárgyalt mennyiségek SI mértékegységekben - ha jól értettem - a következők lesznek:

sűrűség: kg/m2
forrás: kg/s
forrássűrűség: kg/s m2
áram: kg/s
felületi áramsűrűség: kg/s m2
"térfogati áramsűrűség": kg/s m3

SZERZŐ Így még azt is ellenőrizheted, hogy a mérlegegyenlet minden tagja azonos dimenziójú-e. (Felhívom azonban a figyelmedet: a dimenzió és a mértékegység különböző dolgok. Erre később még visszatérünk!) Most helyettesítsük be az integrális mérlegegyenletbe az egyes tagok térfogati sűrűségeit:

Az idő szerinti differenciálás bevihető az integráljel alá, de ekkor - mivel csak az idő szerint, s nem a hely szerint kell differenciálni - megkülönböztetésül a parciális differenciálhányados jelét kell írnunk. Az integrálás határa (a V térfogat) közös, így az egyes tagok egy integráljel alatt összevonhatók:

A térfogatra magára semmilyen külön kikötésünk nem volt, így ez az integrál csak akkor lehet zérus, ha maga az integrandus zérus:

ill. rendezés után:

 

Ez a differenciális mérlegegyenlet, az ún. általános kontinuitási vagy transzportegyenlet. Ez a forma lesz minden további levezetésünk alapja.

OLVASÓ Ebben a beszélgetésben tehát a már ismert mérlegegyenletformát egy körülhatárolt térrészben foglalt valamely extenzív mennyiség változásának leírására használtuk fel. Átalakítással eljutottunk a mérlegegyenlet differenciális alakjához, amelyről azt állítottad, hogy ez minden további levezetésünk alapja. (Erről persze még nem vagyok meggyőződve, de hát hagyjunk valamit a további beszélgetéseinkre is.) Annyi mindenesetre már most világos, hogy az egyenletben szereplő ρi egyaránt lehet energia-, tömeg- (valamely tömegkomponens) vagy' elektromos töltés-sűrűség, ill. bármely vizsgált extenzív mennyiség sűrűsége. Eszerint elég, ha számba vesszük a lehetséges kölcsönhatásokat, ennek alapján már tudjuk, hogy mely extenzív mennyiségek változnak (ill. változhatnak). Mindegyikre felírunk egy ilyen alakú differenciális mérlegegyenletet, és kész a feladat matematikai megfogalmazása.

SZERZŐ Ez mindenképp szükséges, de korántsem elegendő! A feladat rendszerezése, a különböző műszaki területek közös alapjainak felismerése felé döntő lépést tettünk, de még nem jutottunk a végére. Még csak általánosságban beszéltünk az egyenlet egyes tagjairól. Ilyen formában "mindent" tartalmaz ez az egyenlet, de éppen e túlzott általánossága miatt rendkívül kevés az információtartalma. Következő beszélgetéseinkben igyekszünk ezt az általánosságot - a lehetőség szerint - konkretizálni.


Vissza a tartalomjegyzékhez Következő fejezet


Általánosságban: a Gauss-Osztrogradszkij-tétel szerint valamely vektor zárt felületre vonatkozó integrálja egyenlő a vektor divergenciájának e zárt felület által bezárt térfogatra vonatkozó integráljával. Pontosabban: Ha v(r) folytonosan differenciálható vektoreloszlás és F olyan korlátos "kifelé irányított" zárt felület, amelynek létezik felszíne, akkor a vektoreloszlás felületi integrálja az F felületen egyenlő divergenciájának hármas integráljával az F felület által határolt V térrészen: